Планирование и организация эксперимента. 3

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

Наименование факультета - Электрофизический

Наименование направления-Метрология, стандартизация и сертификация

Наименование кафедры - КИСМ

 

 

 

 

 

Планирование  и организация Экспиремента

Курсовая работа

 

Студент гр. 1Г40           ___________________              Т. А. Букрина

     (подпись)

      ___________________

   (дата)

Руководитель               ____________________             В. Ю. Казаков

(подпись)

      ____________________

(дата)

 

 

                                                      

Томск 2007

 

 

 

 

Содержание

 

   

С.

 

Введение

4

1

Определение характеристик случайной величины

5

 

1.1 Определение объема выборки

5

 

1.2 Определение вида распределения

5

 

1.3 Определение точечных и интервальных оценок

14

2

Определение регрессионной  зависимости

16

 

2.1 Проведение эксперимента

16

 

2.2 Определение регрессионной зависимости

17

 

Заключение

24

 

Список использованных источников

25

 

Приложение А

26


 

 

 

Введение

 

В настоящее время математическую статистику можно определить как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Главной задачей экспериментатора является сокращение времени и затрат на проведение эксперимента. Этих цели можно достигнуть, используя методы математической статистики и приемы планирования.

Статистические выводы относятся к процессу получения какого-либо заключения относительно генеральной совокупности по свойствам выборки из этой совокупности. Обычно совокупность характеризуется одним или несколькими параметрами.

Математическая статистика основывается на допущении, что выборки, взятые из генеральной совокупности, являются случайными, то есть каждый элемент совокупности может с одинаковой вероятностью оказаться включенным в выборку, и что извлечение n элементов не влияет на модель изменчивости совокупности.

Эксперимент – это совокупность операций совершаемых над объектом исследования, с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент состоит из составления плана, выбора модели и осуществления эксперимента.

Основная цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов

В данной курсовой работе необходимо получить заключение относительно генеральной совокупности по свойствам  выборки полученной из этой совокупности. Спланировать и провести компьютерный эксперимент, проанализировать результат и получить регрессионную модель зависимости отклика от факторов. 

 

 

 

 

1 Определение  характеристик случайной величины

1.1 Определение  объема выборки

 

Объем выборки  определяется по формуле (1).

      (1)

где  n – объем выборки;

 – квантиль нормального распределения [1];

α – уровень значимости;

 – абсолютная погрешность.

Зададим уровень  значимости α = 0,01 и допустимую абсолютную погрешность = 0,115, тогда = 2,58, следовательно, объем выборки         n = 500. Полученная выборка представлена в приложение А.

 

1.2 Определение  вида распределения

Построим гистограмму  по полученной выборке.

Для построения гистограммы разобьем область данных на 10 интервалов согласно формуле (2).

     (2)

где ∆ – количество интервалов;

  n – объем выборки.

Из априорной информации известно, что программа генерирует выборки заданного объема для  непрерывной случайной величины. При этом возможны распределения вида: нормальное, равномерное, экспоненциальное, Рэлея. Построим гистограмму – рисунок 1.


 

Анализируя гистограмму  можно предположить, что выборка  распределена по нормальному закону или по закону Рэлея. Для наглядности  построим гистограммы, на которые нанесем функцию плотности распределения вероятностей. На рисунке 2 представлена гистограмма с функцией плотности распределения вероятностей для выборки, распределенной по нормальному закону, на рисунке 3 представлена гистограмма с функцией плотности распределения вероятностей для выборки, распределенной по закону Рэлея.



 

Определим закон распределения для полученной выборки с помощью критерия Пирсона (критерий «хи-квадрат»). [2]

Выдвинем основную гипотезу Н0 и альтернативную гипотезу Н1.

Гипотеза Н0:  Выборка распределена по нормальному закону в интервале (1,6; 65,4) при уровне значимости a = 0,01

Гипотеза Н1: Выборка распределена не по нормальному закону в интервале (1,6; 65,4) при уровне значимости a = 0,01

Интервал значений величины рассчитываем по формуле (3).

    (3)

где xmax – верхняя граница интервала;

xmin – нижняя граница интервала.

Рассчитываем число частичных интервалов по формуле (4).

     (4)

где ∆ – количество интервалов (формула 2).

