Планирование и организация производства

    1   Полный факторный эксперимент 

    Суть  математического планирования эксперимента заключается в том, чтобы получить математическое описание процесса, т.е. нужно получить некоторое представление  о функции отклика в виде:

    y  = (х1,….,хn),                                                      (1)

    где y – полученное для каждого выходного параметра уравнение связи с

выходными параметрами (факторами);

х1,….,хn – независимые параметры процесса (факторы).

    Область изменения параметров называется факторным  пространством. Геометрический образ, соответствующий функции отклика  – это поверхность отклика. Факторами  могут быть: давление, температура, рН и т.д. Численное значение любого фактора должно устанавливаться независимо от значений других факторов.

    Для применения математического планирования необходимо, чтобы опыты были воспроизводимыми (дисперсии однородны). Рассматривают  случаи с нормальным распределением ошибок.

    Метод полного факторного эксперимента (ПФЭ) дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой  локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности точки  с координатами (х01,х02,….,х0n).

    Перейдем  к кодированным переменным Хi:

    Хi = ,                                                          (2)

    где i = 1,2, …, n.

    Полным  факторным экспериментом называют систему опытов, содержащую все возможные неповторяющиеся комбинации варьирования факторов. Он служит для получения математического описания процесса в виде  

    отрезка ряда Тейлора:

     ,         (3)      

    где = y (0,…, 0) – значения функции отклика в начале координат

(центре плана);

     - соответствующие частные производные:

, , и т.д.                                                                (4)

     При этом обычно отделяют линейную часть разложения и члены, содержащие произведения факторов  в первой степени. Таким образом, удается найти уравнение локального участка поверхности отклика, если его кривизна не слишком велика.

    Чтобы подчеркнуть, что уравнение несет  на себе отпечаток погрешностей эксперимента, в уравнении вместо символов β, обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут b, подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

    Таким образом, получают уравнение:

        (5)       

    Его называют уравнением регрессии, а коэффициенты – коэффициентами регрессии. 

    1.1 Построение плана полного двухуровнего трёхфакторного эксперимента (ПФЭ )

    Для удобства вычислений коэффициентов  регрессии все факторы варьируются  на двух уровнях, соответствующих значением  кодированных переменных +1 (верхний) и -1 (нижний).

    В таблице 1 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента 2³.  

    Таблица 1 – Полный трехфакторный эксперимент 2³

    Из  таблицы видны основные принципы построения матриц планирования ПФЭ:

    - уровни варьирования первого  фактора чередуются от опыта  к опыту;

    - частота смены уровней варьирования  каждого последующего фактора  вдвое меньше, чем у предыдущего.

    Матрица планирования ПФЭ обладает следующими свойствами:

                  ;                                                               (6)

                                               ;                                                              (7)

                                               ,                                                          (8)

    где N – число опытов ПФЭ;

    u – номер опыта;

    i,j – номера факторов (i ,  j).

    Свойство, выраженное уравнением (8), называется ортогональностью.

    Планы, удовлетворяющие условию (8), называются ортогональными планами  . Для того чтобы в уравнение регрессии добавить новые взаимосвязи переменных нужно расширить матрицу планирования столбцом и столбцами, содержащими новые связи. При этом необходимо, чтобы число опытов N удовлетворяло условиям:

     ,                                                          (9)

    где k – число факторов.

    Общее количество опытов в матрице планирования:

                                                                                                                   (10)

    где n – число факторов. (Если бы каждый фактор менялся не на 2, а на m

уровнях, то опытов было бы ). Поэтому матрицу планирования

называют  .

    Если  обозначить верхний уровень фактора  как  , а нижний - , то центр эксперимента для планов ПФЭ и :

                                               = .                                                    (11)

    Интервал  варьирования будет определяться из выражения

                                                .                       (12) 

    Уравнение, описывающее процесс, будем искать в виде частного случая выражения (5):

    Центр эксперимента по формуле (11):

                                       °С;

    Интервалы варьирования по формуле (12):

                                     °С;

                                     атм;

                                     °С

    План  эксперимента можно записать следующим  образом, приведенным в таблице 2. 

    Таблица 2 – План ПФЭ в различном выражении факторов

    Изображение области исследования в различных системах приведено в Приложении А, (рисунок А 1 – План ПФЭ в объёме при натуральной размерности факторов, рисунок А 2 - План ПФЭ в безразличном выражении факторов. 

    1.2 Построение плана полного трехуровнего трехфакторного эксперимента (ПФЭ ) 

    Трехуровневые планы относятся к планам второго  порядка. Минимальное число опытов для 3-х факторов N = = 27, при трех уровнях изменения переменных –(-1;0;+1). В таблице 3 приведем пример составления плана ПФЭ в безразмерном выражении факторов. 

