Показатели вариации. 2

      Содержание 

Введение 

           Возрастающий интерес  к статистике вызван современным  этапом развития экономики в стране, формирования рыночных отношений. Это  требует глубоких экономических  знаний в области сбора, обработки  и анализа экономической информации.

     Статистика  в узком смысле представляет собой  количественную совокупность, связанную  с обработкой данных индивидуальных наблюдений, свойственных предметам, явлениям, составляющим отдельные па Вариация – это колеблемость значений признака у отдельных единиц совокупности.

     Наличию вариации обязана своим появлением статистика. Большинство статистических закономерностей проявляется через  вариацию. Изучая вариацию значений признака в сочетании с его частотными характеристиками, мы обнаруживаем закономерности распределения (например: население  по возрасту, студентов по уровню оценок). Рассматривая вариацию одного признака параллельно с изменением другого, мы обнаруживаем взаимосвязи между  этими признаками или их отсутствие (например: зависимость между торговой площадью и товарооборотом). Вариации в статистике проявляются двояко, либо через изменения значений признака у отдельных единиц совокупности, либо через наличие или отсутствие изучаемого признака у отдельных  единиц совокупности. Изучение вариации в статистике имеет как самостоятельную  цель, так и является промежуточным  этапом более сложных статистических исследований.

     В теоретической части курсовой  работы рассмотрены следующие аспекты:

• Понятие вариации;
• Вариационные ряды;
• Измерители вариации.

     Расчетная часть курсовой работы  включает примеры расчётов показателей вариации:

• Расчет числа групп по формуле Стерждесса и длины интервала
• Расчет абсолютных показателей вариации
• Расчет относительных показателей вариации

1. Показатели вариации  и их использование

  в статистическом  анализе 

1.1 Понятие вариации  и вариационные  ряды 

     Рассматривая  зарегистрированные при статистическом наблюдении величины того или иного  признака у отдельных единиц совокупности, обнаруживаем, что они различаются  между собой, колеблются, так как  у каждой из единиц они складываются под действием многих причин и  условий. Эти различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой  совокупности в статистике называют вариацией признака.

     Вариация  делится на случайную и систематическую. Вариация признака, которая не зависит  от факторов, положенных в основу группировки, называется случайной вариацией. Например, в условиях налаженного и поддерживаемого в устойчивом состоянии технологического процесса наблюдаются случайные различия в качестве выпускаемой продукции, возникают эти различия под влиянием не поддающихся контролю и учету факторов, то есть случайных факторов. Вариация признака, которая зависит от факторов, положенных в основу выделения группы, называется систематической вариацией. При систематической вариации значения признака в пределах совокупности варьируют при переходе от одной группы к другой в связи с изменением группировочных признаков. Например, качество одного и того же вида продукции будет различно в различных условиях организации технологического процесса.

     Показатели  вариации являются числовой мерой уровня колеблемости признака, они измеряют отклонения от средних и дают возможность установить насколько однороден состав данной совокупности по изучаемому признаку, насколько надежна, типична средняя величина. Чем однороднее состав совокупности, тем более близки между собой отдельные значения признака, тем меньше разбросанность этих значений вокруг средней величины.

     Наиболее  распространенными (основными) характеристиками вариации являются размах вариации , среднее линейное отклонение , среднее квадратическое отклонение , дисперсия и коэффициент вариации .

     Признаки, изучаемые статистикой, варьируются (отличаются друг от друга) у различных  единиц совокупности в один и тот  же период или момент времени. Например, варьируется рост людей, их заработная плата т.п.

     Причиной  вариации являются разные условия существования  разных единиц совокупности. Например, огромное число причин влияет на рост человека, его заработную платы и  т.д.

     Для управления и изучения вариации статистикой  разработаны специальные методы исследования вариации, система показателей, с помощью которой вариация измеряется, характеризуются ее свойства.

     Первым  этапом статистического изучения вариации является построение ряда распределения (или вариационного ряда) – упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака.

     Ряд распределения бывает дискретным и интервальным.

     Дискретный  ряд распределения – это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) – конкретных значений варьирующего признака Xi и числа единиц совокупности с данным значением признака fi – частот; число групп в дискретном ряду определяется числом реально существующих значений варьирующего признака. 
 
