Планирование и организация эксперимента

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

Наименование факультета - Электрофизический

Наименование направления- Метрология, стандартизация и сертификация

Наименование кафедры - КИСМ

 

 

 

 

Планирование  и организация Экспиремента

 

Курсовая работа

 

 

 

Студент  гр.  1Г60           ___________________              М. И. Пивоваров                            ^{(подпись)}  

Руководитель               ____________________             В. Ю. Казаков

^{(подпись)} 

                                                 

 

 

 

Томск 2009

Содержание

		С.
	Введение	4
1	Определение характеристик  случайной величины	5
	1.1 Определение вида распределения	5
	1.1.1 Определение вида распределения по виду   гистограммы	5
	1.1.2 Проверка вида распределения по критерию χ2	6
	1.1.3 Проверка вида распределения по критерию Шермана	8
	1.2 Точечные и интервальные оценки параметров распределения	9
	1.3 Функция плотности распределения. Эмпирическая и теоретические функции распределения	11
	1.4 Определение объема выборки	12
2	Определение регрессионной  зависимости	13
	2.1 Проведение  эксперимента	13
	2.2 Обработка  экспериментальных данных	15
	Заключение	20
	Список использованных источников	21

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Целью данной курсовой работы является получение заключения относительно генеральной совокупности по свойствам выборки, полученной из этой совокупности; планирование и проведение эксперимента, получение  регрессионной модели зависимости отклика от факторов. 

Цель планирования эксперимента -  нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

В первой части моей работы нужно составить план эксперимента по определению характеристик случайной  величины. Применение метода анализа  результатов наблюдений, разработанного для конкретных законов распределения, в условиях, когда реальное распределение  отличается от предполагаемого, является самой распространенной ошибкой  на практике, которая приводит к  неверным выводам и к существенным материальным потерям и затратам времени. Поэтому важно знать  вид распределения вероятностей обрабатываемого ряда случайных величин.

          Второй частью данной работы  является  составление плана эксперимента  по выяснению регрессионной зависимости,  и статистическая обработка его результатов.

  Регрессионный анализ служит для нахождения по результатам эксперимента связи выходного параметра с факторами, которые оказывают влияние на этот параметр. Регрессионный анализ позволяет получить математическую модель процесса на основе оценки коэффициентов регрессии в виде полинома.

 

 

1. Определение характеристик случайной величины

При помощи программы сгенерируем  выборку объема n=100 для непрерывной случайной величины (программа генерирует выборки заданного объема для непрерывной случайной величины, при этом возможны распределения вида: нормальное, равномерное, экспоненциальное, Рэлея) в таблице 1 представлены исходные данные.

Таблица 1

 

7,9003	7,2309	6,1158	6,0305	7,6762	6,3869	6,9931	7,4542	7,5896	6,273
6,4623	7,5839	6,7057	7,4936	6,0393	7,3644	7,7995	6,6186	7,9137	6,0235
7,2137	7,8436	7,6263	6,8902	7,3626	6,6055	7,6433	7,677	7,0452	7,7878
6,972	7,4764	6,0197	7,8636	6,759	7,0833	7,2898	7,1361	7,7603	6,3983
7,7826	6,3525	6,2778	6,932	7,6636	6,3017	7,6359	6,7408	6,3459	6,5974
7,5242	6,8114	6,4055	6,8373	7,0056	7,3958	7,3205	7,4055	7,9595	7,3229
6,9129	7,8709	6,3974	7,6924	7,4189	6,7567	6,6839	7,0931	6,5429	6,5688
6,037	7,8338	7,2076	7,0503	6,8578	7,72	6,5795	6,8898	6,5047	6,9384
7,6428	6,8205	6,5444	6,4053	6,6092	7,7073	6,6824	7,3891	7,7515	6,1296
6,8894	7,7873	6,3976	7,3443	6,3793	7,1871	7,0682	7,2426	7,4746	7,9767

 

 

Быстрым, эффективным и наглядным  способом получения информации о  виде распределения является построение гистограммы. Затем достоверность определения этой информации следует проверить статистическими критериями.

