Планирование и обработка результатов эксперимента на основе факторного анализа

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт сервиса, туризма и дизайна (филиал) в г.Пятигорске

Инженерный факультет

КАФЕДРА  КОМПЛЕКСНОЙ  ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ И СТАНДАРТИЗАЦИИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: Планирование и организация эксперимента

На тему: «Планирование и обработка результатов эксперимента на основе факторного анализа»

Исполнитель: Студент 4 курса П-ССт-с-о-101 группы инженерного факультета

специальности «Стандартизация и сертификация»

Тищенко Снежана Вячеславовна

Руководитель: Доцент кафедры КЗИС

Асланян Ирина Владимировна

Пятигорск, 2014 г. 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт сервиса, туризма и дизайна (филиал) в г.Пятигорске

Инженерный факультет

КАФЕДРА  КОМПЛЕКСНОЙ  ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ И СТАНДАРТИЗАЦИИ

«УТВЕРЖДАЮ»

Зав. кафедрой КЗИС _______________

«____» ____________________ 2014 г.

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

По дисциплине: Планирование и организация эксперимента

студенту 4 курса П-ССт-с-о-101 группы, инженерного факультета специальности «Стандартизация и сертификация»

Тищенко Снежане Вячеславовне

1. Тема _________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

2. Перечень подлежащих разработке  вопросов: _______________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Литература: ___________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Дата выдачи задания «______»  ______________________ 20 ____г.

5. Срок сдачи студентом законченной  работы «______» ______________ 20___г.

Руководитель работы И. В. Асланян

Задание принял к исполнению_____________ «_______» ____________ 20___г.

Пояснительная записка содержит 28 стр., 4 табл., 0 рис., 8 ист. лит.

Тема работы: «Планирование и обработка результатов эксперимента на основе факторного анализа».

Ключевые слова:

Перечень сокращений:

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Цель разработки методологии эксперимента – экономия мысли и труда. Одним из направлений, позволяющим осуществить сформулированную цель, служит применение математических методов планирования эксперимента.

Математические методы планирования эксперимента позволяют исследовать и оптимизировать сложные системы и процессы, обеспечивая высокую эффективность эксперимента и точность определения исследуемых факторов. Планирование эксперимента рассматривается как одно из направлений кибернетики, так как во многих случаях, приступая к изучению некоторого объекта, исследователь не знает всех тонкостей механизма его функционирования. Тогда, основываясь на принципах кибернетики, объект в целом или его элементы можно представлять в виде «черного ящика». В основу планирования эксперимента положены принципы теории эксперимента, такие как последовательность проведения, рандомизация, оптимальное использование факторного пространства и математическое моделирование.

Логически выстроенная последовательность этапов применения специальных положений, правил, методов, способов и приемов исследования для достижения цели эксперимента отображается в виде методики эксперимента.

Методика – это совокупность мыслительных и физических операций, размещенных в определенной последовательности, в соответствии с которой достигается цель исследования. При разработке методик проведения эксперимента необходимо предусматривать:

проведение предварительного целенаправленного наблюдения над

изучаемым объектом или явлением с целью определения исходных данных (гипотез, выбора варьирующих факторов);

создание условий, в которых возможно экспериментирование (подбор объектов для экспериментального воздействия, устранение влияния случайных факторов);

определение пределов измерений;

систематическое наблюдение за ходом развития изучаемого явления и точные описания фактов;

проведение систематической регистрации измерений и оценок фактов различными средствами и способами;

создание повторяющихся ситуаций, изменение характера условий и перекрестные воздействия, создание усложненных ситуаций с целью подтверждения или опровержения ранее полученных данных;

переход от эмпирического изучения к логическим обобщениям, к анализу и теоретической обработке полученного фактического материала.

Рассмотрим основы изучения содержания этапов в понятиях классического и вычислительного экспериментов.

Классический эксперимент. Процесс выполнения классического (материального) эксперимента структурируется в шесть последовательно выполняемых этапов.

1 Постановка проблемы, обоснование целей и задач эксперимента. Содержание первого этапа зависит от того, какой проблемой обусловлен эксперимент, то есть совершенствование, развитие или реорганизация системы управления. Отметим некоторые его особенности. Обоснование цели и задач эксперимента основывается на анализе собранной информации, выдвинутой гипотезе и теоретических разработках. Цель должна определять ожидаемые результаты исследования, а задачи – промежуточные результаты, которые будут получены по отдельным этапам исследования.

2 Формализация изучаемой реальности. Началом изучения объекта эксперимента следует считать: а) построение его структурной модели с использованием принципов кибернетики и процессного подхода;

б) сбор, изучение и анализ имеющихся данных об объекте;

в) определение входных X (экзогенных) и выходных Y (эндогенных) параметров, также параметров преобразования Z (управляемых переменных).

3 Обоснование средств и требуемого количества измерений или наблюдений, которые рассматриваются в качестве источников сбора информации. Для измерения в первую очередь используются стандартные, серийно выпускаемые приборы и аппараты. В отдельных случаях возникает потребность в создании уникальных средств измерения.

4 Проектирование процесса проведения эксперимента. Вначале составляют последовательность (очередность) проведения измерений и наблюдений в приложении к структурной модели объекта. Затем каждую операцию измерения описывают с учетом выбранных измерительных средств. Большое внимание уделяют методам контроля качества операций, записи результатов наблюдений и измерений.

5 Планирование эксперимента. Планирование эксперимента необходимо во всех случаях, когда еще перед началом исследования предварительные знания можно представить (задать гипотезу) математической моделью. Планирование эксперимента начинается с выбора варьируемых факторов и установления из них основных и второстепенных, влияющих на исследуемый процесс.

6 Выбор методов обработки и анализа экспериментальных данных. Обработка данных сводится к систематизации всех чисел, классификации и анализу. Результаты экспериментов должны быть сведены в удобные формы записи – таблицы, графики, формулы, номограммы, позволяющие быстро сопоставить полученные результаты. Особое внимание должно быть уделено математическим методам обработки опытных данных – аппроксимации каким-либо видом эмпирической зависимости, проверке адекватности модели, нахождению критериев и доверительных интервалов

Вычислительный эксперимент. Принципиальное отличие вычислительного эксперимента от классического состоит в том, что он проводится не с реальной системой, а с ее моделью. В этом контексте особенно заслуживают внимания имитационные эксперименты. Под вычислительным экспериментом понимается численный метод проведения экспериментов с математическими и имитационными моделями, описывающими поведение сложных систем в некоторый период времени. В процессе вычислительного эксперимента исследователь имеет дело с тремя основными моделями:

реальным объектом (системой);

имитационной моделью объекта;

информационно-вычислительной системой.

Цель выполнения курсовой работы "Планирование и обработка результатов эксперимента на основе факторного анализа"– закрепление и углубление знаний по дисциплинам фундаментального, общетехнического и профессионального циклов, а также подробное изучение современных методов планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.

Задачами курсовой работы являются: приобретение навыков выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построение матрицы планирования, обработка и анализ полученных результатов в зависимости от выбранного плана эксперимента. 

1 ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО  ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ  МОДЕЛИ ОБЪЕКТА КОНТРОЛЯ ИЛИ УПРАВЛЕНИЯ

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней п независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируют на двух уровнях. Число этих комбинаций N=2nопределяет тип ПФЭ. Для упрощения дальнейшее изложение построим на примере планирования типа N = 23, т.е. на примере объекта с тремя(n = 3) независимыми управляемыми факторами x1, х2, х3. При планировании эксперимента проводят преобразование размерных управляемых независимых факторов хiв безразмерные (нормированные):

.

Это дает возможность легко построить ортогональную матрицу планирования и значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние и нижние уровни варьирования ziв и ziн в относительных единицах равны соответственно +1 и –1 независимо от физической природы факторов, значений основных уровней xiв и xiн и интервалов варьирования факторов Δхi.

Матрица планирования. Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях: нижнем -1 и верхнем +1, соответствующих значениям кодированных переменных x1,x2,……xn .

