Планирование и организация эксперимента. 4

    ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

    ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ  ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ

         Кафедра стандартизации и сертификации пищевых продуктов 
 

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ 

«Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа»

Специальность 200503 -  Стандартизация и сертификация

Выполнил:

студентка 402-С группы Нурмагамбетова А. Б.

Проверил:

Ст. преподаватель

Смирнова  Н. Т.

Омск  2009

Оглавление

  1 Основные понятия и определения  планирования эксперимента

  2 Регрессионный анализ

    2.1 Метод наименьших квадратов

    2.2 Полный факторный эксперимент

    2.3 Дробный факторный эксперимент

  3 Дисперсионный анализ

    3.1 Однофакторный дисперсионный анализ

    3.2 Двухфакторный дисперсионный анализ

    3.3 Априорное ранжирование факторов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Практическая  часть

Задание 1

     Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости . Исходные данные для расчетов приведены в таблице 1

Т а  б л и ц а 1

  Составим  систему уравнений с нахождением коэффициентов а₀ и а₁ по формуле

  Если  умножить первое уравнение на цифру  три,  получится 

  Отняв от первого уравнения второе, получаем что 

  Из  чего следует, что коэффициент а₁=1,193

  Чтобы найти а₀ подставим найденный коэффициент в первое уравнение

5а₀+15*1,193= -44,7

5а₀= -17,895-44,7

5а₀= -62,595

а₀= -12,519

  Рассчитаем  экспериментальное значение для  каждого Y

Y₁= -12,519+1*1,193= -11,326

Y₂= -12,519+2*1,193= -10,133

Y₃= -12,519+3*1,193= -8,94

Y₄= -12,519+4*1,193= -7,747

Y₅= -12,519+5*1,193= -6,554

  Построим  график

  Найдем  погрешность каждого эксперимента по ф-ле

  Е_i=|(y_т-у_р)/у_max|*100%

Ε₁=|(-11,33+11,326)/-11,326|*100%=0,035%

Е₂=|(-10,3+10,133)/-10,133|*100%=1,65%

Е₃=|(-8,78+8,94)/-8,78|*100%=1,82%

Е₄=|(-7,55+7,75)/-7,55|*100%=2,65%

Е₅=|(-6,74+6,55)/-6,55|*100%=2,9% 
 

Задание 2

     Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости . Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2

              Т а б л и ц а 2

Составим  систему уравнений 

  Чтобы найти коэффициенты а₀,а₁,а₁₂ воспользуемся методом Крамера

  Составим  основной определитель

    = 9*(96*1583,25 - 378*378) – 27*(27*1583,25 - 96*378) +96* (27*378 – 96*96) = 2598,75

   Составим определитель для а₀

    = 228,93*(96*1583,25 – 378*378) – 27* (960,565*1583,25 – 4133,977*378) + 96*(960,565*378 – 4133,977**96) = -27277,594

   Составим определитель для а₁ 

= 9*(960,565*1583,25 – 4133,977*378) – 228,93* (27*1583,25 – 96*378) + 96*(27*4133,977 – 96*960,565) = 7411,444

  Составим  определитель для а₁₂

       = 9*(96*4133,977 – 378*960,565) – 27*(27*4133,977 – 96*960,565) + 228,93*(27*378 – 96*96) = 6670,013

  Разделив  получившиеся значения на основной определитель, получаем значение необходимых коэффициентов

а₀= -27277,594/2598,75= -10,50

а₁= 7411,444/2598,75= 2,85

а₁₂=6670,013/2598,75=2,57

  Рассчитаем  экспериментальное значение для  каждого Y

Y₁= -10,5+2,85*1+2,57*1²= -5,08

Y₂= -10,5+2,85*1,5+2,57*(1,5)²= -0,44

Y₃= -10,5+2,85*2+2,57*2²= 5,47

Y₄= -10,5+2,85*2,5+2,57*(2,5)²= 12,67

Y₅= -10,5+2,85*3+2,57*3²= 21,16

Y₆= -10,5+2,85*3,5+2,57*(3,5)²= 30,93

Y₇= -10,5+2,85*4+2,57*4²= 41,98

Y₈= -10,5+2,85*4,5+2,57*(4,5)²= 54,31

Y₉= -10,5+2,85*5+2,57*5²= 67,93

Построим  график

Найдем  погрешность каждого эксперимента по ф-ле

  Е_i=|(y_т-у_р)/у_max|*100%

Ε₁=|(-5,32+5,08)/-5,08|*100%=4,72%

Е₂=|(-0,22+0,44)/-0,22|*100%=100%

Е₃=|(5,62-5,47)/5,47|*100%=2,74%

Е₄=|(12,54-12,67)/12,54|*100%=1,04%

Е₅=|(21,39-21,16)/21,16|*100%=1,09%

Е₆=|(31,06-30,93)/30,93|*100%=0,42%

Е₇=|(41,43-41,98)/41,43|*100%=1,33%

Е₈=|(54,25-54,31)/54,25|*100%=0,11%

Е₉=|(68,18-67,93)/67,93|*100%=0,37% 
 

Задание 3

     Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости . Исходные данные для расчетов приведены в таблице 3