    

1.1.1 Определение вида распределения по виду гистограммы

 

Число интервалов для построения гистограммы  на практике при объеме выборки 50-100 берут равным 7-9 [1]. Для данного  случая возьмем число интервалов равным восьми и построим гистограмму в программном пакете STATISTICA 6.0; вид полученной гистограммы представлен на рисунке 1:

 

 

Рисунок 1

 

Анализируя полученную гистограмму, предположим, что наша непрерывная  случайная величина распределена равномерно на отрезке от 6 до 8. 

 

1.1.2 Проверка вида распределения по критерию χ²

 

Проверим достоверность  этого предположения по общему критерию согласия, основанному на сравнении  теоретической плотности распределения  и эмпирической гистограммы –  критерий χ²

Выдвинем основную гипотезу.

Гипотеза Н₀: Выборка распределена по закону равной вероятности в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

Тогда альтернативная гипотеза Н₁: Выборка не распределена по закону равной вероятности  в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

Диапазон изменения экспериментальных  данных разбивается на k интервалов и подсчитывается статистика:

     ,     

где  n_i –количество значений случайной величины,  попавших в i-й  интервал;

n- объем выборки;

F (x)– гипотетический теоретический закон распределения вероятностей случайной величины

p_i = F (x _i+1) - F (x_i)  – теоретическая вероятность попадания  случайной величины в i-й  интервал. [2]

Т.к проверяем гипотезу о равномерности распределения  случайной величины x на отрезке [6 ; 8], то теоретическая функция вероятности:

 

Произведем расчет статистики, для этого заполним таблицу 2. Граничные  значения частичных интервалов будем  брать из полученной ранее гистограммы  на рисунке 1.

Таблица 2

i	ni	F (x i+1)	F (xi)	pi	npi
1	7	0,132163	0	0,132163	13,21625	38,64176406	2,923806985
2	14	0,254475	0,1322	0,122313	12,23125	3,128476563	0,255777338
3	12	0,376788	0,2545	0,122313	12,23125	0,053476563	0,004372126
4	14	0,4991	0,3768	0,122313	12,23125	3,128476562	0,255777338
5	12	0,621413	0,4991	0,122313	12,23125	0,053476563	0,004372126
6	13	0,743725	0,6214	0,122313	12,23125	0,590976562	0,048316939
7	14	0,866038	0,7437	0,122313	12,23125	3,128476562	0,255777338
8	14	1	0,866	0,133963	13,39625	0,364514063	0,027210157

Вычисляем значения статистики, суммируя элементы последнего столбца  таблицы 2, получаем  χ² = 3,776, теперь необходимо найти критическое значение статистики, равное  χ²_1-α (f=k-1=7).

Это значение находим, используя  вероятностный калькулятор, в пакете STATISTICA 6.0:  χ²_1-α = 14,067.

Т.к.  = 3,776 < 14,067, то нулевая гипотеза принимается и можно сделать вывод о том, что на уровне значимости a = 0,05 распределение случайной величины равномерное на отрезке [6;8]. Анализируя значения, полученные в последнем столбце таблицы 2, то можно заметить, что наибольший вклад в значение статистики χ² имеет первый интервал, аналогично по гистограмме можно сказать, что на первом интервале отклонение распределения от равномерного наибольшее.

 

3. Проверка вида распределения по критерию Шермана

 

Статистика критерия Шермана для  проверки равномерности распределения  имеет вид[2]:

 

 

Выдвинем основную гипотезу.

Гипотеза Н₀: Выборка распределена по закону равной вероятности в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

Тогда альтернативная гипотеза Н₁: Выборка не распределена по закону равной вероятности  в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

n=8, таким образом как на гистограмме, тогда значения статистик U_i берем из таблицы 2, столбца для F (x _i+1), аналогично значения статистик U_i-1 из столбца для F (x _i). Производим расчет ω_n:

 

Находим критическое значение ω₈(0,95)=0,482 в таблицах критических значений критерия Шермана.[2]

ω_n< ω₈(0,95), значит гипотеза равномерности распределения не отклоняется. Значит выборка распределена по закону равной вероятности в интервале [6; 8] при уровне значимости a = 0,05.

