Подільність чисел

Вступ

Говорячи про  важливу роль теорії подільності  чисел в математичному вихованні, А.І. Маркушевич зауважив, що ця теорія є одним з небагатьох розділів математичної науки в (даному випадку  теорія чисел), з яким можна без  будь-яких скорочень і пропусків, зі всіма необхідними кінцевими визначеннями і доведеннями ознайомити учнів. Цей розділ – логічно стрункий і завершений, розвертаючись ланцюжком невеликої кількості достатньо простих теорем, дає можливість підвести учнів до розуміння теореми Евкліда про існування як завгодно великих простих чисел, алгоритму Ератосфена побудови таблиці простих чисел, алгоритму Евкліда для відшукання найбільшого спільного дільника і застосування цих знань до розв’язування в цілих числах лінійних рівнянь, і нарешті, до розуміння теореми про єдність розкладу цілого числа на прості множники.

 Вивчення теоретико-числового матеріалу в школі має широкі і важливі задачі і тому дослідження питань методики його вивчення є актуальним.

 Історія вітчизняної і зарубіжної методики навчання математики свідчить про те, що проблеми вивчення питань подільності чисел завжди розроблялися вчителями і методистами.

 На сучасному етапі перебудови шкільної математики освіти перед методистами і вчителями стоїть складне завдання надання поєднання нових понять і методів навчання з традиційним навчанням матеріалу, що включає і питання теорії подільності чисел.

 Основними методами дослідження є:

• теоретичний аналіз психолого-педагогічної, навчально-методичної та науково-дослідної літератури з проблеми дослідження;
• аналіз діючих програм, підручників і навчальних посібників;
• вивчення реального стану знань і умінь учнів на протязі роботи;
• аналіз результатів контрольних робіт, тощо;
• педагогічне спостереження;
• бесіди з учнями, вчителями.

Об’єктом дослідження  даної роботи є процес навчання математики в основній школі.

  Предметом дослідження є вивчення подільності та її застосування у загальноосвітній школі.

Мета дослідження  полягає у обґрунтуванні вимог  до математичної підготовки учнів, розробці методики викладу матеріалу теми «Подільність чисел».

Для досягнення мети необхідно:

• на основі аналізу психолого-педагогічної, науково-методичної літератури та педагогічного досвіду з’ясувати стан методики викладання теми «Подільність чисел»;
• виявити психолого-педагогічні особливості вивчення теми.

Моя курсова  робота складається з двох розділів:

1 розділ –  теоретична частина, в якій  викладено шкільний матеріал  по темі «Подільність чисел».

2 розділ –  практична частина, в якій представлено  приклади розв’язування вправ,  а також задачі без розв’язання для самостійного розв’язування.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теоретичні основи дослідження

1.1 Із історії розвитку  подільності

Протягом більше 25 століть задачі теорії чисел були улюбленою областю дослідження  визначних математиків і багатьох тисяч дилетантів. В теорії чисел значне місце відводиться теорії подільності цілих чисел. Ще в Стародавній Греції, в так званій піфагорійській школі вивчалась подільність цілих чисел. Було дано розвиток у цілих числах невизначеного рівняння (іншими словами, був вказаний рецепт побудови прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами).

Евклід у  своїх «Началах» чи «Елементах»  дав систематичну побудову теорії подільності. Він вперше запропонував теорему  про однозначність розкладу натурального числа на прості множники. Евкліду були відомі чотири досконалі числа: 6,28,496,8128. Він довів теорему, що N= є досконалим, якщо є простим.

Математики приділяють багато уваги простим числам. Були спроби дізнатися по зовнішньому вигляду просте чи складене це число, а далі вже розглядалась і їх подільність.

Будь-яке натуральне число А можна подати у вигляді:

 

,

 

де  прості числа, – натуральні числа.

Для кожного числа таке подання єдине.

Це твердження називається  основною теоремою арифметики.

Прості числа можна  назвати «елементарними цеглинами», з яких «будуються» інші числа.