 

       таблица 1

     Интервальный  ряд распределения – это таблица, состоящая из двух столбцов (строк) – интервалов варьирующего признака Xi и числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот - fi), или долей этого числа в общей численности совокупностей (частостей - di).

     таблица 2

     Для того чтоб трансформировать дискретный ряд в интервальный ряд распределения  для этого необходимо выбрать  оптимальное число групп (интервалов признака) и установить длину (размах) интервала. Поскольку при анализе  ряда распределения сравнивают частоты  в разных интервалах, необходимо, чтобы  длина интервалов была постоянной.

     Оптимальное число групп выбирается так, чтобы  в достаточной мере отразилось разнообразие значений признака в совокупности и, в то же время, закономерность в распределении, а его форма не искажалась случайными колебаниями частот. Если групп будет  слишком мало, то не проявится закономерность вариации, а если групп будет чрезмерно много, то случайные скачки частот исказят форму распределения.

     Чаще  всего число групп в ряду распределения  определяют по формуле Стерждесса:

         k=1+3,322LgN       (1)

       где k – число групп (округляемое до ближайшего целого числа);

     N – численность совокупности.

     Из  формулы Стерджесса видно, что число групп k – это функция объема данных (N).

     Зная  число групп, рассчитывают длину (размах) интервала по формуле:

                   (2)

     где Xмax и Xmin — максимальное и минимальное значения в совокупности.

     Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные  показатели.

     К абсолютным показателям вариации относят: 

1. размах вариации, 
2. среднее линейное отклонение, 
3. среднее квадратическое отклонение, 
4. дисперсию.

     К относительным показателям вариации относят: 

• коэффициент осцилляции, 
• линейный коэффициент вариации, 
• относительное линейное отклонение и др.

1.2 Абсолютные показатели вариации 

     Размах  вариации R. Это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

                (3)

     где   - размах вариации;

       - максимальное значение признака;

      - минимальное значение признака.

     Размах  вариации (размах колебаний) - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

     Среднее линейное отклонение представляет собой  среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов  от их средней арифметической:

             (4)     формула для не сгруппированного ряда

     где   - среднее линейное отклонение;

       - индивидуальное значение признака;

       - простая средняя арифметическая;

       - численность совокупности.

     Среднее линейное отклонение по сгруппированному признаку:

          (5)

     где   - среднее линейное отклонение;

       - центральный вариант i-го интервала;

       - средняя арифметическая взвешенная;

       - частота i-й группы.

     Первая  формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах  с неравными частотами. Необходимость  использования в формулах среднего линейного отклонения модулей отклонений вариантов от средней вызвана  тем, что алгебраическая сумма этих отклонений равна нулю по свойствам  средней арифметической. Среднее  линейное отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.

      Среднее линейное отклонение даёт обобщённую характеристику степени колеблемости признака в совокупности относительно среднего уровня признака и рассчитывается  как средняя арифметическая из индивидуальных линейных отклонений.

      Показатель  среднего линейного отклонения нашел  широкое применение на практике. С  его помощью анализируют состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов; разрабатывают системы материального  стимулирования. Но этот показатель усложняет  расчёты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики.

     При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают  определенные неудобства, связанные  с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и  с отрицательными величинами, что  побудило искать другие способы оценки вариации, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Таким  способом стало возведение всех отклонений во вторую степень. Обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений, получили очень  широкое распространение. К таким  показателям относятся среднее квадратическое отклонение  и среднее квадратическое отклонение в квадрате , которое называют дисперсией.

     Среднее квадратическое отклонение по несгруппированному признаку:

        (6)

     где   - среднее квадратическое отклонение;

       - варианты совокупности;

       - средняя арифметическая простая;

       - численность совокупности.

     Среднее квадратическое отклонение по сгруппированному признаку:

         (7)

     где   - среднее квадратическое отклонение;

       - центральный вариант i-го интервала;

       - средняя арифметическая взвешенная;

       - частота i-й группы.

     Расчет  дисперсии можно упростить. Для  этого используется способ отсчета  от условного нуля (способ моментов), если имеют место равные интервалы в вариационном ряду.