 

2. Точечные и интервальные оценки параметров распределения

 

Точечные оценки параметров распределения

В качестве оценки математического  ожидания будем считать величину М(х), определяемую по формуле [1]:

где a и b числа, которыми ограничивается область равномерно распределенной величины; в нашем случае a=6, b=8

Получим М(Х)=7.

В качестве оценки дисперсии случайной величины х  будем считать величину D(X), определяемую по формуле:

Получим = 0,333.

В качестве оценки СКО будем считать величину s(Х) определяемую формулой:

Получим = 0,577.

В качестве оценки коэффициента вариации будем считать величину , определяемую формулой:

=0,19245.

В качестве оценки медианы  будем считать величину ,определяемую формулой:

=7.

  Оценим параметры a и b по формулам:

где a_o и _bo- оценки a и b;     

σ - оценка среднеквадратического  отклонения случайной величины.

- среднее значение случайной  величины, рассчитанное по формуле : 

  ,

где n- объем выборки.

= 7,057131

a_o=6,057738,  _bo =8,056524.

Интервальные оценки параметров распределения

Для оценки математического  ожидания воспользуемся функцией MS Excel – ДОВЕРИТ, которая возвращает доверительный интервал для среднего генеральной совокупности по среднеквадратическому отклонению  ( = 0,577), уровню значимости(a = 0,05) и объему выборки(n=100) 

Получим

                                            

 

3. Функция плотности распределения. Эмпирическая и теоретические функции распределения

_{Построим  график плотности  равномерного распределения  рисунок 2,  определив  по формуле:}

                                                       Рисунок 2

 _{Построим график теоретической функции распределения (рисунок 3), определив по формуле:}

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3

Построим график эмпирической функции распределении 

(рисунок 4).

       Рисунок  4

 

4. Определение объема выборки

Объем выборки определяется по формуле :

 ,     

где  n – объем выборки; – квантиль нормального распределения;                    α – уровень значимости; – абсолютная погрешность.

Зададим уровень  значимости α = 0,05 и допустимую абсолютную погрешность = 0,088, тогда = 1,96, следовательно, объем выборки          n = 500.

 

 

2. Определение регрессионной зависимости

 

2.1 Осуществление  компьютерного эксперимента

Данный эксперимент проводился с помощью программы Mat Lab.

Формулировка задачи: в химическом процессе выход продукта У(%) зависит от трёх факторов: температуры X₁ (⁰C) ; давления Х₂ (мм.рт.ст.) и относительной влажности Х₃. С помощью ПФЭ найти математическое описание процесса в окрестности точки факторного пространства с координатами: :  Х_1min=5 °С, Х_1max=40 °С,  Х_2min=0,9 атм_, Х_2max=1,1 атм_, Х_3min=0,1 , Х_3max=1,0.

Число опытов N = 2³ = 8

Для упрощения обработки результатов  эксперимента, произведем кодирование значений факторов по формулам:

, ,     ∆

где     - натуральное значение  i-го фактора;

 - натуральное значение основного уровня (центра плана по фактору );                              

∆x_i - интервал варьирования фактора;

- кодированный нормированный  безразмерный фактор, который принимает  значения

       

В результате такого кодирования  получим матрицу спектра плана  в безразмерных величинах 

Построим матрицу планирования, используя третий прием, который  основан на правиле чередования  знаков: в первом столбце знаки  меняются поочередно, во втором столбце  чередуются через 2, в третьем - через 4

