Плаирование и обработка многофакторных экспериментов

МИНИСТЕРСТВО  СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 

УЧРЕЖДЕНИЕ  ОБРАЗОВАНИЯ 

«БЕЛОРУССКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

АГРАРНЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

             Кафедра ОНИП 
 
 

     КУРСОВАЯ  РАБОТА

ПЛАНИРОВАНИЕ  И ОБРАБОТКА МНОГОФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

по дисциплине: «Основы научных исследований» 
 
 

     Пояснительная записка. 
 
 
 
 
 
 

                                                Исполнитель: Лавринович Г.Н.           Гр.4т 

                                                 Руководитель:  Носко В.В. 
 
 
 
 
 
 

     2009

Реферат

     Курсовая  работа 22 страницы, 6 таблиц, 5 источников.

     Ключевые  слова: уравнение регрессии, линейное планирование, функция отклика, факторы, коэффициенты регрессии, композиционное планирование, «звездные» точки.

     Объектом  исследования является смеситель предварительно измельченных компонентов обогатительной смеси.

     Цель  работы – используя исходные данные (результаты опытов), построить и проанализировать уравнение регрессии, отражающее зависимость неоднородности смеси у = ν от факторов х₁, х₂ и х_3.

     В процессе работы проводились аналитические исследования, рассмотрена методика линейного и композиционного планирования.

     В результате выполнения работы проведена проверка качества экспериментальных данных, получено уравнение регрессии, а также матрица планирования.

     Полученные  в ходе работы результаты рекомендуется  использовать для расчета  смесителей кормовых добавок.

Содержание

     Введение         

1. Исходные данные для выполнения расчетов              9
2. Построение и анализ уравнений регрессии при

линейном  планировании       11

1. Статистическая обработка результатов эксперимента  11
2. Вычисление коэффициентов регрессии    12
3. Проверка адекватности полученного уравнения   13
4. Проверка приемлемости линейного уравнения   14
3. Построение и анализ уравнения регрессии при

композиционном планировании      15

1. Общие сведения        15
2. Статистическая обработка результатов эксперимента  16
3. Вычисление коэффициентов регрессии    18
4. Проверка адекватности полученного уравнения   19

Заключение                  20

Список использованных источников     21

Введение

  Эксперимент в ходе развития науки выступал мощным средством исследования явлений природы и технических объектов. Но лишь сравнительно недавно он стал предметом исследования. Пристальное внимание ученых и инженеров к тому, как лучше и эффективнее проводить эксперимент, возникло не случайно, а является следствием достигнутого уровня и масштаба экспериментальных работ на современном этапе развития науки и техники. Этот этап с рассматриваемой точки зрения характеризуется ростом общего числа проводимых экспериментальных работ; увеличением количества специалистов, занимающихся экспериментальной деятельностью; существенным усложнением объектов исследования и используемого экспериментального оборудования; тенденцией к удлинению среднего времени экспериментирования и удорожанию исследований; настоятельной необходимостью всемерного увеличения эффективности и улучшения качества проводимых исследований; начавшимся процессом внедрения средств и систем автоматизации эксперимента.

  Из  всего сказанного понятна закономерность появления нового научного направления: теории планирования эксперимента как методологической основы современных экспериментальных исследований.

  Предмет исследования научного направления  очевиден — эксперимент. Однако особенности планирования, постановки эксперимента рассматриваются и в физике, и в химии, и в прикладных науках. Для того чтобы эксперимент стал предметом исследования отдельного научного направления, необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чертами, общими для любого эксперимента независимо от того, в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими общими чертами эксперимента является необходимость:

1. контролировать любой эксперимент, т. е. исключать влияние внешних переменных, не принятых исследователем по тем или иным причинам к рассмотрению;
2. определять точность измерительных приборов и получаемых данных;
3. уменьшать до разумных пределов число переменных в эксперименте;
4. составлять план проведения эксперимента, наилучший с той или иной точки зрения;
5. проверять правильность (приемлемость) полученных результатов и их точность;
6. выбирать способ обработки экспериментальных данных и форму представления результатов;
7. анализировать полученные результаты и давать их интерпретацию в терминах той области, где эксперимент проводится.

  Конечно, даже при наличии сформулированных общих черт эксперимент не стал бы предметом отдельной науки, если бы задачи, решаемые различными исследователями, не имели ничего общего и полностью определялись спецификой той области знаний, где они работают.