                                Т а б л и ц а 3

  Составим  систему уравнений с нахождением  коэффициентов а₀ и а₁ по формуле

  Если  умножить первое уравнение на 3,98,  а второе на цифру шесть 

  Отняв от первого уравнения второе, получаем что 

  Из  чего следует, что коэффициент а₁=5,14

  Чтобы найти а₀ подставим найденный коэффициент в первое уравнение

6а₀+3,98*5,14= -38,73

6а₀= -20,465-38,73

6а₀= -59,195

а₀= -9,87

  Рассчитаем  экспериментальное значение для  каждого Y

Y₁= -9,87+5,14/1= -4,72

Y₂= -9,87+5,14/1,25= -5,75

Y₃= -9,87+5,14/1,5= -6,44

Y₄= -9,87+5,14/1,75= -6,93

Y₅= -9,87+5,14/2= -7,29

Y₆= -9,87+5,14/2,25= -7,58

  Построим  график

  Найдем  погрешность каждого эксперимента по формуле

  Е_i=|(y_т-у_р)/у_max|*100%

Ε₁=|(-4,76+4,72)/-4,72|*100%= 0,76%

Е₂=|(-5,59+5,75)/-5,59|*100%= 2,86%

Е₃=|(-6,76+6,44)/-6,44|*100%= 4,97%

Е₄=|(-6,4+6,93)/-6,4|*100%= 8,28%

Е₅=|(-7,12+7,29)/-7,12|*100%= 2,46%

Е₆=|(-8,1+7,58)/-7,58|*100%= 6,86%

Задание 4

     Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости , и проверить регрессионную зависимость на адекватность для двухфакторного полнофакторного эксперимента. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 4

Т а б л  и ц а 4

     Находим среднее значение в каждом опыте Ф-ла 

У_{1 ср} = (-1,18-1,28-1,28)/3= -1,247

У_{2 ср} = (-12,54-12,64-12,69)/3= -12,623

У_{3 ср} = (-15,24-15,22-15,24)/3= -15,233

У_{4 ср} = (1,49+1,5+1,38)/3= 1,457

     Находим построчную дисперсию каждой выходной величины Ф-ла 

S²₁= ((-1,18+1,247)²+(-1,28+1,247)²+(-1,28+1,247)²)/(3-1)=0,0033

S²₂= ((-12,54+12,623)²+(-12,64+12,623)²+(-12,69+12,623)²)/(3-1)=0,0058

S²₃= ((-15,24+15,233)²+(-15,22+15,233)²+(-15,24+15,233)²)/(3-1)=0,0001

S²₄= ((1,49-1,457)²+(1,50-1,457)²+(1,38-1,457)²)/(3-1)=0,0044

     Находим расчетный коэффициент  Кохрэна Ф-ла 

0,0033+0,0058+0,0001+0,0044=0,0137

G_p=0,0058/0,0137= 0,42

     Так как расчетный критерий  Кохрэна меньше табличного критерия  равного 0,77, то делаем вывод  о том, что дисперсии признаются  однородными и регрессионный  анализ ведут дальше

     Находим коэффициенты по ф-ле 

а₀= (-1,247-12,623-15,233+1,457)/4= -6,913

а₁=(1,247-12,623+15,233+1,457)/4= 1,328

а₂=(1,247+12,623-15,233+1,457)/4= 0,023

а₁₂=(-1,247+12,623+15,233+1,457)/4= 7,017

     Составим новый вид регрессионной  зависимости с учетом полученных  коэффициентов

У= -6,913+1,328Х₁+0,023Х₂+7,017Х₁Х₂

     Находим расчетное значение для  каждого эксперимента

У_{1 р}= -6,913-1,328-0,023+7,017= -1,248

У_{2 р}= -6,913+1,328-0,023-7,017= -12,624

У_{3 р}= -6,913-1,328+0,023-7,017= -15,234

У_{4 р} = -6,913+1,328+0,023+7,017= 1,456

Найдем  погрешность каждого эксперимента по формуле

  Е_i=|(y_т-у_р)/у_max|*100%

Ε₁=|(-1,247+1,248)/-1,247|*100%=0,08%

Е₂=|(-12,623+12,624)/-12,623|*100%=0,008%

Е₃=|(-15,233+15,234)/-15,233|*100%=0,007%

Е₄=|(1,457-1,456)/1,456 |*100%=0,07%

Необходимо  оценить найденные коэффициенты на статистическую значимость с использованием критерия Стъюдента по формуле

f=N*(m-1)

f=4*(3-1)=8

Если  расчетное значение коэффициента Стъюдента будет меньше табличного равного 2,3, то данный коэффициент удаляется из нашей регрессионной зависимости

t_i=|a_k|/S{} 

Найдем оценку дисперсии коэффициента по формуле

S²{}= S²_воспр/N*m          

S²{}=0,0034/3*4=0,0003

S{}=0,017

t₀=6,913/0,017=406,6

t₁=1,328/0,017=78,1

t₂=0,023/0,017=1,4

t₁₂=7,017/0,017=412,7

Так как  t₂ меньше табличного коэффициента, то он исключается из регрессионной зависимости