 

Ще у 3 ст. до н.е. видатний давньогрецький учений Евклід довів, що простих чисел безліч. Інший давньогрецький учений Ератосфен винайшов спосіб, користуючись яким можна знаходити прості числа.

Цей спосіб назвали  «решето Ератосфена».

   Великий французький учений Марен Мерсенн (1588–1648) цікавився числами виду: . Прості числа, які можна знайти за допомогою цієї формули, називаються числами Мерсенна.

  Леонардо Ейлеру (1707–1783) вдалося довести, що числу - просте.

У 1852 р. Пафнутій Чебишов (1821–1894) довів, що для будь-якого натурального числа n>3 між числами n і 2n-2 завжди міститься просте число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Основні поняття, теореми,  ознаки подільності натуральних  чисел методика

1. Означення і властивості подільності чисел

Всі теореми, означення  для легшого вигляду теорій сформульовано для цілих додатних натуральних чисел і переносяться на цілі від’ємні числа. Всі теореми доводяться, але деякі доведення громіздкі і вимагають багато часу і місця для їх відтворення.

 Введемо означення подільності і деякі властивості подільності.

Якщо з двох цілих натуральних  чисел одне ділиться на інше, то говорять, що для цих чисел виконується  відношення подільності.

Означення 1.

Якщо для  чисел невід’ємних  і b виконується рівність , то b є дільником числа – кратне числу b.

1. Якщо , то « »=1, бо згідно означення існує таке число q, що (причому q – довільне ціле невід’ємне число).
1. Якщо , то « »=0
2. Справді не існує такого числа q, щоб виконувалась рівність , бо .
3. Якщо , то « »=1, бо існує , що

Отже, нуль ділиться на будь-яке ціле невід’ємне число.

Множина D всіх дільників числа  скінченна:

 і 

Множина К усіх кратних числа  нескінченна:

.

 

Властивості відношення подільності:

1. Рефлексивність :

, бо  , тобто [3]

2. Антисиметричність :

 і  . Тому

Зауваження: якщо [3]

3) Транзитивність

. Тому

[3]

Подільність суми, різниці та добутку

Теорема 1 (достатня умова подільності суми). Якщо кожний додаток ділиться на натуральне число n, то й його сума ділиться на це число.

Доведення.

 Тому 

Теорема 2 (достатня умова подільності різниці). Якщо ділиться на n і , то теж ділиться на n. [14]

Теорема 3 (необхідна й достатня умова  подільності суми). Якщо однин з двох доданків ділиться на дане число, то щоб його сума ділилася на це число необхідно й достатньо, щоб і другий доданок ділився на це число.

Доведення.

1. Достатність.

, .Тому

2. Необхідність.

Теорема 4 (достатня умова подільності добутку)..Якщо один з множників ділиться на натуральне число n, то й добуток ділиться на це число.

Доведення.

1.2.2 Ознаки подільності  чисел

Ознаки  подільності на 2 і 5

Для того, щоб  число ділилося на 2 (на 5), необхідно  й достатньо, щоб на 2 (на 5) ділилося число його одиниць.

Ознаки  подільності на 4 і 25

Для того щоб  число ділилося на 4 (на 25) необхідно  й достатньо, щоб на 4 (на 25) ділилося число, утворене його двома останніми  цифрами.

Ознака  подільності на 3 і 9

Для того щоб  число ділилося на 3 (на 9) необхідно й достатньо, щоб на 3 (на 9) ділилося сума цифр цього числа.

Ознака  подільності на 6

Для того щоб  число ділилося на 6 необхідно й  достатньо, щоб воно ділилося на 2 і  на 3.

Ознака  подільності на 11

Число ділиться на 11 тоді й тільки тоді, коли різниця  між сумою цифр цього числа, які розміщені на парних місцях і сумою цифр, що розміщені на непарних місцях, ділиться на 11.

Ознака  подільності на 7

Ці рівність можна дістати в результаті безпосередніх  обчислень або комбінуючи вже  відомі результати. Іноді роблять інакше: якщо відомо, що , то для того щоб знайти подають у вигляді

1.2.3 Основні теореми  про прості числа

Означення 2. Натуральне число, яке ділиться на одиницю і само на себе називається простим. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним.

