Планирование и организация эксперимента. 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РФ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального  образования

 «Национальный исследовательский ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

Наименование института  – Институт кибернетики

Наименование направления  – Метрология, стандартизация и  сертификация

Наименование кафедры  – КИСМ

 

 

 

 

ПЛАНИРОВАНИЕ  И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Курсовая работа

по курсу 

«Планирование и организация  эксперимента»

Вариант №10

 

 

 

 

 

Студент гр.1Г90                        _____________    К.И. Костюк

                                (подпись)

   _____________

             (дата)

Доцент, канд. физ.-мат. наук     ____________           В.Ю. Казаков

         (подпись)           

    ____________                          

                                                             (дата)

                                                 

 

 

Томск - 2012

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение………………………………………………………………………….4

Глава 1. Составление плана эксперимента по определению характеристик         случайной величины……………………………………………………………..5

   1.1 Получение и обработка выборочных данных……………………………5

   1.2 Формулировка гипотезы о типе распределения случайной величины…6

   1.3 Критерий χ2 – Пирсона……………………………………………………..6

   1.4 Критерий Фроцини…………………………………………………………9

   1.5 Характеристики экспоненциального распределения …………………...10

   1.6 Точечные оценки параметров распределения…………………………...10

   1.7 Интервальная  оценка параметров распределения……………………….11

   1.8 Определение объёма выборки…………………………………………….11

   1.9 Функция плотности  распределения, эмпирическая и  теоретическая   

         функции распределения…………………………………………………..12

Глава 2. Составление плана эксперимента по выяснению регрессионной зависимости………………………………………………………………………14

   2.1 Полный факторный эксперимент…………………………………………14

   2.2 Проведение статистической обработки результатов компьютерного

         эксперимента………………………………………………………………15

Заключение………………………………………………………………………20

Список использованных источников…………………………………………..21

Приложение А …………………………………………………………………..22

Приложение B …………………………………………………………………...23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Целью данной курсовой является проведение планирования и организации  эксперимента, а также анализа этих экспериментов.

Цель планирования эксперимента -  нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

           В первой части моей работы  нужно составить план эксперимента  по определению характеристик  случайной величины.

Применение метода анализа  результатов наблюдений, разработанного для конкретных законов распределения, в условиях, когда реальное распределение отличается от гипотетического, является самой распространенной ошибкой на практике, которая приводит к неверным выводам и к существенным материальным потерям и затратам времени. Поэтому важно знать  каково распределение вероятностей обрабатываемого ряда случайных величин.

          Второй частью данной работы  является  составление плана эксперимента  по выяснению регрессионной зависимости,  также нужно провести статистическую  обработку его результатов.

 Регрессионный анализ служит для нахождения по результатам эксперимента связи выходного параметра с факторами, которые оказывают влияние на этот параметр. Регрессионный анализ позволяет получить математическую модель процесса на основе оценки коэффициентов регрессии в виде полинома.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. План эксперимента по определению характеристик случайной  величины.

1.1 Получение и обработка  выборочных данных

Для выполнения работы бралась выборка  заданного объёма n непрерывной случайной величины с помощью программной оболочки для моделирования экспериментальной установки – генератора случайных чисел в среде Matlab.

Для формулировки гипотезы о виде распределения необходимо иметь априорную информацию. В  качестве априорной информации была взята гистограмма, построенная в программе STATISTICA.

.

 

Рисунок 1 – Гистограмма  выборочных данных

 

Количество интервалов вычисляется по формуле:

К=1+3,32log n,                                                                                        (1),

где N – объем выборки.

Для объема выборки n=100, количество интервалов принимаем таким образом: K=1+3,32log 100=7,64 8.

Из графика можно сделать  вывод, что скорей всего это экспоненциальное распределение.

1.2 Формулировка гипотезы о типе распределения случайной величины.

Необходимо проверить  гипотезу о том, что распределение  случайной величины описывается  некоторым конкретным законом. В  предыдущем пункте было сделано предположение  о том, что случайная величина распределена по экспоненциальному закону.

Была сформулирована гипотеза о  виде  распределения  генеральной совокупности:

 

  Н0: Fn(x)=F(x)  (экспоненциальное распределение);

H1: Fn(x) ≠ F(x),

 

 где Fn(x) – эмпирическая функция распределения вероятностей;

        F(x)   - гипотетическая функция распределения вероятностей.