  Однако  это не так. Оказывается, можно выделить типовые задачи исследования, с которыми приходится сталкиваться каждому экспериментатору. К основным, наиболее распространенным типовым задачам исследования обычно относят:

1. получение некоторых предварительных сведений о процессе (обработка литературных данных, опросы специалистов и анализ результатов опросов, отсеивающий эксперимент);
2. получение формульных зависимостей;
3. проверку гипотез, т. е. некоторых содержательных предположений о свойствах объекта;
4. оптимизацию свойств изучаемого объекта (определение оптимальных соотношений, слежение за оптимумом и т. д.).

   Можно сказать, что теория планирования эксперимента в основном предназначена для решения типовых задач исследования (типовые приемы для типовых задач). Они не предназначены для получения кардинально новых данных о свойствах природы, совершения научных открытий (хотя такая возможность и не исключается). Теория планирования эксперимента может во многом облегчить работу экспериментатора, повысить ее эффективность при проведении обычных экспериментов, т. е. экспериментов, которые составляют подавляющую часть современной экспериментальной деятельности ученых и инженеров.

  Математическим  аппаратом теории планирования эксперимента являются теория вероятностей, математическая статистика, а также некоторые разделы прикладной математики.

  Исторически планирование эксперимента получило свое начало в работах Р. Фишера, а затем  формировалось и превращалось в теорию под влиянием трудов Дж. Бокса и Дж. Кифера. Большое значение в становлении современной теории планирования эксперимента, ее обосновании, развитии и внедрении в практику имеют работы советских ученых В. В. Налимова, Е. В. Марковой, Г. К. Круга, В. Д. Федорова и других. В настоящее время идеи и методы планирования эксперимента находят широкое применение в самых различных областях науки и техники.

   Отыскание экстремального значения функции нескольких переменных, для которой отсутствует  аналитическое выражение, методами последовательного варьирования одной переменной при фиксированных всех остальных требует выполнения большого объема опытов. В этом отношении плодотворно использование методов математической теории планирования экспериментов, которые заключаются в выборе числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных, чтобы решить поставленную задачу с минимальными затратами и требуемой точностью. В терминах теории планирования экспериментов это можно сформулировать следующим образом: при неполном знании о так называемой функции отклика. 
 

     у=f(х₁,х₂,…,х_к), 

где х_i – факторы – независимые переменные, которые можно варьировать при постановке опытов, надо оптимально, в некотором смысле, управлять экспериментом с тем, чтобы получить математическую модель и в итоге найти экстремум функции отклика.

     В общем случае функцию отклика, аналитическое  выражение которой неизвестно, можно  представить уравнением регрессии 

     у=β₀+Σ_iβ_i+Σ_ijβ_ijx_ix_j+Σ_iβ_iix_i² 

     i=1,2,…,k;    j≠i 

     а в первом приближении – уравнением линейной регрессии 

     у=β₀+Σ_iβ_iх_i 

     или неполным квадратическим уравнением 

     у= β₀+Σ_iβ_i+Σ_ijβ_ijx_ix_j 

     Составление линейных планов. Чтобы устранить недостатки классического регрессивного анализа, основными из которых являются корреляция между коэффициентами регрессии и трудности в оценке расчетных значений функции отклика, используют кодированные значения факторов 

где z_i – натуральное значение і-го фактора;

z_i1 и z_i2 –соответственно нижняя и верхняя границы измерения величины z_i (уровни ее стабилизации при проведении опытов).

     Тогда значениям z_i1 и z_i2 соответствуют кодированные значения х_і1=-1 и х_і1=+1.

     Матрица планирования эксперимента, строки которой содержат все сочетания факторов х_і, при которых выполняем опыты приведена в таблице 1 для простейшего случая двухфакторного плана. Она лежит в основе построения планов полных факторных экспериментов (ПФЭ) первого порядка. Например, если число факторов k=3, то эту матрицу записываем дважды, сначала дополняя ее третьим фактором х₃=-1, а затем х₃=+1 (таблица 2). Для четырехфакторного плана дважды повторяется таблица 2, дополняемая х₄=-1 (8 первых строк) и х₄=+1 (8 последующих строк) и т.д. 
 

Таблица 1- Матрица планирования двухфакторного эксперимента

Таблица 2- Построение трехфакторного плана первого порядка

     В Научно-производственном объединении  «Белсельхозмеханизация» разработана новая мало затратная технология подготовки кормов к скармливанию на фермах крупного рогатого скота. Корма, которые не нуждаются в обработке (силос, сенаж, сено), скармливают напрямую, а из зернофуража, корнеплодов и белково-минеральных-витаминных добавок готовят обогатительную смесь и балансируют ею рацион животных по питательности, а также с учетом минерального состава местных кормов.