В качестве критерия согласия принимают случайную величину (критерий «хи-квадрат») формула (5).

          (5)

где ni – фактическая частота попадания в частичный интервал;

ni* – теоретическая частота попадания в частичный интервал.

Теоретические частоты  попадания в частичный интервал рассчитываем по формуле (6).

     (6)

где  n – объем выборки;

рi*– теоретическая вероятность  попадания случайной величины в частичный интервал.

Результаты расчетов фактической частоты попадания в частичный интервал и теоретической частоты приведены в таблице 1.

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

 

 

№ интервала

Границы интервала

ni

рi*

ni*

от

до

1

1,60

7,98

31

0,049075

24,5375

2

7,98

14,36

68

0,092687

46,3435

3

14,36

20,74

74

0,142065

71,0325

4

20,74

27,12

88

0,176715

88,3575

5

27,12

33,5

81

0,178401

89,2005

6

33,5

39,88

62

0,146167

73,0835

7

39,88

46,26

43

0,097191

48,5955

8

46,26

52,64

24

0,052447

26,2235

9

52,64

59,02

19

0,022966

11,483

10

59,02

65,4

10

0,008161

4,0805




 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическую вероятность рi* попадания случайной величины в частичный интервал рассчитываем с помощью вероятностного калькулятора программы STATISTICA 6.0, для этого по формулам (7, 8) определяем среднее арифметическое выборки и оценку СКО.

     (7)    

где  n – объем выборки;

       xi – i-ый элемент выборки.

= 27,41

                      (8)           

= 13,84

 

По формуле (5) рассчитаем значение  c2.

c2 = 28,72

Число степеней свободы  К = 7

По таблице определим  критическое значение cкр2 = 18,5 [1]

Так как c2 > cкр2,  то нулевую гипотезу следует отклонить.

Следовательно, выборка распределена не по нормальному закону.

Выдвинем другие гипотезы Н0 и Н1.

Гипотеза Н0:  Выборка распределена по закону Рэлея в интервале       (1,6; 65,4) при уровне значимости a = 0,01

Гипотеза Н1: Выборка не распределена по закону Рэлея в интервале       (1,6; 65,4) при уровне значимости a = 0,01

Новые гипотезы также проверим с  помощью критерия Пирсона.

Распределение по закону Рэлея является частным случаем распределения  по закону Вейбулла, функция плотности распределения вероятностей φ(х) для выборки, распределенной по закону Вейбулла, описывается формулой (9). [3]

    (9)     

При β = 2 распределение Вейбулла переходит  в распределение Рэлея, параметр α становится равным  , параметр b рассчитываем по формуле (10).    

     (10)           

где  n – объем выборки;

       xi – i-ый элемент выборки.

b = 21,7121

Результаты расчетов фактической частоты попадания в частичный интервал и теоретической частоты для элементов выборки распределенных по закону Рэлея приведены в таблице 2.

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

№ интервала

Границы интервала

ni

рi*

ni*

от

до

1

1,60

7,98

31

0,062599

31,2995

2

7,98

14,36

68

0,131137

65,5685

3

14,36

20,74

74

0,169884

84,942

4

20,74

27,12

88

0,175304

87,652

5

27,12

33,5

81

0,154234

77,117

6

33,5

39,88

62

0,119028

59,514

7

39,88

46,26

43

0,081764

40,882

8

46,26

52,64

24

0,050419

25,2095

9

52,64

59,02

19

0,028061

14,0305

10

59,02

65,4

10

0,014147

7,0735


 

По формуле (5) рассчитаем значение  c2.

c2 = 4,94

 

Число степеней свободы  К = 8

По таблице определим  критическое значение cкр2 = 20,1 [1]

Так как c2 < cкр2,  то нулевую гипотезу следует принять.

Следовательно, выборка распределена по закону Рэлея.

Построим функцию плотности  распределения вероятностей φ(х) – рисунок (4)  и функцию распределения вероятностей F(x) – рисунок (5). φ(х) и F(x) рассчитываем по формулам (11, 12).

 

    (11)     

     

    (12)           

где  b – параметр распределения по закону Рэлея, рассчитываемый по формуле (10).


 


 

Построим теоретическую  функцию распределения вероятностей F(x) – рисунок (6).

 

 


 

Построим эмпирическую функцию распределения – рисунок (7).

