Полные решетки

Содержание

 

Введение                                                                                 2          

                                

§ 1. Частично упорядоченные множества.                  3-7

 

§ 2. Трансфиниты                                                           8-16

 

§ 3. Полные решетки                                                    17-26       

    

Упражнения                                                                   27-30

 

Список  использованной литературы                              31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Понятие частично упорядоченного множества является одним из фундаментальных понятий современной математики и находит широкое применение как в самой математике, так и в ее приложениях. В частности, повсюду встречаются доказательства, использующие трансфинитную индукцию.

Здесь упоминаются основные понятия теории частично упорядоченных множеств, обсуждаются вопросы, связанные с условием минимальности, обосновывается метод трансфинитной индукции. Наконец, устанавливаются некоторые свойства полных структур (решеток) и доказывается теорема о вложении любого частично упорядоченного множества в полную структуру, обобщающая хорошо известную конструкцию пополнения множества рациональных чисел сечениями.

Появление понятия «решётка»  относится к середине XIX века. Чётко  его сформулировал Р. Дедекинд в  работах 1894 и 1897 годов. Термин «lattice», переведённый как «структура» был введён Биркгофом в 1933 году. В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен переводом «решётка». Исторически роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых решёток. Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах XX века. Наиболее важные классы решёток, кроме дедекиндовых, — это полные решётки, дистрибутивные решётки и булевы алгебры.

 

 

 

 

§ 1. Частично упорядоченные множества.

Следует напомнить, что отношением на непустом множестве Р называется подмножество ρ прямого произведения РхР. Вместо (а,b) ρ часто пишется aρb. Отношение ≤ на множестве Р называется порядком, если:

1) а≤а для всех a P  (рефлексивность);

2) если а≤b и b≤c, то а≤с (транзитивность);

    3)если а≤b и b≤a, то а=b (антисимметричность).   
Запись а < b означает, что а <  b и а ≠b.

Порядок ≤ называется тривиальным, если а≤b в том и только в том случае, когда а = b.

Множество Р называется частично упорядоченным, если оно непусто и на нем зафиксирован некоторый порядок. Множество с тривиальным порядком называется тривиальным частично упорядоченным множеством. Всякое подмножество частично упорядоченного множества, очевидно, является частично упорядоченным множеством относительно того же самого порядка. Отображение φ частично упорядоченного множества Р в частично упорядоченное множество Р' называется  изотонным [антиизотонным], если а≤b влечет φ(a)≤φ(b) [φ(a)≥φ(b)].

Частично упорядоченные  множества Р иР' называются изоморфными [антиизоморфными], если существует изоморфизм [антиизоморфизм] Р на Р', т. е. такое взаимно однозначное отображение φ множества Р на множество Р', что а≤b имеет место тогда и только тогда, когда φ(a)≤φ(b) [φ(a)≥φ(b)].

Заметим, любой частичный  порядок можно представить изображением объединения множества диаграмм соответствующих линейно упорядоченных  подмножеств. Полученная таким образом  диаграмма называется диаграммой Хассе.

Пример1. Пусть A = {1, 2, 3}. На множестве всех подмножеств множества A рассмотрим отношение "быть подмножеством". Диаграмма этого упорядоченного множества приведена на рисунке (а).

Пример2. Пусть X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Введем на этом множестве отношение "делится". Диаграмма этого упорядоченного множества приведена на рисунке  (б).

Пример3. На множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} рассмотрим отношение линейного порядка <. Его диаграмма изображена на рисунке (в).

 

Элементы а и b частично упорядоченного множества называются сравнимыми, если имеет место a≤b и b≤a. Два элемента тривиального частично упорядоченного множества, очевидно, сравнимы тогда и только тогда, когда они совпадают.

Если любые два элемента частично упорядоченного множества  сравнимы, то оно называется цепью (или линейно упорядоченным множеством).