    Таблица 3 – План ПФЭ

    Соответствующие столбцы плана ПФЭ не ортогональны другим столбцам и формулы для расчета коэффициентов иные, чем для плана ПФЭ .

    По  имеющимся данным о граничных  значениях факторов построим план ПФЭ .

    Координаты  центра плана остаются теми же, что  и для плана ПФЭ  . В таблице 4 приведем пример плана ПФЭ при безразмерном и натуральном выражении факторов. 

    Таблица 4– План ПФЭ

    2   Вычисление коэффициентов по плану ПФЭ  

    Так как матрица ПФЭ ортогональна, то это свойство позволяет вычислять  коэффициенты регрессии по простым  формулам независимо друг от друга.

    На  основании полного факторного эксперимента вычисляют коэффициенты регрессии  по следующим формулам: 

                                               ;                                                         (14)

                                               ;                                                     (15)

                                               .                                               (16)

    В таблице 5 приведена матрица планирования экспериментов, содержащая вспомогательные столбцы произведений факторов (в безразмерном виде), необходимых для расчета коэффициентов (согласно уравнению (13) их восемь). 

    Таблица 5 – Матрица планирования ПФЭ

    Вычислим  коэффициенты регрессии по формулам (14) – (16), умножая последовательно значения соответствующего столбца на соответствующее значение выхода процесса :

     ;

     ;

     ;

     ;

     ;

     ;

     ;

     .

    Уравнение регрессии будет иметь вид (по уравнению 13):

    Для нахождения   подставляют соответствующие значения (по таблице 3, +1 или – 1) в уравнение (например, для первого опыта Х1 = -1,

Х2 = -1, Х3 = -1 и т.д.). Рассчитанное значение выхода процесса,  
заносят в таблицу 5 (проверка на наличие арифметических ошибок).

      =2,5%;

     ;

     %;

     ;

     %;

     ;

     %;

     ;

     %;

     ;

     %;

     ;

     %;

     ;

     %

     .

    Проведенная проверка показывает, что в расчете  коэффициентов не было арифметической ошибки. 

    3   Определение незначимых коэффициентов уравнения 

    Для облегчения анализа уравнения регрессии  необходимо отбросить члены с  незначимыми коэффициентами. Чтобы  установить, значим коэффициент или  нет, необходимо, прежде всего, вычислить  оценку дисперсии,  с которой он определяется:

                                               .                                                      (17)

    Отметим, что при полном факторном планировании все коэффициенты находятся с  одинаковой погрешностью.

    Принято считать, что коэффициент регрессии  значим, если выполнено условие:

    где t – значение критерия Стьюдента.

    Исключив  незначимые коэффициенты, необходимо с помощью критерия Фишера проверить  адекватность уравнения регрессии, т.е. способность с приемлемой точностью  описывать поверхность отклика.

    Определим незначимые коэффициенты в уравнении  регрессии, по полученному плану  ПФЭ .

    Средняя оценка дисперсии воспроизводимости  единичного результата (при =const=3):

      %²

    Средняя для всего эксперимента дисперсия  воспроизводимости среднего значения выхода в каждой строке будет в  m раз меньше , т.е.:

     %²

    Тогда по формуле (17) оценка дисперсии коэффициентов

     = 0,02/8 = 0,0025 %²; = 0,05 %. 

    Число степеней свободы

    fвоспр= N *(m-1) = 8*(3-1)=16

    По  приложению t (0,95;16) = 2,12

    Значение  интервала: %

    По  формуле (18) незначимы следующие коэффициенты уравнения регрессии:

    Уравнение регрессии после исключения незначимых коэффициентов: 

    4  Статическая проверка адекватности уравнения экспериментальным данным 

    Для данной проверки вычисляют дисперсию  неадекватности:

                                               ,                                       (19)

    где N′ – число коэффициентов регрессии искомого уравнения, включая и

свободный член;

     … - экспериментальное и расчетное значение функции отклика

в u-м опыте;

      N – число опытов ПФЭ.

С оценкой  связано число степеней свободы

                                                fад = N - N′                                                           (20)

    Затем вычисляют расчетное значение критерия Фишера:

                                                                                       (21)  

    В числителе формулы (21) находится  большая, а в знаменателе –  меньшая из указанных дисперсий.

    Из  приложения, по степеням свободы, связанным  с числителем и знаменателем выражения (21), находим  - значение критерия Фишера.

    Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:

                                                                                                                   (22)

    Для нашего уравнения, в котором число  значимых коэффициентов меньше числа  опытов (после исключения ), необходимо и возможно провести статическую проверку адекватности уравнения экспериментальным данным.

    Промежуточные расчеты представим в виде таблицы 6. 

    Таблица 6- Промежуточные расчеты для вычисления дисперсии неадекватности