 


 

 

1.3 Определение точечных  и интервальных оценок

В качестве оценки математического ожидания будем считать величину М(Х) определяемую формулой (13). [2]

М(Х) = = 1,253b     (13)

М(Х) = 27,205

В качестве оценки дисперсии будем считать величину D(Х) определяемую формулой (14).

D(Х) = = 0,429b2            (14)

D(Х) = 202,237

В качестве оценки СКО будем считать величину s(Х) определяемую формулой (15).

s (Х) = = 0,655b   (15)

s(Х) = 14,221

В качестве оценки медианы будем считать величину Ме(Х) определяемую формулой (16).

Ме(Х) = = 1,117b      (16)

Ме(Х) = 24,252

В качестве оценки моды  будем считать величину Мо(Х) определяемую формулой (17).

Мо(Х) = b        (17)

Мо(Х) = 21,712

где  b – параметр распределения, рассчитываемый по формуле (10).

Для определения  интервальных оценок воспользуемся программным продуктом MATLAB R2006.

Для определения  доверительного интервала, в котором  с вероятностью  р = 0,95% находится  параметр b воспользуемся командой «[p,ci] = raylfit(x)», где x исследуемая выборка. Параметр b находится в границах 20,801 < b < 22,707.

Оценим параметр α по формуле (18).

α =       (18)

где  b – параметр распределения, рассчитываемый по формуле (10).

α = 30,706

Предположим, что  выборка распределена по закону Вейбулла, оценим параметры α и β в исследуемой выборке, воспользуемся командой                                  «[p,ci] = wblfit(x)»

α = 30,929   

β = 2,075

С вероятностью  р = 0,95% параметр α находится в границах               29,585 < α < 32,333.

С вероятностью  р = 0,95% параметр β находится в границах             1,936< α < 2,224.        

Полученные результаты подтверждают, что выборка распределена по закону Рэлея.

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

2 Определение  регрессионной зависимости

2.1 Проведение эксперимента

Из априорной  информации известно, что отклик зависит от трех факторов: температуры, давления и влажности. Для определения регрессионной  зависимости проведем полный факторный эксперимент типа , где m - число факторов. Факторы будем устанавливать на верхнем и нижним уровне как показано на рисунке 8, число повторов при каждом сочетание факторов составит два.


 

Составим матрицу спектра  плана – таблица 3. [4]

    Таблица 3

f1=x1

f2=x2

f3=x3

+

+

+

-

+

+

+

-

+

-

-

+

+

+

-

-

+

-

+

-

-

-

-

-




 

 

 

 

 

 

 

 

Основные характеристики плана: X01=22,5; X02=1; Х03=0,55. Шаги варьирования: ΔХ1=17,5; ΔХ2=0,1; ΔХ3=0,45.

Проведем компьютерный эксперимент, результаты которого представлены в таблице 4

Таблица 4

№

1

2

3

4

5

6

7

8

У1,

167,193

30,938

166,789

32,258

162,894

31,475

153,493

23,728

У2,

167,956

31,667

164,773

29,581

160,419

29,694

159,248

25,719




 

2.2 Определение  регрессионной зависимости

Построим матрицу планирования, используя правило чередования знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце чередуются через 2, в третьем - через 4, результаты представлены в таблице 5

 

Таблица 5

Номер опыта

f0

f1=x1

f2=x2

f3=x3

f4=x1x2

f5=x1x3

f6=x2x3

f7=x1x2x3

1

1

+

+

+

+

+

+

+

2

1

-

+

+

-

-

+

-

3

1

+

-

+

-

+

-

-

4

1

-

-

+

+

-

-

+

5

1

+

+

-

+

-

-

-

6

1

-

+

-

-

+

-

+

7

1

+

-

-

-

-

+

+

8

1

-

-

-

+

+

+

-


 

Рассчитаем  среднее значение отклика в каждом опыте по формуле (19).

            (19)

где l – число параллельных опытов в  i – той строке матрицы;

с – номер опыта.

Определим оценки дисперсий  в каждом опыте  по формуле (20).

              (20)

где l – число параллельных опытов в  i – той строке матрицы;

с – номер опыта.

