Планирование производства продукции растениеводства
35
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Департамент научно- технологической политики и образования
ФГОУ ВПО
Иркутская государственная сельскохозяйственная академия
Экономический факультет
Кафедра информатики и математического моделирования
КУРСОВАЯ РАБОТА
НА ТЕМУ «Планирование производства продукции растениеводства»
Выполнил:
студент 4 курса
спец. 080502.65
Гайдар А.А.
Проверил:
Бузина Т.С.
Иркутск 2011
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………
1 Основные понятия математического программирования……………..……..4
1.1 Постановка задачи линейного программирования………………………....5
1.2 Методы решения линейного программирования…………………..……….6
2 Модель оптимизации структуры производства продукции
Растениеводства………………………………………
2.1 Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности…………..…14
2.2 Сбор и обработка исходной информации……………………………….…19
3 Анализ результатов решения задачи…………………………………………33
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………...35
ВВЕДЕНИЕ
Работа над данным курсовым проектом позволяет закрепить знания по предмету «Математические методы производственных процессов».
Развитие экономико-математических методов, обеспечивающих принятие рациональных решений по управлению производством, создало новое специфическое научное направление - математическое моделирование экономических процессов. [4]
Современный специалист должен хорошо разбираться в экономико-математических методах, уметь их практически применять для моделирования реальных экономических ситуаций, выявления наилучшего способа действия при решении той или иной задачи. [5]
Существуют различные методы решения моделей- это методы линейного программирования, динамического программирования, целочисленного программирования и другие. [3]
Цель данной курсовой работы - определить оптимальную структуру производства продукции растениеводства, соответственно ей структуру сельскохозяйственных культур и посевные площади.
Для достижения этой цели поставлены задачи:
Рассмотреть основные понятия математического программирования, задачи линейного программирования и методы их решения, построить математическую модель оптимизации производства продукции растениеводства и решить задачу оптимизации. [3]
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Математическое программирование - раздел науки об исследовании операций, охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.
Наименование «Математическое программирование» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.
Математическая формулировка задачи математического программирования.: минимизировать скалярную функцию j(x) векторного аргумента х на множестве
X = {x: gi(x) ³ 0, hi(x) = 0, I = 1, 2, ..., k},
где gi(x) и hi(x) — также скалярные функции; функцию j(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи математического программирования — оптимальной точкой (вектором).
Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач линейного программирования разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ.
Линейное программирование (планирование) - математический метод отыскания максимума или минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений.
Максимизируемая (минимизируемая) функция представляет собой принятый критерий эффективности решения задачи, соответствующей поставленной цели. Она носит название целевой функции. Ограничения характеризуют имеющиеся возможности решения задачи.
1.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В общем виде задача линейного программирования записывается следующим образом:
где f – целевая функция или критерий эффективности задачи, - переменная, - заданные постоянные величины, - индексы.
Задачу (1) – (3) называют стандартной задачей линейного программирования. Совокупность чисел , удовлетворяющим условиям (1) – (3), представляют собой допустимое решение или план. План , при котором критерий оптимальности (1) принимает экстремальное значение принято называть оптимальным. Очевидно, что, если целевая функция (1) стремится к максимуму, тогда , в противном случае, когда целевая функция достигает минимума, - .
С помощью задачи линейного программирования определяется структура сельскохозяйственного производства предприятия и его отраслей, скотоводства и растениеводства.
Любая стандартная задача линейного программирования может быть приведена к каноническому виду. В этом случае неравенства (2) преобразуются в равенство вводом дополнительных переменных. Если связь левой и правой частей условия определяется символом «», тогда в левую часть добавляют неотрицательную переменную. При другом виде неравенства «» из левой части вычитают дополнительную неотрицательную переменную.
Таким образом, ограничение (2) преобразуется в равенство:
.
Кроме преобразования стандартной задачи к каноническому виду, возникают задачи замены минимизации целевой функции ее максимизацией и наоборот. Для этого используется равенство или .
1.2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В математическом программировании принято выделять следующие методы решения задач:
1. Симплекс – метод
2. Графический метод
3. С помощью пакета Анализ данных.
Симплекс – метод
Среди универсальных методов решения задач линейного программирования наиболее распространен симплексный метод (или симплекс-метод), разработанный американским ученым Дж. Данцигом. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный (начальное опорное решение); оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов (итераций).