 

1.3. Критерий χ2 – Пирсона

Критерий основан на сравнении  эмпирической гистограммы распределения  случайной величины с ее теоретической  плотностью. Диапазон измерения экспериментальных  данных разбивается на k интервалов, и подсчитывается статистика:

где ni – количество значений случайной величины, попавших в i-й интервал;


  • объем выборки; F(x) – гипотетический теоретический закон распределения вероятностей случайной величины;                    pi = F(xi+1) – F(xi) -  теоретическая вероятность попадания случайной

величины в i-й интервал. 

Используя генератор  случайных чисел, получили данные для  своего варианта, при n=100 (Приложение А).

По этим данным строим эмпирическую функцию распределения  для этого:

  1. Вычисляем количество интервалов группировки:

,

где n – объем выборки.

 ;

  1. Вычисляем длину интервала:

 

 

 

;

 

где        xmax – последний элемент вариационного ряда;

      хmin – первый элемент вариационного ряда;

      k – число интервалов группирования.

 

Находим границы интервала, частоту, накопленную частоту и  накопленную частность и запишем  в таблицу 1.

 

Таблица 1 - Обработка данных для построения гистограммы

i

Xi

Xi+1

Xcp

ni

Накопленная частота

Накопленная частность

1

0,2985

5,800

3,1985

49

49

0,49

2

5,800

11,3015

8,5508

20

69

0,69

3

11,3015

16,803

14,0523

13

82

0,82

4

16,803

22,3045

19,5538

9

91

0,91

5

22,3045

27,806

25,0553

3

94

0,94

6

27,806

33,3075

30,5568

2

96

0,96

7

33,3075

38,809

36,0583

3

99

0,99

8

38,809

44,3105

41,5598

1

100

1,00


 

где  i – номер интервала группирования;

Xi – нижнее значение i-го интервала группирования;

Xi+1 – верхнее значение i-го интервала группирования;

Хср – среднее значение в i-ом интервале группирования;

ni – количество значений, попавших в i-й интервал группирования.

 

 

Таблица 2 - Представление выборочных данных

 

Границы интервала

ni

F(Хi)

F(Хi+1)

pi

npi

(ni-npi)2

Xi

Xi+1

1

0,2985

5,800

49

0,032

0,469

0,437

43,7

28,09

0,642791762

2

5,800

11,3015

20

0,469

0,708

0,239

23,9

15,21

0,636401674

3

11,3015

16,803

13

0,708

0,84

0,132

13,2

0,04

0,003030303

4

16,803

22,3045

9

0,84

0,912

0,072

7,2

3,24

0,45

5

22,3045

27,806

3

0,912

0,952

0,04

4

1

0,25

6

27,806

33,3075

2

0,952

0,974

0,022

2,2

0,04

0,018181818

7

33,3075

38,809

3

0,974

0,985

0,011

1,1

3,61

3,281818182

8

38,809

44,3105

1

0,985

0,992

0,007

0,7

0,09

0,128571429

     

∑ = 5,410795167


χ2 =5,410795167

 

Далее при помощи вероятностного калькулятора в программе Statistica вычисляем табличное значение χ2, с числом степеней свободы f = k – 1 –m, где m – число оцениваемых параметров.

 

f = 8 – 1 -1 = 6

 

Рисунок 2 – Вероятностный калькулятор для определения χ2табл

χ2табл = 12,591587.

 

Так как χ2 = 5,410795167< 12,591587можем сделать вывод, что нулевая гипотеза принимается.

1.4 Критерий  Фроцини

Критерий экспоненциальности, основанный на статистике

 

 

 Критические значения Bn (α) привидены в таблице 3.

 

Таблица 3- Критические значения Bn (0,95)

 

Из таблицы для n>20 находим Bn (0,95) ≈ 0,3840

Так как Bn = 0,2665 < Bn (0,95) ≈ 0,3840, гипотеза экспоненциальности распределения не отклоняется.

 

 

 

 

 

 

1.5 Характеристики экспоненциального распределения

Экспоненциальное распределение  – одно из наиболее часто встречающихся распределений в теории надежности и в теории массового обслуживания.

 

1.6 Точечные оценки параметров распределения

Плотность экспоненциального  распределения вероятностей случайной величины описывается формулой

,

где - параметр распределения.

 

Оптимальная линейная оценка находится по формуле:

, где

Здесь - порядковая статистика выборки;

, - количества цензурированных соответственно наименьших и наибольших наблюдений в выборке;

-  математическое ожидание к-ой порядковой статистики в выборке объема п из нормированного экспоненциального распределения.