У= -6,913+1,328Х₁+7,017Х₁Х₂

Находим расчетное значение для каждого  эксперимента

У₁= -6,913-1,328+7,017=1,224

У₂= -6,913+1,328-7,017= -12,602

У₃= -6,913-1,328-7,017= -15,258

У₄= -6,913+1,328+7,017=1,432

Найдем  погрешность каждого эксперимента по формуле

  Е_i=|(y_т-у_р)/у_max|*100%

Ε₁=|(-1,247+1,224)/-1,224|*100%=1,88%

Е₂=|(-12,623+12,602)/-12,602|*100%=0,17%

Е₃=|(-15,233+15,258)/-15,233|*100%=0,23%

Е₄=|(1,457-1,432)/1,432 |*100%=1,74%

    Полученное  уравнение регрессии необходимо проверить на адекватность исследуемому объекту. Для этой цели необходимо оценить, насколько отличаются средние значения выходной величины, полученной в каждой точке факторного пространства в результате проведения опытов и конечные значения полученных также в этих же точках факторного пространства.

  Критерий  Фишера находим по формуле

  F_p=S²_ад/S²_воспр 
 

F_p=0,01/0,0034=1,94

    Так как расчетный критерий Фишера меньше табличного критерия равного 5,32, то модель адекватна экспериментальным данным и ее можно использовать для дальнейших исследований. 
 
 

Задание 5

     Найти оценки коэффициентов регрессионной  зависимости  и проверить регрессионную зависимость на адекватность для трехфакторного полнофакторного эксперимента. Исходные данные для расчетов приведены в таблице

Т а  б л и ц а

     Находим среднее значение в каждом опыте Ф-ла 

У_{1 ср} = (-6,94-6,97-6,97)/3= -6,96

У_{2 ср} = (-12,07-12,12-12,12)/3= -12,103

У_{3 ср} = (-13,26-13,33-13,27)/3= -13,287

У_{4 ср} = (-12,56-12,56-12,48)/3= -12,533

У_{5 ср} = (-9,58-9,51-9,42)/3= -9,503

У_{6 ср} = (-0,75-0,64-0,72)/3= -0,703

У_{7 ср} = (-9,14-9,02-9,07)/3= -9,077

У_{8 ср} = (5,73+5,69+5,62)/3= 5,68 

     Находим построчную дисперсию  каждой выходной величины Ф-ла 

S²₁= ((-6,94+6,96)²+(-6,97+6,96)²+(-6,97+6,96)²)/(3-1)=0,0003

S²₂= ((-12,07+12,103)²+(-12,12+12,103)²+(-12,12+12,103)²)/(3-1)=0,0008

S²₃= ((-13,26+13,287)²+(-13,33+13,287)²+(-13,27+13,287)²)/(3-1)=0,0014

S²₄= ((-12,56+12,533)²+(-12,56+12,533)²+(-12,48+12,533)²)/(3-1)=0,0021

S²₅= ((-9,58+9,503)²+(-9,51+9,503)²+(-9,42+9,503)²)/(3-1)=0,0064

S²₆= ((-0,75+0,703)²+(-0,64+0,703)²+(-0,72+0,703)²)/(3-1)=0,0032

S²₇= ((-9,14+9,077)²+(-9,02+9,077)²+(-9,07+9,077)²)/(3-1)=0,0036

S²₈= ((5,73-5,68)²+(5,69-5,68)²+(5,62-5,68)²)/(3-1)=0,0031 

     Находим расчетный коэффициент  Кохрэна Ф-ла 

(0,0003+0,0008+0,0014+0,0021+0,0064+0,0032+0,0036+0,0031)/8=0,0211

G_p=0,0064/0,0211= 0,3

     Так как расчетный критерий  Кохрэна меньше табличного критерия равного 0,77, то делаем вывод о том, что дисперсии признаются однородными и регрессионный анализ ведут дальше

     Находим коэффициенты по ф-ле 

а₀= (-6,96-12,103-13,287-12,533-9,503-0,703-9,077+5,68)/8= -7,311

а₁=(6,96-12,103+13,287-12,533+9,503-0,703+9,077+5,68)/8= 2,396

а₂=(6,96+12,103-13,287-12,533+9,503+0,703-9,077+5,68)/8= 0,007

а₃=(6,96+12,103+13,287+12,533-9,503-0,703-9,077+5,68)/8=3,910

а₁₂=(-6,96+12,103+13,287-12,533-9,503+0,703+9,077+5,68)/8= 1,482

а₁₃=(-6,96+12,103-13,287+12,533+9,503-0,703+9,077+5,68)/8= 3,493