Рассмотрим две разновидности симплексного метода: симплекс – метод с естественным базисом и симплекс – метод с искусственным базисом (М – метод).
Симплекс – метод с естественным базисом. Для применения этого метода задача линейного программирования должна быть сформулирована в конической форме, причем матрица системы уравнений должно содержать единичную подматрицу размерности . В этом случае очевиден начальный план (неотрицательное базисное решение).
Для определенности предположим, что первые m векторов матрицы системы составляют единичную матрицу.
Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью критерия оптимальности, переход к другому опорному плану – с помощью преобразований Жордана – Гаусса и с использованием критерия оптимальности.
Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и т. д. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи (конечного оптимума нет), либо получаются оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение целевой функции.
Признак оптимальности заключается в следующих двух теоремах:
Теорема 1. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие:
, где (4)
То можно получить новый опорный план, для которого значение целевой функции будет больше исходного; при этом могут быть два случая:
а)если все координаты вектора, подлежащего вводу в базис, неположительные, то ЗЛП не имеет решения;
б)если имеется хотя бы одна положительная координата у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.
Теорема 2. Если для всех векторов выполняется условие
то полученный план является оптимальным.
На основании признака оптимальности в базис вводится вектор Аk, давший отрицательную минимальную величину симплекс – разность:
(6)
Чтобы выполнилось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор Аr, который дает положительное минимальное отношение:
;. (7)
Симплекс-метод с искусственным базисом.
Применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи линейного программирования, записанный в конической форме.
Этот метод заключается в применении правил симплекс-метода к задачи. Она получается из исходной добавлением к левой части системы уравнений в канонической форме исходной задачи линейного программирования таких искусственных единичных векторов с соответствующими неотрицательными искусственными переменными, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных линейно-независимых векторов.
Путем преобразований число вводимых переменных, составляющих искусственный базис, может быть уменьшено по одной.
Графический метод решения задач линейного программирования
Графический (геометрический) метод решения задач линейного программирования основан на геометрической интерпретации этой задачи.
Суть самой интерпретации заключается в том, что система функциональных и прямых ограничении; представляет собой систему линейных неравенств, решение которой (в случае их непротиворечивости) задает в n-мерном пространстве выпуклый замкнутый или незамкнутый многогранник, а приравнивание целевой функции некоторому произвольному значению определяет в этом пространстве гиперплоскость уровня целевой функции.
При изменении значения целевой функции гиперплоскость уровня смещается параллельно самой себе, и очевидно, что целевая функция достигает своего максимума или минимума в угловых точках (вершинах) многогранника области допустимых решений или на множестве точек, являющихся линейными комбинациями этих вершин (ребро, грань). Направление смещения гиперплоскости уровня целевой функции при возрастании ее значения совпадает с направлением вектора-градиента скалярной целевой функции.
Графический метод решения задач линейного программирования предполагает соответствующую иллюстрацию (чертеж) решения, и, следовательно, этим методом можно решать задачи с двумя (на плоскости) или с тремя (в трехмерном пространстве) переменными. Так как графическая иллюстрация в трехмерном пространстве сопряжена с определенными техническими трудностями, то, как правило, этим методом решают задачи линейного программирования с двумя переменными. В этом случае область допустимых решений будет иметь вид выпуклого замкнутого или незамкнутого многоугольника, а линия уровня целевой функции будет представлять собой прямую линию.
Анализ этапов решения рассматриваемой задачи графическим методом позволяет сделать вывод о трех особых случаях, которые могут встретиться при решении задач линейного программирования данным методом:
1) задача линейного программирования не имеет решения в виду неограниченности целевой функции. Этот случай может иметь место, когда область допустимых решений представляет собой выпуклый незамкнутый многоугольник, при этом не замкнутость направлена в ту сторону, куда перемещается линия уровня.
2) задача линейного программирования имеет не единственное решение (бесчисленное множество решений). Этот случай встречается, когда линия уровня параллельна стороне многоугольника область допустимых решений, к которой она приближается в соответствии с критерием оптимальности; эта параллельность может быть установлена по пропорциональности коэффициентов при переменных в целевой функции и в уравнении соответствующей прямой. В этом случае соответствующий оптимум достигается одновременно во всех точках данной стороны область допустимых решений (отрезка, луча).