Теорема 5. Найменший відмінний від 1 дільник числа є простим числом.

Теорема 6. Будь-яке натуральне число ділиться принаймні на одне просте число.

Теорема 7. Якщо число складне, то найменший простий дільник числа не перевищує .

Теорема Евкліда. Не існує найбільшого натурального простого числа (множина простих чисел нескінченна).

Основна теорема арифметики натуральних чисел. Будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників.

1.2.4 Найбільший спільний  дільник і способи його знаходження

Означення 3. Дільником числа називають таке число, на яке дане число ділиться без остачі (націло).

Означення 4. Найбільшим спільним дільником (НСД) декількох чисел називають найбільше число, на яке кожне з даних чисел ділиться без остачі.

Для знаходження  найбільшого спільного дільника чисел а і b потрібно:

1. Знайти всі дільники  числа а і всі дільники числа  b

2. Знайти спільні дільники  чисел а і b, тобто дільники, які є дільниками кожного з  чисел а і b

3. Обчислити добуток всіх спільних дільників, беручи кожен з множників з найменшим показником.

Результат записати у вигляді  НСД (а; b)

Означення 5. Взаємно простими числами називаються числа, які не мають інших спільних дільників крім одиниці.

Другий спосіб знаходження НСД пов'язаний з давньогрецьким математиком Евклідом, який виклав у 7 книзі своїх «Начал». Цей спосіб легший, доступніший і більше подобається дітям.

Теорема 8. Якщо , то НСД(

Теорема 9. Якщо то НСД( НСД( .

Алгоритм  Евкліда:

Алгоритм Евкліда ітеративний, тобто, пошук розв'язку відбувається за декілька кроків; вихідні дані попереднього кроку служать вхідними для наступного. Нехай k – ціле число, що дорівнює кількості виконаних кроків, починаючи з 0. Кожен крок починається з двома невід'ємними залишками r_k−1 та r_k−2. Оскільки алгоритм гарантує, що залишки постійно зменшуватимуться на кожному кроці, r_k−1 менше за попердній залишок r_k−2. Задачею кроку k є пошук частки q_k та залишку r_k, що задовільняють рівнянню:

 

r_k−2 = q_k r_k−1 + r_k

 

де r_k < r_k−1. Іншими словами, добутки меншого числа r_k−1 віднімають від більшого числа r_k−2 доки залишок буде менше за r_k−1. На початковому кроці (k = 0), залишки r₋₂ та r₋₁ дорівнюють a та b, числам, для яких шукають НСД. На наступному кроці (k = 1), залишки дорівнюють b та залишку r₀ першого кроку, і так далі. Таким чином, алгоритм можна записати як послідовність рівнянь

a = q₀ b + r₀

b = q₁ r₀ + r₁

r₀ = q₂ r₁ + r₂

r₁ = q₃ r₂ + r₃

…

Якщо a менше за b, першим кроком алгоритм переставляє числа. Наприклад, якщо a < b, початкова частка q₀ дорівнює нулю, а залишок r₀ дорівнює a. Тому r_k менше за попередній залишок r_k−1 для всіх k ≥ 0. Оскільки залишки зменшуються на кожному кроці але не можуть бути від'ємними, деякий залишок r_N дорівнюватиме нулю, і тоді алгоритм зупиняється Останній ненульовий залишок r_N−1 і є найбільшим спільним дільником чисел a та b. Число N має бути скінченним, оскільки існує лише скінченна кількість цілих чисел між початковим залишком r₀ та нулем.

Властивості НСД

1. Для будь-яких натуральних чисел і b існує єдиний НСД.
2. Якщо <b, то НСД( , b) (НСД не перевищує меншого з даних чисел).
3. Якщо , то НСД( , b)=b.
4. Частки від ділення чисел і b на їх НСД – числа взаємно прості.