Таким образом, полным факторным экспериментом называется система

опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

1. Составление матрицы планирования

При построении матрицы планирования ПФЭ существует следующее правило: первая строка матрицы в столбцах, соответствующих рассматриваемым в эксперименте факторам, заполняется безразмерным символом, соответствующим нижнему уровню значений фактора в эксперименте, то есть символом «–». Продолжение заполнения столбца, соответствующего первому по порядку фактору, проводится последовательным чередованием противоположных знаков (безразмерных значений уровней варьирования фактора).Все последующие столбцы, соответствующие другим пронумерованным по порядку факторам, заполняются с частотой смены знака вдвое меньшей, чем для предыдущего столбца.

Заполнение столбцов, учитывающих взаимодействие факторов, производится как результат перемножения знаков соответствующих факторов в каждой строке.

В последний столбец матрицы заносятся экспериментальные значения функции отклика, полученные в результате проведения каждого опыта. Матрица планирования для двух факторов приведена в таблице 1.

Таблица 1 Матрица планирования ПФЭ типа22

Такую матрицу называют матрицей планирования ПФЭ типа 22 (два фактора варьируются на двух уровнях).

Если в эксперименте используются три фактора, а предполагаемая математическая модель линейна, то она соответствует виду

Y=b0+b1X1+b2X2+b3X3+b12X1X2+b13X1X3+b23X2X3+b123X1X2X3(1).

При варьировании каждым из трех факторов (k=3) на двух уровнях число опытов N будет составлять N=23=8. В этом случае опытные точки располагаются в вершинах куба, центр которого находится в начале координат (0,0,0).

Матрица планирования ПФЭ 23 составляется по описанным ранее правилам, и будет иметь вид, приведенный в таблице 2.

Таблица 2 – Матрица планирования ПФЭ типа 23

Руководствуясь изложенным ранее правилом можно построить матрицу и для большего числа рассматриваемых в эксперименте факторов, число опытов в котором равно:

N=2k,                                                               (2)

где k – число учитываемых в эксперименте факторов.

При статистическом методе планирования эксперимента существуетправило: число уровней варьирования, учитываемых в эксперименте факторов, должно быть, по крайней мере, на единицу больше порядкаполинома, для построения которого планируется эксперимент. Планирование эксперимента началось с предположения, что математическая модель исследуемого процесса соответствует полиному первого порядка, поэтому достаточно проводить варьирование каждого из k факторов на двух уровнях, а необходимое число проводимых опытов можно определить с помощью выражения (2).

Если анализ результатов эксперимента показывает, что линейная модель, соответствующая полиному первого порядка, не адекватна исследуемому процессу, то переходят к планированию и проведению следующего эксперимента, исходя уже из предположения, что математическая модель соответствует полиному следующего порядка и так далее.

Необходимо обеспечить варьирование по каждому из факторов уже на трех уровнях. Тогда необходимое число опытов, которое нужно провести в эксперименте, должно быть не менее N=3k, для полинома третьего порядка N=4k и так далее.

Достоинства многофакторного планирования ПФЭ:

1. Опытные точки находятся в оптимальном положении, то есть математическое описание исследуемого процесса оказывается более точным, чем при проведении опытов в точках, расположенных каким-либо другим образом.

2. Планирование и проведение ПФЭ сравнительно просто, что объясняет его широкое применение на практике.

3. Все факторы и соответственно коэффициенты полинома оцениваются независимо друг от друга, что обеспечивается независимостью и ортогональностью столбцов матрицы планирования.

1.2 Проведение эксперимента на объекте исследования

Так как изменение отклика y носит случайный характер, то в каждой точке g приходится проводить т параллельных опытов и результаты

наблюдений yg1, yg2, ..., ygm усреднять:

g=(3)

Пусть в рассматриваемом случае число параллельных опытов в каждой строке матрицы планированияm=3. Перед реализацией плана на объекте необходимо рандомизировать (расположить в случайном порядке) варианты варьирования факторов, то есть с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел или компьютерной программы для проведения процесса рандомизации определить последовательность реализации вариантов варьирования плана в N×m опытах.

Далее проводят эксперимент, и результаты наблюдений эксперимента соответственно вариантам варьирования плана записывают в столбцы yg1, yg 2,yg3, а в столбце записывают осредненныезначения.

