Переходные процессы в цепях постоянного и переменого тока

 
 
 
 
 
 
 

     Курсовая  работа. 

     Вариант 3А. 
 
 

 

      Содержание

     Задание на курсовую работу ………………………………………………….3

1. Исследование переходного процесса в цепи постоянного тока………...5
1. Исследование переходного процесса классическим методом………….5
2. Исследование переходного процесса операторным методом………….12
3. Сравнение результатов расчета двумя методами……………………….15
4. Построение графика функции заданной величины……………………..16
2. Исследование переходного процесса в цепи переменного тока………..19

Список литературы …………………………………………………………..23

 

      Задание на курсовую работу.

     Используя исходные данные, приведенные в таблице 1, для схемы, изображенной на рис.1, необходимо:

     1.1. Определить классическим методом  переходное значение тока или  напряжения на этапах последовательного  срабатывания коммутаторов К₁ и К₂;

     1.2. Определить операторным методом  переходное значение той же  величины, что и в пункте 1, электрической  величины на первом интервале  (сработал только коммутатор К₁);

     1.3. Сравнить результаты расчетов  по пунктам 1.1 и 1.2 и оценить  погрешность расчетов.

     1.4. Построить график зависимости  найденного в пункте 1.1 значения  тока или напряжения в функции  от времени.

     2. Используя исходные данные, приведенные  в таблице 2, определить, в какой  момент времени ток через обмотку  электромагнита с параметрами  L и R, включаемую на синусоидальное напряжение U_msin(314t+Ψ), достигает максимального значения. Найти при этом его амплитуду и построить кривую этого переходного тока. 

     Таблица 1. Исходные данные к первой части  курсовой работы.

Вариант	Расчетный параметр	E	R1	R2	R3	R4	L1	C
		В	Ом	Ом	Ом	Ом	мГн	мкФ
3-А	iR1	70	4	0,1	2	4	10	5000

 

     Таблица 2. Исходные данные ко второй части курсовой работы.

Вариант	φ	Um	L	R
	градус	B	мГн	Ом
3-А	90	127	400	10

 

 

     

     

     Рисунок 1. Расчетная схема к 1 части курсовой работы.

 

      1. Исследование переходного процесса  в цепи постоянного тока.

     1.1. Рассмотрим докоммутационный режим (0–). Соответствующая схема представлена на рис. 2. 

     

     Рисунок 2. Схема для расчета докоммутационного  режима работы (t<0).

     Определим начальные условия. Значения и в соответствии с законами коммутации определяются из докоммутационной схемы. Поскольку первая ветвь (содержащая источник) в докоммутационной схеме замкнута через R₁, R₂ C, то есть фактически разомкнута (т.к. емкость в цепи постоянного тока имеет бесконечное сопротивление), определим:

     

     Напряжение  на конденсаторе равно напряжению источника напряжения.

     

     Найдем  теперь значения производных этих функций в нулевой момент времени, исходя из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа для момента времени t = 0 .

     

     Учитывая, что  ,

     Получим:

     

      отсюда найдем:

     

     

     

     Принужденная  составляющая является частным решением неоднородной системы и определяет токи при достаточно больших t, когда переходные процессы закончились. Свободные составляющие являются общим решением однородной системы.

     

     Рис. 3. Схема сразу после коммутации t=0+.

     Запишем систему уравнений Кирхгофа для  полученной схемы:

            (1) 

     Произведем  алгебраизацию полученной системы уравнений.

     Полученная  система уравнений имеет решение, отличное от нуля, если ее определитель равен нулю:

             (3)

     Из (3) получим характеристическое уравнение:

        (4)

     Для упрощения нахождения корней характеристического уравнения обозначим:

     

     Определим корни характеристического уравнения:

         (5) 

     Корни характеристического уравнения  комплексные и разные, следовательно переходный процесс носит периодический характер, вид уравнения для свободной составляющей тока на резисторе R₁ будет:

      .         (6)

     Определим принужденную составляющую, исходя из послекоммутационной схемы. В схеме действует источник постоянного напряжения. При постоянных токах сопротивление катушки индуктивности равно нулю, а сопротивление конденсатора бесконечно (разрыв ветви). Таким образом, послекоммутационная схема имеет вид:

     

     Рис. 4. Схема для расчета установившегося режима на первом этапе коммутации.