3) задача линейного программирования не имеет решения в виду противоречивости системы ограничений. Данный случай будет иметь место, когда при выполнении этапа 2 графического метода полуплоскости, соответствующие неравенствам системы ограничений, не имеют общих точек и, следовательно, область допустимых решений является пустым множеством. [2]
Технология решения задач линейного программирования с помощью надстройки поиск решения в средах EXCEL.
Общие сведения о работе с табличным процессором Excel.
Работа с табличным процессором Excel, позволяет упростить расчеты, необходимые для решения оптимизационных задач. Табличный процессор – это программный продукт, предназначенный для автоматизации обработки данных табличной формы.
Элементы экрана Excel. После запуска Excel на экране появляется таблица.
Работа с формулами. В программах электронных таблиц формулы служат для выполнения множества разнообразных расчетов. С помощью Excel можно быстро создать формулу. Формула состоит из 3 основных частей:
1) знак равенства;
2) совокупности значений или ссылок на ячейки, с которыми выполняются расчеты;
3) операторов.
Если знак равенства отсутствует, то Excel интерпретирует данные не как формулу, а как ввод данных в ячейку. Формулу можно вводить непосредственно в ячейку или в строку формул – как текст, так и число. При этом нужно выполнить следующие действия:
Выделить ячейку, которая должна содержать формулу и ввести «=»;
Ввести оператор или знак действия;
Выделить другую ячейку, включаемую в формулу;
Опять ввести оператор и т.д., пока не завершится ввод формулы;
Нажать на клавишу Enter.
В строке формул появится введенная формула, в ячейке – результат расчета.
Использование в формулах функций. Чтобы облегчить ввод формулы, можно воспользоваться функциями Excel. Функции – это встроенные в Excel формулы. Excel содержит множество формул. Они сгруппированы по различным типам: логические, математические, инженерные, статистические и др.
Для активизации той или иной формулы следует нажать кнопки Вставка, Функции. В появившимся окне Мастер функций слева содержится перечень типов функций. После выбора типа справа будет помещен список самих функций. Выбор функции осуществляется щелчком клавиши мыши на соответствующем названии.
Различные функции выполняют разные типы вычислений по определенным правилам. Когда функция является единичным объектом в ячейке рабочего листа, она начинается со знака (=) далее следует название функции, а затем – аргументы функции, заключенные в скобки.
Поиск решения – это надстройка Excel, которая позволяет решать оптимизационные задачи. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду Сервис => Надстройки и активизируйте надстройку Поиск решения. Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то вам необходимо обратиться к панели управления Windows, щелкнуть на пиктограмме Установка и удаление программ и с помощью программы установки Excel ( или Office ) установить надстройку Поиск решения.
После выбора команд Сервис => Поиск решения появится диалоговое окно Поиск решения.
В диалоговом окне Поиск решений есть три основных параметра:
установить целевую ячейку.
изменяя ячейки.
ограничения.
Сначала нужно заполнить после, установить целевую ячейку. Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решений использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или установить конкретное значение.
Второй важный параметр средства Поиск решения – это параметр Изменяя ячейки. Здесь указываются ячейки, значения в которых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых ячеек. К этим ячейкам предъявляется два основных требования: они не должны содержать формул и изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависит от изменяемых ячеек.
Третий параметр, который нужно вводить на вкладке Поиск решения, - это ограничения.
Для решения задачи необходимо:
1) указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки);
2) ввести исходные данные;
3) ввести зависимость для целевой функции;
4) ввести зависимость для ограничений;
5) запустить команду Поиск решений;
6) назначить ячейку для целевой функции (установить целевую ячейку);
7) ввести ограничения;
8) ввести параметры для решения ЗЛП [7]
2. МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ РАСТЕНИЕВОДСТВА
В системе моделей оптимального планирования сельскохозяйственного производства на уровне предприятия центральное место занимает модель оптимизации производства продукции растениеводства. Она дает возможность определять основные параметры развития производства для текущего и перспективного планирования, может использоваться для анализа сложившейся структуры производства, позволяющего выявить более целесообразные пути использования ресурсов и возможности увеличения объемов производства продукции, опираясь на фактические данные за предшествующие годы.
Разработка экономико-математической модели осуществляется поэтапно в определенной последовательности:
1. постановка задачи и обоснование критерия оптимальности;
2. определение перечня переменных и ограничений;
3. сбор информации и разработка технико-экономических коэффициентов и констант;
4. построение модели и ее математическая запись;
5. кодирование, перенесение информации на ПК, решение задачи с помощью программ;
6. анализ результатов решения, корректировка модели, повторное решение задачи по скорректированной модели;
7. экономический анализ различных вариантов выбор проекта плана.
