Погрешность измерений

 Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

Российский  Государственный Университет Инновационных  Технологий и

Предпринимательства (СФ) 

Управление  инновациями. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа по дисциплине

«Метрология, стандартизация и сертификация» 

ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Принял  преподаватель

___________Трофимов  П.А.

      «__»_______200__г. 
 

Выполнила студентка группы И831

_____________Шелагина  Н.А.

«__»_______200__г. 
 
 
 
 

Великий Новгород

2009

    Содержание: 

 Введение…………….………………………………………………………………..………….3

1. Расчёт результатов прямых измерений…….………………………………….…………...5

            1.1. Расчёт среднего значения, СКО  результатов наблюдений и измерений  ..…...…5   

     1.2.Оценка  достоверности результатов…….………….……………………...………...7

            1.3.Расчёт парных коэффициентов  корреляции………………….………..……….…..9

1.4. Расчёт  предельных инструментальных погрешностей…………………...………11

     1.5.Оценка  доверительных границ не исключённой  составляющей погрешности...13 

2. Расчёт  результатов косвенного измерения……………………………….………………16

   Заключение……………………………...………….…………………….……………..…….19

  Список  использованной литературы……..………………….………………………….…...20

3. Приложения……………………………………………………………….………………..21

           Приложение А - Метрологические характеристики средств измерений……………21

     Приложение Б – Обнаружение  грубых погрешностей в результатах                  наблюдений…………………………………………………...…………………………….23

        Приложение В – Значение коэффициента  Стьюдента …………..………..………….25

    Введение

      Основными целями курсового расчета  являются:

    а)    закрепление теоретических знаний;

    б)    приобретение навыков работы с нормативно – технической документацией;

    в)  закрепление навыков оценки погрешностей  косвенных измерений с использованием             результатов многократных прямых измерений.

      Определения основных понятий,  используемых в курсовом расчете:

 1) Средства измерений – технические средства, применяемые для проведения экспериментальной части измерений и имеющие нормированные метрологические свойства.

2) Прямые измерения состоят в том, что искомое значение физической величины находят из опытных данных путем экспериментального сравнения.

3)  Косвенные измерения состоят в том, что искомое значение физической величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, найденными в результате прямых измерений.

Уравнение косвенного измерения y = f(x₁,x₂,…,x_n),

где x_i – i-й результат прямого измерения.

4) Погрешность измерения - это отклонение результата измерения x от истинного (действительного) x_и (x_д) значения измеряемой величины:

5) Абсолютная погрешность определяется выражением:

    6) Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измеряемой физической величины к ее действительному значению:

    7) В качестве истинного значения  при многократных измерениях искомой физической величины выступает среднее арифметическое значение , определяемое формулой:

    Величина  x , полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к x_и. Для оценки ее возможных отклонений от x_и определяют опытное среднее квадратическое отклонение (СКО) по формуле:

    Для оценки рассеяния отдельных результатов  x_i измерения относительно среднего определяют СКО по формуле:

8) Систематическая  погрешность – это погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

и) Случайная погрешность – это погрешность, которая изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

9) Грубые погрешности (промахи) – это погрешности, которые возникают из – за ошибочных действий оператора, неисправности СИ или резких изменений условий измерения. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специальных критериев.

10) Инструментальная погрешность – это погрешность, которая возникает из-за  собственной погрешности СИ, определяемой классом точности, влиянием СИ на результат и ограниченной разрешающей способностью СИ.

11) Основная погрешность СИ – это его погрешность при нормальных условиях эксплуатации.

12) Дополнительная погрешность СИ – это погрешность СИ, возникающая в результате выхода условий измерения за пределы нормальных.

13) Коэффициенты  корреляции – определение тесноты связи (статистической) между количественными или качественными признаками

1 Расчет результатов  прямых измерений

1.1 Результаты  прямых многократных измерений   напряжений U₁ и U₂ , сопротивления R и частоты f приведены в таблице 1.1:

Таблица 1.1 -  Результаты прямых многократных измерений  напряжений U₁ и U₂ , сопротивления R и частоты f

Для каждого  ряда наблюдений физических величин, приведенных  в таблице 1.1, рассчитывается среднее  значение, среднеквадратическое отклонение результатов наблюдений и результата измерений с помощью формул:

1) Произведем  необходимые расчеты для напряжения U₁ 

2) Произведем необходимые расчеты для напряжения U_2:

 3) Произведем необходимые расчеты для напряжения R:

4) Произведем необходимые расчеты для напряжения f: 

_=12010Гц

1.2 Для каждого  ряда наблюдений, приведенных в  таблице 1.1, производиться оценка  достоверности результатов с  помощью критерия Граббса. Содержащие  грубые погрешности результаты наблюдений исключаются, и производиться расчет скорректированных значений среднего и среднеквадратического отклонения результатов измерений указанных физических величин.

    а) Произведем вышеуказанные расчеты  для напряжения U₁: 

      1) Механизм оценки достоверности результатов с помощью критерия Граббса подробно изложен в приложении Б.