1.2.5 Найменше спільне  кратне чисел і способи його  знаходження

Означення 6. Найменше спільне кратне. НСК двох цілих чисел a, b називаємо найменше натуральне число, яке є кратним обох цих чисел. Є різні способи знаходження спільного кратного кількох чисел.

У школі дається  такий спосіб:

Для знаходження  спільного кратного двох чисел треба:

1. розкласти дані числа на прості множники;
2. доповнити розклад одного з них тими множниками розкладу другого числа, яких немає в розкладі першого;
3. обчислити добуток знайдених множників.

Для доведення  другого способу будуть потрібні такі теореми:

Теорема 10. Частки від ділення чисел a і b на їх найбільший спільний дільник d взаємно прості.

Теорема 11. Якщо добуток ab ділиться на с, причому b і c взаємно прості, то α ділиться на с.

Теорема 12. Найменше спільне кратне натуральних чисел a, b дорівнюють добутку цих чисел, поділеному на їх найбільший спільний дільник, тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

Дільник	Умова Подільності		Приклади
2	Остання цифра є парною (0, 2, 4, 6, або 8).		1,294: 4 є парне.
3	Сума цифр повинна ділитися на 3.		405: 4 + 0 + 5 = 9. 9 ділиться на 3.
4	Якщо число, утворене двома останніми  цифрами ділиться на 4.		2,092: 92 ділиться на 4.
5	Остання цифра або 5 або 0.		490: остання цифра 0.
6	Якщо число ділиться і на 2, і  на 3.		24: число ділиться на 2 і на 3.
7	Число розбивається на блоки по три  цифри, починаючи з кінця. Число  ділиться на 7, якщо різниця суми блоків, що стоять на парних місцях, і суми блоків, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7.		2,911,272: 911 - (2 + 272) = 637. 637 ділиться на 7.
	Якщо сума числа без останньої  цифри і останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7.		364: 36 + (5×4) = 56. 56 ділиться на 7.
		Різниця між числом без останньої  цифри і подвоєної останньої  цифри повинна ділитись на 7.		364: 36 − (2×4) = 28. 28 ділиться на 7.
8		Якщо число, утворене останніми  трьома цифрами, ділиться на 8.		5,128: 128 ділиться на 8.
		Якщо число сотень є парне, то число, утворене двома останніми  цифрами повинне ділитись на 8.		624: 6 - парне, 24 ділиться на 8.
		Якщо число сотень є непарним, то до числа, утворенного двома останніми  цифрами, потрібно додати 4. Таке число повинне ділитись на 8.		352: 52+4 = 56. 56 ділиться на 8.
9		Сума всіх цифр повинна ділитись на 9.		2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18. 18 ділиться на 9.
10		Остання цифра 0.		130: остання цифра 0.
11		Число розбивається на блоки по дві  цифри, починаючи з кінця. Сума блоків повинна ділитись на 11.		627: 6 + 27 = 33. 33 ділиться на 11.
		Якщо різниця між числом без  останньої цифри і останньою  цифрою ділиться на 11.		627: 62 - 7 = 55. 55 ділиться на 11.
		Якщо сума цифр, що стоять на парних місцях відрізняється від суми цифр, що стоять на непарних місцях, починаючи з кінця, на число, що кратне 11.		182,919: (9 + 9 + 8) - (1 + 2 + 1) = 22.
12		Якщо число ділиться на 3 і на 4.		324: воно ділиться і на 3, і на 4.
		Число без останньої цифри множать на два і віднімають останню цифру. Таке число повинне ділитись на 12.		324: (32x2) − 4 = 60. 60 ділиться на 12.