У нас отсутствует  цензурирование, т.е. Вычисляем

Следовательно,

 

9,170487

 

1.7 Интервальная оценка параметров распределения

;   , где и - табличные значения.

То есть получили, что  параметр v=9,1705 и находится он в интервале

1.8 Определение  объёма выборки

Объем выборки для экспоненциального распределения определим по формуле:

где λ0 – предполагаемое значение интенсивности отказов, а – коэффициент, зависящий от r и α.

;

 

Предположим, что δ = 0,1, tu = 100, p = 0,95.

Значение r находим из соотношения:

 

Далее по таблице 4, находим значение r:

 

 

 

 

Таблица 4 – Значения b(r,α)

r =300;

Из таблицы 5,находим значение а:

 

Таблица 5 – Значения a(r,α)

а = 0,91;

Подставляем в формулу  для определения объема выборки, получаем:

 

 

 

1.9 Функция плотности распределения, эмпирическая и теоретическая функции распределения.

 

 

Рисунок 3 - Функция плотности распределения

Линия  на графике  - это функция плотности распределения.

Рисунок 4 - График эмпирической и теоретической функции распределения

Глава 2 План эксперимента по выяснению регрессионной зависимости

2.1 Полный факторный  эксперимент

Для выполнения работы был  осуществлён компьютерный эксперимент  с помощью программной оболочки для моделирования экспериментальной  установки – генератора отклика  для факторного эксперимента в среде Matlab.

Необходимо определить влияние трех факторов: температуры (X1), давления (X2) и влажности (X3) на результат эксперимента (Y). Для выяснения регрессионной зависимости был проведён полный факторный эксперимент.

В полном факторном эксперименте реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Если число уровней каждого фактора равно двум (верхний и нижний), то имеем полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа , где m - число факторов. Число опытов ПФЭ равно n = , а кодированные значения факторов будут равны:  + 1 (верхний уровень);  - 1 (нижний уровень).

Сначала была составлена таблица основных характеристик  плана.

Таблица 6 – Основные характеристики плана

Характеристика

X1 (t, °C)

X2(P, атм)

X3(влажность)

Верхний уровень 

40

1,1

1,0

Нижний уровень 

5

0,9

0,1

Основной уровень

22,5

1

0,55

Интервал варьирования

17,5

0,1

0,45


 

Так как число факторов m = 3 – число опытов n = 8. Уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

Далее была построена  расширенная матрица планирования ПФЭ. Она построена по третьему приёму построения. Третий прием основан на правиле чередования знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце чередуются через 2, в третьем - через 4 и т.д.

 

 

 

 

 

 

Таблица 7 – Расширенная матрица планирования ПФЭ

№ опыта

X0

Х1

Х2

Х3

X1X2

X1X3

X2X3

X1X2X3

1

+

–

–

–

+

+

+

–

2

+

+

–

–

–

–

+

+

3

+

–

+

–

–

+

–

+

4

+

+

+

–

+

–

–

–

5

+

–

–

+

+

–

–

+

6

+

+

–

+

–

+

–

–

7

+

–

+

+

–

–

+

–

8

+

+

+

+

+

+

+

+


 

Согласно заданному  плану далее был проведён эксперимент. При одинаковых уровнях факторов проводилось по два повтора. Результаты эксперимента представлены в следующей  таблице:

Таблица 8 – Результаты эксперимента

№

1

2

3

4

5

6

7

8

12,70299

30,21068

17,44294

32,84041

-30,38264

-10,99313

-25,33031

-8,99423

9,86825

33,02472

17,46808

29,66473

-25,40844

-9,31086

-31,12172

-12,32657


2.2 Статистическая  обработка результатов полного  факторного эксперимента

Сначала были найдены оценки среднего ( ), а также оценки дисперсий ( ). Результаты представлены в таблице ниже:

 

 

 

Таблица 9 – Оценки среднего и дисперсий

№

1

2

3

4

5

6

7

8

11,28562

31,6177

17,45551

31,25257

-27,89554

-10,15199

-28,2260

-10,6604

4,01788

3,95941

0,00032

5,04247

12,37133

1,41502

16,77022

5,55224


;l = 2;

Далее была оценена однородность дисперсий по критерию Кохрена:

f1 = l –1 = 1;      f2 = n=8;        Gтабл = 0,680;

 

Значения критерия Кохрена G для уровня значимости α=0.05 представлены в приложении Б.

Так как Gрасч<Gтабл – дисперсии однородны.