     Ключевым  агрегатом технологической линии  приготовления кормовых добавок  является смеситель предварительно измельченных компонентов обогатительной смеси. Проведены исследования этого смесителя для установления рациональных параметров конструкции и режимов его работы.

     На  первом этапе исследований определена область факторного пространства, в  которой неоднородность смеси (коэффициент вариации ν контрольного компонента в пробах, взятых из приготовленной обогатительной смеси) находится в пределах зоотехнического допуска. В качестве факторов рассматривали частоту вращения вала смесителя n_в, мин^-1. (фактор х₁); ширину полувитков В, м (фактор х₂) и угол установки полувитков смешивающего органа к плоскости, перпендикулярной к оси вала смесителя, а_п, град. (фактор х₃). Уровни варьирования факторов показаны в таблице 3. 

Таблица 3 -Кодирование варьируемых параметров

     Требуется используя исходные данные (результаты опытов), построить и проанализировать уравнение регрессии, отражающее зависимость неоднородности смеси у = ν от факторов х₁, х₂ и х₃.

     Для построения и анализа регрессионной  модели используем результаты опытов, выполняемых по плану полного трехфакторного эксперимента и композиционному плану. 
 
 
 
 

Таблица 4 -Результаты экспериментов по линейному плану

Таблица 5- Результаты дополнительных опытов по плану второго порядка

     2.1 Статистическая обработка результатов эксперимента 

     Статистическая  обработка  результатов проводится с целью проверки однородности экспериментальным данным.

     Находим среднее построчное значение функции  отклика 

     По  данным параллельных опытов вычисляем  построчные выборочные дисперсии 

с числом степеней свободы ν_n = n-1

     Гипотезу  об однородности дисперсий D_і при одинаковом числе повторностей во всех N вариантах опыта проверяем, используя критерий Кохрена:

G=0,3756

полученное  значение должно удовлетворять условию:

     G < G_а,νn,N

где G_а,νn,N – табличное значение критерия при уровне значимости а, числах степеней свободы ν_n и N. В данном примереGкр=0,5157.

     Условие  выполняется, следовательно, экспериментальные данные однородны. 

     2.2 Вычисление коэффициентов  регрессии 

     Определяем  по результатам опытов методом наименьших квадратов, решая относительно неизвестных b₀, b_1,…,b_k систему нормальных уравнений, которая в матричной форме имеет вид: 

     х^Тхb=х^Ту, 

     откуда

     b=сх^Ту 

     где х и х^Т – матрица независимых переменных и соответствующая ей транспонированная матрица;

     b и у – столбцовые матрицы  соответственно коэффициентов регрессии  b_j и результатов опытов ỹ_u;

     с= (х^Тх)^-1 – информационная (ковариационная) матрица, которая является обратной по отношению к матрице системы нормальных уравнений х^Тх.

     В данном примере коэффициенты регрессии  равны: 

     После нахождения коэффициентов регрессии необходимо найти доверительный интервал коэффициентов регрессии ∆b: 

      , в данном примере sb=0.1767.

где   , в данном примере Db=0,0312.

     Таким образом, проведя все расчеты, получим ∆b=0,375 . Сравниваем, полученные раннее значения коэффициента b_i с ∆b видим, что b₆,коэффициенты меньше ∆b, принимаем его равными нулю.

     Получаем  следующее уравнение регрессии: 

     у=22,236-1,449x₁+8.691х₂+1,059x₃-3,141х₁х₂+0,591х₁х₃ 

     2.3 Проверка адекватности  полученного уравнения 

     Уравнение регрессии адекватно экспериментальным  данным, если  

     F<F_{α;νад;νв} 

     Чтобы оценить ошибку расчетных значений в пределах ошибки воспроизводимости опытов, вычисляем отношение: 

     F=Da/Dy 

где Dу – дисперсия воспроизводимости

     Dy=∑Di/N

       Dа – дисперсия адекватности

где   - расчетное значение функции отклика и для данного примера равно:

     Проведя все вычисления, получим Da=6,03,Dу=0,749 ,F=8,05.

Сравнивая полученное значение F с табличным (Fкр=1,62) делаем вывод, что полученное уравнение не адекватно экспериментальным данным.