Для разработки модели необходимо знать:
источники пополнения ресурсов и те их виды, объемы которых определяются в процессе решения задачи;
виды продукции, по которым устанавливается государственный заказ, объемы реализации на рынке, продажи рабочим и служащим, внутрихозяйственные потребности;
размеры площадей, которые следует ограничить требованиями севооборотов;
требования зоотехнической службы для обеспечения скота необходимыми кормами.[1]
2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОБОСНОВАНИЕ КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Чтобы правильно поставить задачу, а также обосновать входную информацию, необходимо изучить объект моделирования. Для этого нужно проанализировать уровень развития производства по таким направлениям:
стоимость и структура товарной продукции;
посевные площади и структура сельскохозяйственных культур;
наличие и использование улучшенных и естественных угодий;
затраты труда на единицу продукции;
материально-денежные затраты;
себестоимость единицы продукции.
Наиболее ответственным моментом в математическом моделировании процессов растениеводства является правильная постановка задачи. Выбор критерия оптимальности должен быть грамотным с теоретических позиций, соответствовать интересам хозяйства, удовлетворять потребности практического планирования и отвечать требованиям математического метода решения задачи.
В качестве критерия оптимальности при оптимизации структуры продукции растениеводства могут использоваться следующие показатели:
1. максимизирующие – валовая продукция, товарная продукция, валовой доход, прибыль, уровень рентабельности;
2. минимизирующие – затраты на производство продукции, затраты живого или совокупного труда, приведенные затраты и другие.
В качестве переменных величин обычно применяют искомые размеры площадей сельскохозяйственных культур и кормовых угодий.
С учетом этой специфики запишем математическую модель, которая учитывает особенности постановки задачи и конкретную информацию о хозяйстве.
Математическая модель оптимизации производства растениеводческой продукции записывается в следующем виде. Здесь минимизируются затраты:
,
при условиях:
1) ограниченности производственных ресурсов
;
2) использование в скотоводстве побочной продукции растениеводства
3) ограниченности размера растениеводческой отрасли
4) производства конечной продукции не менее заданного объема
5) увязки растениеводства со скотоводством, в том числе
a) балансирования рационов животных по элементам питания
б) по структуре производства кормов
(14)
6) по количеству вносимых удобрений и средств защиты растений
7) неотрицательности переменных
где - искомая переменная, площадь s – культуры или вида кормовых угодий; - затраты труда на 1 га s – культуры или вида кормовых угодий; - расход - ресурса на единицу площади s – культуры или вида кормовых угодий; - наличие ресурса - вида; - гарантированный (обязательный) объем производства продукции - вида - выход с единицы площади S – культуры - вида корма; - вспомогательная переменная, количество кормов - вида, которое используется скотоводством; , - максимально и минимально возможная площадь культур - группы; - соответственно выход товарной продукции - вида с единицы площади - культуры; - выход основной кормовой продукции с единицы площади - культуры или вида кормовых угодий; - минимально и максимально допустимый нормативный размер потребности в кормах - группы единицы поголовья - вида (группы) животных, выраженный в кормовых единицах; - содержание - элемента питания в - виде корма или компонента кормосмеси; - коэффициент, учитывающий площадь семенных посевов для S – культуры; - содержание кормовых единиц в единице корма, получаемого от S – культуры, - расход - удобрений и средств защиты на единицу площади - культуры или вида кормовых угодий.
В соответствии с постановкой задачи, ее математической моделью и конкретным перечнем культур, которые могут развиваться в данном хозяйстве, для формирования числовой модели воспользуемся следующей системой переменных величин.
Перечень условий задачи в числовой модели логически вытекает из ее математической модели, постановки задачи и конкретной информации о специфике хозяйства и перспективах его развития.
Ограничения по наличию ресурсов:
1) возможной посевной площади, га;
2) естественных сенокосов, га;
3) естественных пастбищ, га;
4) рабочей силы, чел.-ч.
Условия по использованию в скотоводстве побочной продукции основных отраслей:
5)зерноотходов, ц;
6) соломы, га;
7) кормового картофеля, ц.
Ограничения по размеру отраслей:
8) минимальной площади зерновых, га;
9) максимальной площади зерновых, га;
Ограничения по производству конечной продукции:
