Планирование и статистический анализ результатов эксперимента

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования  «Уральский Федеральный Университет» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

“Планирование и статистический анализ результатов эксперимента” 

Вариант 18 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил         Гузняк А. С.   Группа МтМ-110103 

Преподаватель        Гудов А.Г. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Екатеринбург, 2011

1. ПОЛНЫЙ  ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

1. Выбор факторов и их уровней

Таблица 1.1 Выбор факторов и их уровней

Нулевые уровни факторов Х10=1500 Х20=20 

       В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, т.е. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Необходимо заметить, что, несмотря на всю заманчивость и очевидные преимущества активного спланированного эксперимента перед пассивным, в его применении имеется целый ряд трудностей, связанных с определенными ограничениями на его реализацию. Важнейшим условием применимости этого подхода является управляемость процессов по каждому из выбранных факторов, т.е. возможность независимого изменения каждого на этих факторов и поддержания его на заданном уровне в период проведения опытов.

Этой  комбинации значений факторов соответствует  точка в многомерном факторном  пространстве, которая принимается  за исходную точку. Координаты этой точки  принимаются за основной (нулевой) уровень. Для каждого фактора необходимо указать тот интервал изменения  параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются  ориентировочные значения факторов X₁₀, X₂₀, …, X_i0, …,X_k0. Этой комбинации значений факторов соответствует точка в многомерном факторном пространстве, которая принимается за исходную точку. Координаты этой исходной точки принимаются за основной (нулевой) уровень.

       Интервалом  варьирования факторов называется некоторое  число (каждое для соответствующего фактора), прибавление которого к  основному уровню дает верхний, а  вычитание - нижний пределы. Дня упрощения  записи условий эксперимента и обработки  экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний  уровень составлял +1, нижний -1, а  основной – О.

2. Составление плана эксперимента.

       Составим  план полного факторного эксперимента. Иными словами, полный факторный эксперимент (ПФЭ) — это эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов.

Выберем генерирующее соотношение.

X₃  = X₁·X₂

Таблица 1.2 Составление плана эксперимента

3. Рассчитаем построчные средние значения:

                                          (1.1)

где m* - число повторных опытов (m* = 3).

4. Определение построчных (выборочных) дисперсий:

                                                      (1.2)

5. Определяем сумму всех построчных дисперсий и находим максимальное значение.
6. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена.

                                    (1.3)

Далее по таблице находим .  Для       и     n = 4 значение . Так как   то дисперсии однородны.

7. Определение коэффициентов в уравнении регрессии.

Таблица 1.2. коэффициенты в уравнении регрессии

           (1.4)

                                                            (1.5)

                                                            (1.6)

                                                            (1.7) 

8. Проверка  значимости коэффициентов  регрессии. Предварительно определим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика):

                              (1.8)

Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии

,        (1.9)

         (1.10)

Находим значение доверительного интервала  для коэффициентов регрессии:

                                                (1.11)

Здесь m = n(m*-1) = 4*2 = 8, тогда теоретическое значение критерия Стьюдента , откуда Коэффициенты, которые меньше этого интервала оказались незначимы, а остальные значимы. Таким образом окончательное уравнение регрессии запишется в виде:

                                                      (1.12)

Результаты  расчета выходных параметров по уравнению  полученной модели занесены в таблицу.

9. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно определим дисперсию адекватности.

Таблица 1.3. Проверка адекватности полученной модели

                                    (1.13)

В нашем случае m* = 3, n = 4, l = 2.

С учетом ранее  найденной дисперсии воспроизводимости  определяем экспериментальное значение критерия Фишера

                                          (1.14)

Теоретическое значение критерия Фишера смотрим по справочной таблице .

Поскольку , то полученная модель адекватна.

Вывод: Модель адекватна

2. ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

1. Выбор факторов и их уровней.

Таблица 2.1. Выбор факторов и их уровней 

       В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, т.е. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Необходимо заметить, что, несмотря на всю заманчивость и очевидные преимущества активного спланированного эксперимента перед пассивным, в его применении имеется целый ряд трудностей, связанных с определенными ограничениями на его реализацию. Важнейшим условием применимости этого подхода является управляемость процессов по каждому из выбранных факторов, т.е. возможность независимого изменения каждого на этих факторов и поддержания его на заданном уровне в период проведения опытов.

Этой  комбинации значений факторов соответствует  точка в многомерном факторном  пространстве, которая принимается  за исходную точку. Координаты этой точки  принимаются за основной (нулевой) уровень. Для каждого фактора необходимо указать тот интервал изменения  параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются  ориентировочные значения факторов X₁₀, X₂₀, …, X_i0, …,X_k0. Этой комбинации значений факторов соответствует точка в многомерном факторном пространстве, которая принимается за исходную точку. Координаты этой исходной точки принимаются за основной (нулевой) уровень.

       Интервалом  варьирования факторов называется некоторое  число (каждое для соответствующего фактора), прибавление которого к  основному уровню дает верхний, а  вычитание - нижний пределы. Дня упрощения  записи условий эксперимента и обработки  экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний  уровень составлял +1, нижний -1, а  основной – О. 

2. Составление плана эксперимента.

3. Составим план дробного факторного эксперимента (ДФЭ).

Выберем генерирующее соотношение.

X₄  = X₁ · X₂

X₅  = X₁ · X₂ · X₃

4. Рассчитаем построчные средние значения:

                                                (2.1)

где m* - число повторных опытов (m* = 3).

5. Определение построчных (выборочных) дисперсий:

                                                            (2.2)

6. Определяем сумму всех построчных дисперсий и находим максимальное значение.
7. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена.

                                          (2.3)

Далее по таблице находим .  Для       и     n = 8 значение . Так как   то дисперсии однородны.

8. Определение коэффициентов в уравнении регрессии.

Таблица 2.3 Определение коэффициентов регрессии

                  (2.4)

                  (2.5)

                  (2.6)

                  (2.7)

                  (2.8)

                  (2.9)

            Проверка  значимости коэффициентов  регрессии. Предварительно определим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика):

                                    (2.10)

Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии

,         (2.11)

Находим значение доверительного интервала  для коэффициентов регрессии:

                                                (2.12)

Здесь m = n(m*-1) = 8*2 = 16, тогда теоретическое значение критерия Стьюдента , откуда Коэффициенты, которые меньше этого интервала оказались незначимы, а остальные значимы. Таким образом окончательное уравнение регрессии запишется в виде:

                                          (2.13)

Результаты  расчета выходных параметров по уравнению  полученной модели занесены в таблицу.

9. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно определим дисперсию адекватности.

Таблица 2.4 Проверка адекватности полученной модели

                                    (2.14)

В нашем случае m* = 3, n = 8, l = 3.

С учетом ранее  найденной дисперсии воспроизводимости  определяем экспериментальное значение критерия Фишера

                                          (2.15)

Теоретическое значение критерия Фишера смотрим по справочной таблице .

Поскольку , то полученная модель неадекватна.

Вывод: модель неадекватна

3. СИМПЛЕКС  – МЕТОД

     Найти оптимальные значения факторов симплекс- методом, если процесс описывается уравнением

Y=b0+b1∙X1+b11∙X1^2+b2∙X2+b22∙X2^2 

     Метод симплексного планирования позволяет  без предварительного изучения влияния  факторов найти область оптимума. В этом методе не требуется вычисления градиента функции отклика, поэтому  он относится к безградиентным методам поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса.

     Симплекс  – это простейший выпуклый многогранник, образованный k+1 вершинами в k-мерном пространстве, которые соединены  между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин симплекса  являются значениями факторов в отдельных  опытах.

     Симплекс  называется правильным или регулярным, если все расстояния между образующими  его вершинами равны.

     Найдем  экстремум функции симплекс-методом.

     K_i =                                               (3.1)

     R_i =                                               (3.2)

     Для составления симплекс-плана, вначале составим три опыта со следующими координатами.

     1-й  опыт

     x₁₁ = x₁₀ + k₁∙∆x₁                                                                  (3.3)

     x₂₁ = x₂₀ + k₂∙∆x₂                                                                  (3.4)

     2-й опыт

     x₁₂ = x₁₀ + R₁∙∆x₁                                                                (3.5)

     x₂₂ = x₂₀ + k₂∙∆x₂                                                                 (3.6)

     3-й опыт

     x₁₃ = x₁₀ + 0                                                 (3.7)

     x₂₃ = x₂₀ + R₂∙∆x₂                                                               (3.8) 

     Таблица 3.1

     Координаты опытов и значений функции