     Определяем принужденные составляющие i₁ и u_c:

            (7)

            (8)

     Исходя  из начальных условий, составим систему  уравнений для определения постоянных интегрирования:

      ,  (9)

      Отсюда  находим:

      (10)

     А₁ = – 3,5 – 3,81j;  А₂ = – 3,5 +3,81j.     (11)

     Запишем значения коэффициентов А₁ и А₂ в показательной форме:

           (12) 

     Уравнение i₃ будет иметь вид:

        (13)

     Аналогично  составляем систему уравнений для  определения В₁ и В₂:

        (14)

     

     Запишем значения коэффициентов B₁ и B₂ в показательной форме:

           (15)

     Уравнение u_c будет иметь вид:

             (16)

     Ток через емкость найдем аналогичным образом, начальные условия будут иметь следующий вид:

         (17)

     

     Запишем значения коэффициентов C₁ и C₂ в показательной форме:

            (18)

     Находим ток i₂:

             (19)

     Ток в сопротивлении R₁ найдем как сумму i₃ и i₂:

     

     Показатель  затухания колебательного процесса α=616.

     Определим время срабатывания второго ключа:

              (20)

Определим значения тока в катушке и напряжения на конденсаторе в момент коммутации:

       (21)

       (22)

     Найдем  теперь значения производных этих функций  в момент времени t₁, исходя из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа для момента времени t₁ = c.

             (23) 

     

     Рис. 5. Расчетная схема после второй коммутации, момент времени t₁.

     Получим:

              (24)

     Запишем систему уравнений Кирхгофа для  полученной схемы:

              (24)

     Из  этой системы, произведя алгебраизацию, найдем:

        (25)

     Поэтому свободная составляющая тока i₁ будет равна:

     

     Значение  постоянной интегрирования А найдем из начальных условий после второй коммутации:

     

     Отсюда  найдем ток i₁ в сопротивлении R₁:

     

     Отсюда  найдем ток i₁ в момент времени t=t₁₊:

     

     Находим постоянную интегрирования А:

     А = i₁ – i_пр = – 7,85 – 11,67 = -19,52.

     Принужденная  составляющая тока i₁:

     

     Ток через сопротивление R₁ определим как сумму свободной и принужденной составляющих:

             (26) 

     1.2. Определить операторным методом значение i₂ на первом интервале.

     Составим  операторную схему замещения (рис. 6):

     

     Рис. 6. Операторная схема замещения. 

     Составим  по схеме замещения систему уравнений  Кирхгофа:

         (27)

     Перепишем третье уравнение системы (27) в виде:

            (28)

     Из  второго уравнения системы получим:

            (29)

     Подставив (28) и (29) в первое уравнение системы (27), получим:

      . (30)

     Отсюда  получим выражение I₂(p):

       (31) 

     Раскрывая скобки в полученном выражении, учитывая, что изображение приложенного напряжения будет получим:

       

     Группируя подобные слагаемые, получим:

      (33)

     Представив  изображение тока I₂(p) в виде отношения полиномов

       (34)

     Разложим  выражение на сумму:

     

     Найдем корни р₂ и р₃: 

     

             (35)

     Найдем  коэффициенты А₁, А₂, А₃:

     

     

     

     Тогда уравнение тока примет вид:

            (36)

     1.3. Сравнить результаты расчетов по пунктам 1 и 2.

     Сделаем расчет по формулам, полученным в пунктах 1 и 2, в некоторые моменты времени, составим таблицу и найдем погрешности:

     Таблица 1. Сравнение результатов расчета  двумя методами

t,с	i2(t),А-классический метод	i2(t),А- операторный метод	погрешность
1	2	3	4
0	699,5985	699,6737	0,010749
0,0001	697,9466	698,034	0,012525
0,0002	693,1389	693,2355	0,013931
0,0003	685,3992	685,5019	0,014995
0,0004	674,9508	675,057	0,015737
0,0005	662,0158	662,1229	0,016171
0,0006	646,8137	646,9191	0,016302
0,0007	629,5607	629,6622	0,01613
0,0008	610,469	610,5645	0,01565
0,0009	589,7459	589,8335	0,014848

 

Продолжение таб. 1

1	2	3	4
0,001	567,5932	567,671	0,013708
0,0011	544,2066	544,273	0,012203
0,0012	519,775	519,8285	0,010301
0,0013	494,4805	494,5198	0,007958
0,0014	468,4973	468,5213	0,005121
0,0015	441,9921	441,9997	0,001721
Средняя погрешность, %			0,013203

 

     Из  расчетных данных видно, что средняя  погрешность вычислений не превышает 3%, то есть расчет сделан верно. 

     1.4. Построить график функции i₁(t), найденной в 1 пункте.