      В статистическом исследовании очень  часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам  совокупности, а также и между  группами. Следовательно, помимо общей  средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние  величины по отдельным группам.

Различают три вида дисперсий:

- общая;

- средняя внутригрупповая;

- межгрупповая.

     Квадрат среднего квадратического отклонения дает величину дисперсии. Общую дисперсию, характеризующую вариацию признака под влиянием всех факторов, можно получить на основе ее составляющих - межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

     Общая дисперсия рассчитывается по формуле

          (18)

     Межгрупповая  дисперсия отражает систематическую  вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают  под влиянием фактора, положенного  а основу группировки и рассчитывается по формуле:

          (19)

     где   - межгрупповая дисперсия;

       - средняя арифметическая в i-й группе;

       - простая средняя арифметическая;

       - частота i-й группы.

     Внутригрупповая дисперсия:

          (20)

     где   - внутригрупповая дисперсия;

       - индивидуальное значение единицы  совокупности из 1-й группы;

       - простая средняя арифметическая  i-й группы;

       - частота i-й группы.

     Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия  равна сумме средней из внутригрупповых  дисперсий и межгрупповой, т.е.

         (20)

     где   - общая дисперсия;

       - межгрупповая дисперсия;

       - средняя из внутригрупповых  дисперсия.

     Данное  соотношение отражает закон, который  называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

     Правило сложения дисперсий широко применяется  при исчислении показателей тесноты  связи, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки  и в ряде других случаев. 

1.2 Относительные   показатели вариации 

     Кроме показателей вариации, выраженных в  абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации, выраженные в относительных  величинах, особенно для целей сравнения  колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

     Данные  показатели рассчитываются как отношение  размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

     Коэффициент осцилляции показывает соотношение  размаха вариации и средней арифметической и рассчитывается по формуле:

         (15)

     где   - коэффициент осцилляции;

       - размах вариации;

       - простая средняя арифметическая.

     Относительное линейное отклонение показывает отношение  среднего линейного отклонения к  средней арифметической:

         (16)

     где   - относительное линейное отклонение;

       - среднее линейное отклонение;

       - простая средняя арифметическая.

     Коэффициент вариации, показывает соотношение среднего квадратического отклонения и средней арифметической:

         (17)

     где V - коэффициент вариации; 

       - среднее квадратическое отклонение; 

       - средняя арифметическая.

     Из  приведенных формул видно, что чем  больше коэффициент V приближен к  нулю, тем меньше вариация значений признака.

     В статистической практике наиболее часто  применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной  оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). 
 
 
 

2 Примеры расчётов показателей вариации 

2.1 Расчет числа групп по формуле Стерждесса и длины интервала 

 формуле  Стерждесса (1) определим число групп: k = 1 + 3,322lg30 = 1+ 3,322*1,477 = 5,907. Так как число групп не может быть дробным, то необходимо округлить до ближайшего целого числа полученное значение 5,907. Таким образом получим k = 6.

Рассчитаем  длину (размах) интервала(2): h = (88 – 48)/6 = 40/6 = 6,667 (кг).

      Теперь  построим интервальный ряд студентов  по весу с 6 группами с интервалом 6,667 кг.

интервальный ряд распределения студентов графически с помощью гистограммы

      Например: По имеющимся данным о дневной выработке рабочих двух бригад определить среднюю выработку рабочего за день в каждой бригаде, сделать вывод об однородности рассматриваемых совокупностей и надёжности их средних.

Выработка в первой бригаде: 31, 25, 30, 26, 28 деталей.

Выработка во второй бригаде: 27, 20, 56, 19, 18 деталей.

Решение:

      Исходные  данные не сгруппированы, поэтому для  расчёта средней выработки применяем  среднюю арифметическую простую. Средняя  дневная выработка рабочего:

в первой бригаде 

во второй бригаде   

      Среднедневная выработка рабочего в обеих бригадах одинакова, но  индивидуальные значения выработки во второй бригаде подвержены значительным колебаниям. Это вызывает необходимость измерять вариацию.

      В данном примере размах вариации индивидуальной выработки определяется:

в первой бригаде R₁ =31-25=6 деталей

во второй бригаде R₂ =56-18=38 деталей