Далее были рассчитаны коэффициенты регрессии:

;

Предварительно регрессионная  модель будет иметь вид:

Y* = 1,83468 + 8,67979•X1 + 0,62074•X2 - 21,06817•X3 – 0,83912•X1X2+   + 0,14750•X1X3 - 0,83046•X2X3 + 0,79464•X1X2X3;

Далее была оценена значимость коэффициентов.

Общая дисперсия воспроизводимости  определяется по формуле:

;

Дисперсия коэффициентов  определяется по формуле:

;

Табличное значение критерия Стьюдента t0,95; 8 = 1,859548 (при f = n(l –1) =8).

Тогда доверительный  интервал коэффициентов равен:

;

|θ0*| = 1,83468>Δθj* – коэффициент значим;

|θ1*| = 8,67979>Δθj* – коэффициент значим;

|θ2*| = 0,62074<Δθj* – коэффициент незначим;

|θ3*| = 21,06817>Δθj* – коэффициент значим;

|θ12*| = 0,83912<Δθj* – коэффициент незначим;

|θ13*| = 0,14750<Δθj* – коэффициент незначим;

|θ23*| = 0,83046<Δθj* – коэффициент незначим;

|θ123*| = 0,79464<Δθj* – коэффициент незначим.

 

После оценки значимости коэффициентов регрессионная модель имеет вид:

Y* = 1,83468 + 8,67979•X1 - 21,06817•X3;

 

Далее была проверена  адекватность модели. Для этого была построена таблица оценки дисперсии  адекватности процесса, где расчетные значения Y были найдены по модели представленной выше.

 

Таблица 10 – Оценка дисперсии адекватности

№

1

11,28562

14,22306

-2,93744

8,628568

2

31,6177

31,58264

0,035063

0,001229

3

17,45551

14,22306

3,232448

10,44872

4

31,25257

31,58264

-0,33007

0,108945

5

-27,8955

-27,9133

0,017735

0,000315

6

-10,152

-10,5537

0,401705

0,161367

7

-28,226

-27,9133

-0,31274

0,097806

8

-10,6604

-10,5537

-0,1067

0,011385

∑

      

19,45833


где n = 8 – число опытов;

k = 3 – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.

Расчетное значение критерия Фишера:

Табличное значение критерия Фишера для уровня значимости 0,05 и чисел степеней свобод:

f1 = n–k = 8–3=5;

f2 = n(l –1) = 8(2–1)=8;

Fтабл = 3,68750.

Табличное значение критерия Фишера было рассчитано с помощью  вероятностного калькулятора в программе STATISTICA.

Fрасч<Fтабл – то есть модель адекватна.

Значения полученных коэффициентов модели вычислены исходя из кодированных переменных. Необходимо перейти к истинным коэффициентам модели. Кодирование проводилось по формуле:

где Хj – кодированное значение фактора;

xj – истинное значение фактора;

x0j – значение фактора на нулевом уровне (в центре плана);

Δxj – интервал варьирования фактора.

Подставив необходимые  значения в формулу для Xj, получим:

То есть регрессионная  модель будет иметь вид:

Упростив предыдущее уравнение, был получен окончательный  вид регрессионной модели:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы были обобщены и применены на практике знания, полученные в процессе изучения дисциплин «Математические модели в метрологии», «Статистические методы контроля и управления качеством», «Планирование и организация эксперимента».

Были выполнены два основных задания:

  • Составлен план эксперимента по определению характеристик случайной величины;
  • Составлен план эксперимента по выяснению регрессионной зависимости.

В ходе выполнения первого  задания, путем проверки критериев  и представления данных в графическом виде, было определено, что генератор случайных чисел генерирует выборки, распределенные по экспоненциальному закону. Также при помощи проверки статистических гипотез были найдены интервальные и точечные оценки этого распределения и определён необходимый объём выборки.

В ходе выполнения второго  задания был проведён полный факторный  эксперимент и выполнена статистическая обработка его результатов. Было найдено математическое описание процесса в виде уравнения регрессии. Правильность полученного уравнения регрессии подтверждается тем, что модель по результатам оценки является адекватной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.
  2. Красовский Г. И., Филаретов Г. Ф. Планирование эксперимента. – Минск: Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1982.
  3. Казаков В. Ю. Методические указания к лабораторной работе №5 «Основы планирования полного факторного эксперимента» по дисциплине «Планирование и организация эксперимента».
  4. Короткова Е. И. Планирование и организация эксперимента. Учебное пособие. – Томск: изд-во ТПУ, 2003. – 92 с.
Планирование и организация эксперимента. 2