 

13		До числа без останньої цифри  додають останню цифру, помножену  на 4. Утворене число повинне ділитись на 13.	338: 33 + (8×4) = 65. 65 ділиться на 13.
		Від числа без останньої цифри  віднімають останню цифру, помножену  на 9. Утворене число повинне ділитись на 13.	637: 63 − (7×9) = 0. 0 ділиться на 13.
14		Якщо число ділиться на 2 і на 7.	224: воно ділиться на і на 2, і на 7.
		Число без останніх двох цифр множать  на 2. До результату додають число, утворене двома останніми двома цифрами. Сума повинна ділитись на 14.	364: (3x2) + 64 = 70.
15		Якщо число ділиться на 3 і на 5.	390: число ділиться на 3 і на 5.
16		Якщо число тисяч є парним, то перевіряють число, складене з  останніх трьох цифр.	254,176: 176 ділиться на 16.
		Якщо число тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми трьома цифрами, додають 8.	3,408: 408+8 = 416. 416 ділиться на 16.
		Число без останніх двох цифр множать  на 4 і додають число, утворене останніми  двома цифрами. Результат повинен  ділитись на 16.	176: (1x4) + 76 = 80. 80 ділиться на 16.
17		Число без останніх двох цифр множать  на 2 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 17.	187: − (1x2) + 87 = 85. 85 ділиться на 17.
		Від числа без останньої цифри  віднімають останню цифру, помножену  на 5. Результат повинен ділитись на 17.	85: − 8 + (5×5) = 17.
18		Якщо число ділиться на 2 і на 9.	342: воно ділиться і на 2, і на 9.
19		До числа без останньої цифри  додають подвоєну останню цифру. Результат повинен ділитись на 19.	437: 43 + (7x2) = 57. 57 ділиться на 19.
20	Якщо число ділиться на 10 і число  десятків є парне.		360: число ділиться на 10 і 6 є  парним.
	Якщо число, утворенне двома  останніми цифрами ділиться на 20.		480: 80 ділиться на 20.
22	Якщо число закінчується на парну  цифру й ділиться на 11.		6886: ділиться на 11 і закінчується  парним.
25	Якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25.		134,250: 50 ділиться на 25.
26	Якщо число ділиться на 13 і є  парним.		2,911,272: число ділиться на 13 і є  парним.
27	Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сума утворених  блоків повинна ділитись на 27.		2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918. 918 ділиться на 27.
	Від числа без останньої цифри  віднімають останню цифру, помножену  на 8.		621: 62 − (1×8) = 54. 54 ділиться на 27.
32	Якщо число десятків тисяч є  парним, то перевіряють на подільність  число, утворене останніми чотирма  цифрами.		41,312: 1312 ділиться на 32.
	Якщо число десятків тисяч є  непарним, то до числа, утвореного останніми чотирма цифрами, додають 16.		254,176: 4176+16 = 4192. 4192 ділиться на 32.
	Число без останніх двох цифр множать  на 4 і до результату додають останні  дві цифри. Суму перевіряють на подільність  на 32.		1,312: (13x4) + 12 = 64. 64 ділиться на 32.
33	Якщо число ділиться на 11 і на 3.		1,003,002: число ділиться на 11 і на 3.
	Число ділять на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Утворені блоками  числа сумують. Результат повинен  ділитись на 33.		627: 6 + 27 = 33.

Висновки

Зробила спробу узагальнити і систематизувати навчальний матеріал, вибрала найкращий матеріал щодо теми «Подільність чисел» у 6-му класі. Відомо, що нестандартні задачі розширюють уявлення нас - школярів про різноманітні ідеї, методи, які забезпечують їх розв’язування. Проте важливо й інше: підібрані задачі спонукають мене до висування й обґрунтування певних гіпотез, пошуку та відсіювання неправильних припущень, побудови фрагментарних теоретичних узагальнень, сприяючи у такий спосіб формуванню в мені творчого, евристичного мислення, а також прагнення до дослідницької діяльності.

Саме до таких  задач і відносять різноманітні задачі з теорії чисел. Задачі такого типу приваблюють юних математиків. Їхні умови часто зрозумілі навіть учням молодших класів, проте розв’язування цих задач потребує глибоких знань та винахідливості. Їх пропонують майже на кожній олімпіаді юних математиків.

Тема «Подільність чисел» є цікавою для мене і однією з таких тем, за допомогою яких можна зацікавити мене навчанням і математикою зокрема. Недарма задачі на подільність зустрічаються на олімпіадах різних рівнів.