Построим матрицу планирования со взаимодействиями и занесем в таблицу 3

Таблица 3

№	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	Yi
1	+	-	-	-	+	+	+	-	y1
2	+	+	-	-	-	-	+	+	y2
3	+	-	+	-	-	+	-	+	y3
4	+	+	+	-	+	-	-	-	y4
5	+	-	-	+	+	-	-	+	y5
6	+	+	-	+	-	+	-	-	y6
7	+	-	+	+	-	-	+	-	y7
8	+	+	+	+	+	+	+	+	y8

 

Данная матрица обладает следующими свойствами: ортогональность, симметричность, нормированность

Полученные результаты эксперимента занесем в таблицу 4

 Таблица 4

№	1	2	3	4	5	6	7	8
Х1	5	40	5	40	5	40	5	40
Х2	0,9	0,9	1,1	1,1	0,9	0,9	1,1	1,1
Х3	0,1	0,1	0,1	0,1	1	1	1	1
У1	9,99537	-3,05854	13,66868	-3,00799	9,10628	-6,85028	11,16794	-5,02737
У2	6,61861	-3,06334	16,16766	-0,39853	4,64072	-5,76578	11,30012	-3,74919
У3	11,52324	-6,42306	12,56883	-3,15765	10,25626	-13,56461	10,42951	-4,19819
У4	11,96783	-5,42367	20,15890	-3,58194	12,74631	-13,14624	14,29879	-4,61747
У5	8,04026	-5,84173	13,80646	-5,59948	6,40549	-7,63585	6,16787	-6,08960

 

Определим уравнение регрессии  первого порядка,

Формула для определения  коэффициентов соответствующего уравнения  регрессии первого порядка:

 

Y = q₀f₀(x₁…x_m)+ q₁f₁(x₁…x_m)+ …+q_pf_p+ε

q0 = 1/8(y1+y2+y3+y4+y5+y6 +y7+y8)

q1 = 1/8(-y1+y2-y3+y4-y5+y6 -y7+y8)

q2 = 1/8(-y1-y2+y3+y4-y5-y6 +y7+y8)

q3 = 1/8(-y1-y2-y3-y4+y5+y6 +y7+y8)

q12 = 1/8(y1-y2-y3+y4+y5-y6 -y7+y8)

q13=1/8(y1-y2+y3-y4-y5+y6 -y7+y8)

q23 = 1/8(y1+y2-y3-y4-y5-y6 +y7+y8)

q123 = 1/8(-y1+y2+y3-y4+y5-y6 -y7+y8)

 

2.2 Проведение  статистической обработки результатов  компьютерного эксперимента

Для удобства перепишем таблицу  в следующем виде

Таблица 5

№	1	2	3	4	5	6	7	8
У1	9,99537	-3,05854	13,66868	-3,00799	9,10628	-6,85028	11,16794	-5,02737
У2	6,61861	-3,06334	16,16766	-0,39853	4,64072	-5,76578	11,30012	-3,74919
У3	11,52324	-6,42306	12,56883	-3,15765	10,25626	-13,56461	10,42951	-4,19819
У4	11,96783	-5,42367	20,15890	-3,58194	12,74631	-13,14624	14,29879	-4,61747
У5	8,04026	-5,84173	13,80646	-5,59948	6,40549	-7,63585	6,16787	-6,08960
Yср	9,629062	-4,76207	15,27411	-3,14912	8,631012	-9,39255	10,6728	-4,73636
Si2	5,19476	2,537492	9,177387	3,444333	10,16959	13,54972	8,53502	0,798553

 

Ycp – среднее значение выхода продукта по строчкам

Si² - оценки дисперсий по строкам. по следующей формуле

Где l – количество измерений при данном опыте. l = 5

№	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3
1	+	-	-	-	+	+	+	-	9,629062
2	+	+	-	-	-	-	+	+	-4,76207
3	+	-	+	-	-	+	-	+	15,27411
4	+	+	+	-	+	-	-	-	-3,14912
5	+	-	-	+	+	-	-	+	8,631012
6	+	+	-	+	-	+	-	-	-9,39255
7	+	-	+	+	-	-	+	-	10,67285
8	+	+	+	+	+	+	+	+	-4,73636

 

Проверим однородности дисперсий  по критерию Кохрена

Определим оценки дисперсий по строкам. по следующей формуле (l = 5)

Вычислим сумму дисперсий  строк: = 53,40685

Для проверки равноточности  необходимо выбрать самую большую  из построчных дисперсий  и вычислить G – критерий:

= 13,54972 (опыт №6)

G = 13,54972 / 53,40685= 0.254

Если  . где - табличное значение критерия при числе степеней свободы ν1 = l - 1 и ν2 = n (количество опытов).  то опыты равноточные.