 В ряду  наблюдений U₁ подозрительным результатом x_u является значение напряжения U₉, равное 1,114 В. Оно является минимальным значением в ряду наблюдений. Найдем для него относительное уклонение по формуле (Б.1) из приложения Б:

,следовательно результат наблюдения  = 1,114 В является промахом, он исключается и  производиться расчет скорректированных значений среднего и среднеквадратического отклонения результатов измерения, то есть при n = 19.

2) В ряду наблюдений напряжения U₂ под подозрением U19 = 563,2 мВ

,следовательно результат наблюдения  = 563,2мВ является промахом.

  мВ  

3) В ряду наблюдений  напряжения R под подозрение попадает R11= 0,214кОм 

,следовательно R11= 0,214кОм является промахом.

 4) Проводим аналогичные вычисления в ряду наблюдений частоты f. В ряду наблюдений частоты f грубой погрешностью является результат наблюдений f = 12,07 кГц.

 кГц    
 

1.3 Оценивается  взаимосвязь результатов наблюдений  физических величин. Для этого  рассчитываются парные коэффициенты  корреляции. В курсовом расчете  4 ряда наблюдений физических  величин, поэтому будет 12 парных коэффициентов корреляции. Но рассчитывать нужно  только 6 из них, так как остальные 6 повторяются. То есть, в курсовом расчете необходимо рассчитать коэффициенты корреляции между величинами U₁ и U₂, U₁ и R, U₁ и f, U₂ и R, U₂ и f, R и f.

    Парный  коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

     ,         (1.1)      

    где x_l и x_k – величины, между которыми рассчитывается коэффициент корреляции;

и - средние значения соответствующих величин, рассчитанные при числе наблюдений равном n;

 и  - СКО результатов наблюдений соответствующих величин, рассчитанные при числе наблюдений, равном n;

n  - число наблюдений соответствующих физических величин.

    Рассчитаем  парный коэффициент корреляции между  величинами U₁ и U₂ 
 

Таблица 1.2 - Результаты наблюдений величин U1и U2 при расчете коэффициента корреляции между ними

    Значения  среднего и СКО величин U₁ и U₂ при n = 19  равны:

     = 1,209 В

     = 0,002 В

     = 0,562 В 

     =  0,000105 В 
 
 
 
 
 

         Аналогично рассчитываются  остальные 5 коэффициентов корреляции. Их значения соответственно равны:

      = 0,657541

     = 0,208743

     = -0,029394

     = 0,391926

       = 0,266727

        Анализируя полученные значения  коэффициентов  корреляции, можно  сделать вывод о том, что  6 коэффициентов незначительны, и  их можно не учитывать в формуле погрешности результата косвенного измерения.  

1.4 По паспортным  данным универсального вольтметра В7 – 16 и электронно-счетного частотомера Ч3 – 34 производиться расчет предельных инструментальных погрешностей (основных и дополнительных) результатов прямых измерений. Формулы для расчета основных и дополнительных погрешностей вышеуказанных СИ приводятся  в приложении А в таблицах А.1 и А.2.

        Для вольтметра  В7 – 16 время  преобразования  T_пр выбирается равным 20 мс. При этом времени преобразования рассчитываются основные инструментальные погрешности измерения напряжений U₁ и U₂, а также сопротивления R.

      Время измерений T_изм при расчете основной инструментальной погрешности измерения частоты f выбирается равным 0,1 с,  так как при этом достигается необходимая точность измерения искомой физической величины.

      В индивидуальном задании приводятся  условия проведения прямых измерений.  Рассмотрим и проанализируем  их. Температура T=19 входит в диапазон нормальных условий по температуре для вольтметра  В7 –16 и частотомера Ч3 – 34, поэтому дополнительные инструментальные погрешности от температуры для вышеуказанных приборов при проведении прямых измерений величин U₁, U₂, R и f  учитывать не нужно. Иное дело обстоит с напряжением сети. Для вольтметра В7 – 16 напряжение сети U_с, равное 210 В, не входит в диапазон нормальных условий измерения по напряжению питания. Следовательно, при расчете предельных инструментальных погрешностей измерения величин U₁, U₂ и R необходимо учесть дополнительную погрешность от изменения напряжения питания в диапазоне В. Для частотомера Ч3 – 34 напряжение сети  в нормальных условиях не регламентируется.

    а) Рассчитаем предельные инструментальные погрешности (основную и дополнительную) измерения напряжения U₁. При расчете указанных погрешностей предел

измерений U_k выбирается равным 10 В, (так как измеряемая величина находиться в диапазоне 1< U₁<10), а измеренное значение искомой величины U_x – среднему значению, рассчитанному в пункте 1.3 (без учета промаха). Рассчитаем эти погрешности:

     0,46% или 0,0046

     0,165% или 0,00165

    б) Рассчитаем предельные инструментальные погрешности (основную и дополнительную) измерения напряжения U₂. При расчете указанных погрешностей предел измерений U_k выбирается равным 1 В, а измеренное значение искомой величины U_x – среднему значению, рассчитанному в пункте 2.3 (без учета промаха). Рассчитаем эти погрешности:

     0,138 % или 0,00138

     0,035 % или 0,00035

    в) Рассчитаем предельные инструментальные погрешности (основную и дополнительную) измерения сопротивления R. При расчете указанных погрешностей предел измерений R_k выбирается равным 1000 Ом , а измеренное значение искомой величины R_x – среднему значению, рассчитанному в пункте 1.2. Рассчитаем эти погрешности:

     0,30 % или 0,003

     0,10 % или 0,001

    г) Рассчитаем предельную инструментальную погрешность (основную)  измерения  частоты f.