Результаты представлены в таблице 6

Таблица 6

№

1

2

3

4

5

6

7

8

У1,

167,193

30,938

166,789

32,258

162,894

31,475

153,493

23,728

У2,

167,956

31,667

164,773

29,581

160,419

29,694

159,248

25,719

167,6

31,3

165,8

30,92

161,7

30,58

156,4

24,72

0,291

0,266

2,032

3,583

3,063

1,586

16,56

1,982


 

Произведем проверку воспроизводимости результатов экспиремента. Так как число повторов одинаково проверка воспроизводимости производится с помощью критерия Кохрена. Для проверки воспроизводимости необходимо выбрать самую большую  из построчных дисперсий и вычислить G – критерий по формуле (21).

           (21)

где   определяется по формуле (22).

      (22)

Выдвинем гипотезу о  равенстве дисперсий:

Гипотеза Н0: Дисперсии равны между собой, при уровне значимости      a = 0,01

Гипотеза Н1: Дисперсии не равны между собой, при уровне значимости a = 0,01

Рассчитаем G значение критерия Кохрена:

G = 16,56/29,363 = 0,564

Критическое значение Gкр найдем по таблице для уровня значимости     a = 0.01

Число  степеней свободы  к = 1

Количество выборок l = 8

Gкр.= 0,7945

Так как G < Gкр, то нулевую гипотезу следует принять. Дисперсии равны между собой.

Для матрицы планирования представленной в таблице 5 выполняются соотношения (23).

  (23)

где n – число опытов.

Коэффициенты уравнения  регрессии найдем по формуле (24). Результаты представлены в  таблице 7.

     (24)

Таблица 7

Номер опыта

θ0

θ1

θ2

θ3

θ4

θ5

θ6

θ7

1

167,6

167,6

167,6

167,6

167,6

167,6

167,6

167,6

167,6

2

31,3

-31,3

31,3

31,3

-31,3

-31,3

31,3

-31,3

31,3

3

165,8

165,8

-165,8

165,8

-165,8

165,8

-165,8

-165,8

165,8

4

30,92

-30,92

-30,92

30,92

30,92

-30,92

-30,92

30,92

30,92

5

161,7

161,7

161,7

-161,7

161,7

-161,7

-161,7

-161,7

161,7

6

30,58

-30,58

30,58

-30,58

-30,58

30,58

-30,58

30,58

30,58

7

156,4

156,4

-156,4

-156,4

-156,4

-156,4

156,4

156,4

156,4

8

24,72

-24,72

-24,72

-24,72

24,72

24,72

24,72

-24,72

24,72

θср

96,1275

66,7475

1,6675

2,7775

0,1075

1,0475

-1,1225

0,2475

  

 

Была получена модель:

y=96,1275+66,7475*x1+1,6675*x2+2,7775*x3+0,1075*x1*x2+1,0475*x1*x3-             -1,1225*x2*x3+0,2475*x1*x2*x3

Произведем оценку дисперсии  воспроизводимости по формуле (25).

     (25)

где  n – число опытов.

S2e = 38,398

Произведем оценку дисперсии воспроизводимости для среднего значении отклика по формуле (26). 

      (26)

где  l – число повторов.

S2( ) = 19,199

Среднеквадратичное отклонение среднего значения рассчитаем по формуле (27). 

     (27)

= 4,382

Проверим значимость полученных коэффициентов, для этого  воспользуемся   критерием Стьюдента t при уровне значимости a = 0,05 и числе степеней свободы ν = 8, ν определяется по формуле (28).

ν = (l – 1)n      (28)

где  l – число повторов;

 n – число опытов. 

Для ортогонального планирования оценки дисперсии коэффициентов  уравнения регрессии равны между собой и определяются по формуле (29).

     (29)

где S2( ) – оценка дисперсии воспроизводимости для среднего значении отклика;

n – число опытов. 

S2θ = 2,4

Коэффициент уравнения  статистически значим, если выполняется неравенство (30).

     (30)

Результаты проверки значимости коэффициентов представлены в таблице 8.

tα,ν = 2,31

Таблица 8

     

|θ0|

96,1275

>

3,579

|θ1|

66,7475

>

3,579

|θ2|

1,6675

<

3,579

|θ3|

2,7775

<

3,579

|θ4|

0,1075

<

3,579

|θ5|

1,0475

<

3,579

|θ6|

1,1225

<

3,579

|θ7|

0,2475

<

3,579

Планирование и организация эксперимента. 3