       Сделаем расчет значений для первого интервала с шагом:

     

             (37) 

 

      Таблица 2. Расчетные значения для  построения графика функции i₂(t)

t,c	i2(t),A	t,c	i2(t),A	t,c	i2(t),A	t,c	i2(t),A
1	2	3	4	5	6	7	8
-0,001	0	0,0006087	645,4962	0,00129856	494,8896	0,00198842	309,9019
0	0	0,00064928	638,6582	0,00133914	484,4168	0,002029	299,0384
0	699,6737	0,00068986	631,4995	0,00137972	473,8414	0,00206958	288,2295
0,00004058	699,4035	0,00073044	624,0341	0,0014203	463,1745	0,00211016	277,4824
0,00008116	698,5912	0,00077102	616,2762	0,00146088	452,427	0,00215074	266,804
0,00012174	697,2518	0,0008116	608,2396	0,00150146	441,6094	0,00219132	256,201
0,00016232	695,4002	0,00085218	599,9379	0,00154204	430,7323	0,0022319	245,6797
0,0002029	693,0514	0,00089276	591,3849	0,00158262	419,8059	0,00227248	235,2463
0,00024348	690,2204	0,00093334	582,5938	0,0016232	408,84	0,00231306	224,9069
0,00028406	686,9221	0,00097392	573,5779	0,00166378	397,8444	0,00302975	204,3551
0,00032464	683,1715	0,0010145	564,3503	0,00170436	386,8287	0,00374644	186,0187
0,00036522	678,9834	0,00105508	554,924	0,00174494	375,802	0,00446314	169,4272
0,0004058	674,3727	0,00109566	545,3115	0,00178552	364,7735	0,00517983	154,4147
0,00044638	669,3543	0,00113624	535,5255	0,0018261	353,7519	0,00589652	140,8307
0,00048696	663,9428	0,00117682	525,5783	0,00186668	342,7457	0,00661321	128,5394
0,00052754	658,153	0,0012174	515,4819	0,00190726	331,7633	0,0073299	117,4178
0,00056812	651,9993	0,00125798	505,2485	0,00194784	320,8128	0,00804659	107,3546

 

     График  функции I₂(t) будет иметь вид (рис.7):

Рис.7 Переходный процесс в разветвленной электрической  цепи.

 

      2. Используя данные таб.2, определить, в какой момент времени ток через обмотку электромагнита с заданными параметрами, включаемую на синусоидальное напряжение, достигает максимального значения. Найти его амплитуду и построить кривую этого переходного тока.

     Рассмотрим  процесс включения электромагнита на синусоидальное напряжение:

               (38)

     Ток в установившемся режиме при этом будет:

      ,     (39)

     Следовательно,

      .      (40)

     Здесь:

            (41)

     Постоянная А определяется из начального условия, что ток до включения был равен нулю:

     

     Тогда отсюда найдем:

      и

      .    (42)

     Подставляя  исходные данные задачи, получим:

     

     Формула зависимости тока от времени будет:

      (43)

     Максимальное  значение тока через обмотку будет  проходить при максимальном значении первого слагаемого, в первом периоде, так как с течением времени второе слагаемое будет стремиться к 0.

     Найдем  время t, при котором значение тока будет максимально, для этого необходимо выполнение условия:

      то есть

      отсюда найдем:

             (44)

     Ток в это время будет равен:

        (45)

     Амплитуда тока составит:

              (46)

     Для построения графика переходного  процесса составим расчетную таблицу  значений тока:

     Таблица 3. Расчетные значения тока при подключении  катушки на синусоидальное напряжение.

t,с	i(t), А
1	2
0	0,003861
0,001	0,316056
0,002	0,605408
0,003	0,84342
0,004	1,006626
0,005256	1,081657
0,006	1,052918
0,007	0,931112
0,008	0,725195
0,009	0,455129

 

Продолжение таб. 3.

1	2
0,01	0,147159
0,011	-0,16876
0,012	-0,4619
0,013	-0,70375
0,014	-0,87081
0,015	-0,94688
0,016	-0,92468
0,017	-0,80652
0,018	-0,60408
0,019	-0,3373
0,02	-0,03239
0,021	0,280697
0,022	0,571225
0,023	0,810664
0,024	0,975481
0,025	1,049444
0,026	1,025208
0,027	0,905034
0,028	0,700568
0,029	0,431698
0,03	0,124618

 

     График  переходного процесса представлен  на рис. 8.

Рис. 8. Переходный процесс включения катушки  с током на синусоидальное напряжение.

 

Список  используемой литературы:

1. К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. Теоретические основы электротехники. Учебник для ВУЗов, т.2 изд. 4. СпБ: ПИТЕР,  
   2004 г. 575  с.
2. Бессонов Л.И. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1973 г. 750 с.
3. Основы теории цепей. Г.В. Зевеке, П.А.Ионкин, А.В. Нетушин и др. –  
   М. :Энергия, 1972 г. 752 с.
4. Методические указания к оформлению учебно-технической документации. Сост. А.Н. Шпиганович, В.И. Бойчевский, Липецк: ЛГТУ, 1997 г. 32 с.
5. Гинсбург С.Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических сетях. М.: Советское радио, 1950 г. 404 с.