     - основная относительная погрешность  частоты внутреннего кварцевого  генератора или внешнего источника  опорной частоты

     - до 12 мес. после поверки

    При расчете основной предельной инструментальной погрешности измеренное значение искомой величины f_x выбирается равным среднему значению величины, рассчитанному в пункте 2.3 (без учета промаха). Рассчитаем эту погрешность:

     0,000838 или 0,0838 % 
 
 

    1.5 Результат каждого из прямых  измерений записывается с учетом систематической погрешности средства измерений и/или случайной погрешности. Доверительная вероятность при расчетах принимается равной P =  0,95.

    Если  систематические погрешности исключить  невозможно, то дают оценку доверительных  границ неисключенной составляющей погрешности (НСП). НСП результата измерения образуется из составляющих НСП метода, СИ или других источников. В индивидуальном задании сказано, что методическими погрешностями нужно пренебречь. Это означает, что в расчетной формуле НСП составляющую по методу измерения учитывать не нужно.

    В качестве границ составляющих НСП принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей СИ.

    При оценке границ составляющих НСП в  соответствии с ГОСТ 8.207 – 76 их рассматривают как случайные величины, распределенные по равномерному закону. Тогда границы НСП результата измерения можно рассчитать по формуле:

     ,                        (1.2)

    где - граница i – той составляющей НСП;

K – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью P. Так как уровень доверительной вероятности P был принят равным 0,95 , то коэффициент K будет равен 1,1.

    а) Запишем результат прямого измерения  напряжения U₁. Для этого необходимо рассчитать НСП измерения этой величины по формуле 2.2. Затем это значение необходимо сравнить со случайной погрешностью измерения, выраженной величиной среднеквадратического отклонения результата измерения . Исходя из проведенного сравнения, необходимо записать результаты прямого измерения.

     = = 0,006498 В

     = 0,00052 В (см. пункт 1.3)

     = 12,49 > 8

    Результат сравнения  оказался больше 8, значит, случайная погрешность не учитывается, а погрешность результата измерения принимается равной неисключенной систематической погрешности. Следовательно, результат измерения напряжения U₁ можно записать в виде, определяемом выражением 1.3:

                                  (1.3)

    б) Запишем результат прямого измерения  напряжения U₂. По формуле 1.2 рассчитаем НСП результата измерения напряжения U₂:

     = = 0,00088 В

     = 0,000105 В (см. пункт 1.3)

     = 8,38 > 8

    Результат сравнения    больше 8. В этом случае случайная погрешность не учитывается, а погрешность результата измерения принимается равной неисключенной систематической погрешности. Следовательно, результат измерения напряжения можно записать в виде, определяемом выражением 1.3:

                                  (1.3)

     B      

в) Запишем результат  прямого измерения сопротивления  R. Для этого рассчитаем значение НСП результата измерения по формуле 1.2:

     = = 0,69564Ом

     = 0,42 Ом (см. пункт 1.2)

    Далее необходимо сделать оценку удельного веса и неисключенной систематической погрешности и на основе этого записать результат прямого измерения.

     = 1,65Ом

    0,8 < < 8

    В результате сравнения погрешностей получилось, что величина лежит в диапазоне от 0,8 до 8. В этом случае при определении погрешности результата измерения необходимо учитывать и неисключенную систематическую и случайную погрешности. Для этого вычисляют суммарное среднее квадратическое отклонение результата измерения:

                (1.4)

    Вычисляют коэффициент K:

       ,               (1.5)

    где - коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности P и числа наблюдений n. Таблица значений коэффициента Стьюдента приведена в приложении В, в таблице В.1. 

    Вычисляется суммарная погрешность результата измерения  :

                                 (1.6)

    Результат измерения записывается в виде:

      при P = … .               (1.7)

    Произведем  расчет величины по формуле 1.4:

         = 0,5811 Ом

    Рассчитаем  коэффициент K по формуле 1.5, при этом коэффициент Стьюдента при     P = 0,95 и числе наблюдений n = 19 будет равен 2,10.

     = 1,92

    Вычисляем суммарную погрешность результата измерения по формуле 1.6:

     = 1,115 Ом

    Результат измерения напряжения  U₁ записывается в виде формулы (1.7):    меньше 8. В этом случае случайная погрешность не учитывается, а погрешность результата измерения принимается равной неисключенной систематической погрешности. Следовательно, результат измерения напряжения можно записать в виде, определяемом выражением 2.3:

                                  (1.3)

     Ом при P = 0,95

    г) Запишем результат прямого измерения  частоты f. Для этого рассчитаем значение НСП результата измерения по формуле (1.2):