Для уровня значимости 0.05 табличное  значение Кохрена равно G(4.8)= 0.391

G < Gт – следовательно. опыты являются равноточными

Тогда общая оценка дисперсии  воспроизводимости определяется по формуле:

= 53,40685/8 = 6,67585625

Рассчитаем коэффициенты в уравнении регрессии по формулам:

.

b0 = 1/8((9,629062)+ (-4,76207)+( 15,27411) + (-3,14912) + (8,631012 ) + (-9,39255 ) + (10,67285) + (-4,73636 ))= 2,770866

b1 = 1/8(-(9,629062)+ (-4,76207)-( 15,27411) + (-3,14912) - (8,631012 ) + (-9,39255 ) - (10,67285) + (-4,73636 ))=-8,280892

b2 = 1/8(-(9,629062)- (-4,76207)+( 15,27411) + (-3,14912) - (8,631012 ) - (-9,39255 ) + (10,67285) + (-4,73636 ))=1,744503

b3 = 1/8(-(9,629062)- (-4,76207)-( 15,27411) - (-3,14912) + (8,631012 ) + (-9,39255 ) + (10,67285) + (-4,73636 ))=-1,477129

b12 = 1/8((9,629062)- (-4,76207)-( 15,27411) + (-3,14912) + (8,631012 ) - (-9,39255 ) - (10,67285) + (-4,73636 ))=-0,177218

b13 = 1/8((9,629062)- (-4,76207)+( 15,27411) - (-3,14912) - (8,631012 ) + (-9,39255 ) - (10,67285) + (-4,73636 ))=-0,077301

b23 = 1/8((9,629062)+ (-4,76207)-( 15,27411) - (-3,14912) - (8,631012 ) - (-9,39255 ) + (10,67285) + (-4,73636 ))=-0,069996

b123 = 1/8(-(9,629062)+ (-4,76207)+( 15,27411) - (-3,14912) + (8,631012 ) - (-9,39255 ) - (10,67285) + (-4,73636 ))=0,830806

Предварительно математическая модель процесса будет выглядеть  следующим образом: 

Y^*= 2,770866 - 8,280892 X1 + 1,744503 X2 - 1,477129 X3 - 0,177218 X1X2 -0,077301 X1X3 - 0,069996 X2X3 + 0,830806 X1X2X3

Оценим значимость коэффициентов. для этого определим дисперсию коэффициентов:

S²bi = S²e/N = 6,67585625/8 =0,834482

Для оценки погрешности (доверительного интервала) коэффициентов найдем табличное  значение критерия Стьюдента для  доверительной вероятности 0.95 и  числа степеней свобод ν = (l – 1)n = 32

Табличное значение критерия Стьюдента: t_0.95.32 = 1.69. Тогда доверительный интервал коэффициентов равен: Db_i = t_{p. f} × = 1.69 × = 1.543815

Сравним коэффициенты с дисперсией коэффициентов:

|b_o| = 2,770866 > Db_i – коэффициент значим

|b₁| = 8,280892  > Db_i – коэффициент значим

|b₂| = 1,744503 > Db_i – коэффициент значим

|b₃| = 1,477129 < Db_i – коэффициент незначим

|b₁₂| = 0,177218 < Db_i – коэффициент незначим

|b₁₃| = 0,077301 < Db_i – коэффициент незначим

|b₂₃| = 0,069996 < Db_i – коэффициент незначим