1.3 Составление сводной  таблицы, включающей рабочую матрицу

Рассматривался полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа 23, матрица планирования которого и результаты эксперимента приведены в таблице 1.Используя данные, заполним матрицу планирования эксперимента

Таблица 3 – Сводная таблица, включающая рабочую матрицу

Далее проводим эксперимент, и результаты наблюдений эксперимента соответственно вариантам варьирования плана записываем в столбцы, а в столбце записываем осредненные значения.

Данные из сводной таблицы рабочей матрицы и матрицы планирования будем использовать для проверки воспроизводимости эксперимента, получения математической модели и проверки адекватности математического описания.

2. ПРОВЕРКА МОДЕЛИ ОБЪЕКТА НА ВОСПРОИЗВОДИМОСТЬ И АДЕКВАТНОСТЬ

1. Проверка воспроизводимости эксперимента

Воспроизводимость–свойство результатов воспроизводиться, когда устойчиво получают одинаковые результаты при воспроизведении и одних и тех же условий. Воспроизводимость – это главное условие объективности, контролируемости и достоверности.

Существуют разные причины плохой воспроизводимости. Во-первых, при отсутствии уверенного контроля над системой данные могут быть получены случайно, и при попытке повторить эксперимент не воспроизводятся уже никогда. Во-вторых, в протоколе могут быть подводные камни, то есть непредусмотренные в описании условия, которые воспроизводятся, но не всегда, не везде и не у всех. В-третьих, неопытный экспериментатор может не получить даже стабильно воспроизводимые результаты просто из-за отсутствия необходимой квалификации.

В первом случае протокол не имеет никакой практической значимости, во втором он требует доработки, в третьем претензии предъявляют к квалификации экспериментатора, неспособного воспроизвести ранее полученные результаты. Поэтому любой протокол вначале должен быть проверен на воспроизводимость его автором, а затем апробирован другими опытными экспериментаторами. Для обучения неквалифицированных работников применяют только стабильно воспроизводимые протоколы

Необходимым условием применения метода наименьших квадратов для расчета оценок коэффициентов модели является однородность оценок

дисперсии воспроизводимости среднего значения функции отклика во всех точках плана. Поэтому обязательным этапом обработки должна быть проверка статистической гипотезы об однородности совокупности дисперсий воспроизводимости. В условиях различного количества опытов в точках плана применяют критерии Фишера.

Если количество повторных опытов в каждой точке плана достаточно велико (больше 7), то средние значения функции отклика можно считать распределенными по нормальному закону. Проверка однородности по критерию Фишера сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин:

Из совокупности оценок дисперсии среднего значения функции отклика, выбирается минимальное Du min и максимальное Du max значения с числом степеней свободы соответственно ju min и ju max;вычисляется значение критерия Фишера F=Du max/Du min, которое сравнивается с критическим значением Fкр=F(a; ju max; ju min), где a–уровень значимости (обычно «a» выбирают в пределах от 0,01 до 0,1). Критическая область является односторонней (альтернативная гипотеза допускает между проверяемыми оценками дисперсии соотношение Du max>Du min). Критическое значение определяют по специальным таблицам или с использование стандартных функций математических пакетов.

Гипотеза об однородности оценок дисперсии воспроизводимости в различных точках плана принимается, если условие F≤Fкр выполняется, и отвергается в противном случае.

Опыт считается воспроизводимым, если дисперсия Dyi выходного параметра yi однородна в каждой точке факторного пространства. Оценка Syi дисперсии Dyi определяется для каждой точки факторного пространства по формуле (4):

.                                        (4)

.

Аналогично вычисляем остальные значения. Полученные данные сводим в таблицу 3.

Таблица 3 – Оценки дисперсий

Для определения ошибочности повторных опытов используем критерий Стьюдента:

.                                                   (5)

Экстремальные значения tвычислим по формулам:

;                                    (6)

                                     (7)

Для каждого из опытов по формулам (6) и (7) рассчитаемtmax, tminи полученные значения занесем в таблицу 4.