Элемент v частично упорядоченного множества Р называется наибольшим, если х ≤ v для всех х Р. Если же и≤ х для всех х Р, то элемент и называется наименьшим. Наибольший элемент часто называют единицей, а наименьший — нулем. Конечно, частично упорядоченное множество может не содержать ни нуля, ни единицы. Таким, в частности, будет неодноэлементное тривиальное частично упорядоченное множество. Однако более одного наибольшего элемента частично упорядоченное множество содержать не может.В самом деле, если v и v' — наибольшие элементы частично упорядоченного множества Р,то v ≤v' и v' ≤v, а, следовательно, v = v' по свойству антисимметричности. Аналогично устанавливается единственность наименьшего элемента. Элемент ω частично упорядоченного множества Р называется максимальным, если из ω≤ х для некоторого х Р вытекает x = ω. Если из x≤m для некоторого х Р следует, что х = т, то т называется минимальным элементом. Легко проверяется, что всякий наибольший элемент является максимальным, а всякий наименьший элемент —минимальным. Обратное, вообще говоря, места не имеет.Так, например, в тривиальном частично упорядоченном множестве всякий элемент является как максимальным, так и минимальным. Заметим, что определение наименьшего элемента получается из определения наибольшего элемента простой заменой символа ≤  на  ≥. Точно таким же образом связаны понятия минимального и максимального элементов. Вообще, имея какое-либо высказывание о частично упорядоченном множестве и заменяя ≤  на  ≥, получаем новое высказывание. Высказывания, связанные таким образом, называются двойственными.

Если  A —непустое подмножество частично  упорядоченного множества Р,то верхним (нижним) конусом множества А называем множество всех таких элементов x Р, что  а≤х   [х≤а] для   всех а А.   Верхним  (нижним) конусом пустого множества будем считать само множество Р. Верхний  и нижний конусы множества А будем обозначать символами A^∆ и A ,соответственно. Наименьший  (наибольший)  элемент верхнего  (нижнего) конуса множества А (если он существует) называется  точной верхней (нижней) гранью множества А. В частности, точной верхней (нижней) гранью пустого множества является наименьший (наибольший) элемент частично упорядоченного   множества Р. Точную верхнюю(нижнюю)  грань множества А в  частично   упорядоченном   множестве  Р будем обозначать sup_p A [inf_p А]. Впрочем, индекс часто будет опускаться. Подчеркнем, что sup_pA и inf_pA (если они   существуют) —однозначно   определенные   элементы множества Р, ибо,  как было отмечено выше, A^∆ [A ] содержит не более  одного  наименьшего (наибольшего) элемента. Определение точной верхней грани множества A можно перефразировать так: и = supA в том и  только в том случае, если и≥а для всех а А и х≥и всякий раз, когда х≥а для всех  а А.   Аналогичную   перефразировку  допускает  и определение точной нижней грани.

Трансфинитная индукция  базируется на следующем факте:

Теорема 1. Следующие свойства частично упорядоченного множества Р эквивалентны:

(1)  (условие минимальности). Всякое непустое подмножество множества Р является частично упорядоченным множеством, содержащим минимальные элементы.

(2)   (условие индуктивности). Если все минимальные элементы множества Р обладают некоторым свойством и ' из того, что все элементы х из Р, удовлетворяющие условию х <а, обладают свойством , вытекает, что элемент а также обладает свойством , то свойством обладают все элементы множества Р.

(3)  (условие обрыва убывающих цепей). Для всякой цепи

а₁ ≥a₂ ≥ ... ≥а_k ≥ ...

элементов из Р найдется такой номер п, что

a_n = а_п+1 = а_п+2=...

Доказательство.

 (1) (2). Допустим, что выполнены посылки условия индуктивности, и рассмотрим множество М всех элементов из Р, не обладающих свойством . Если заключение условия (2) места не имеет, то М не пусто. Ввиду (1) в М имеется минимальный элемент а. По условию этот элемент не может быть минимальным элементом множества Р. Если х < а, то

x М, и, следовательно, х обладает свойством по условию. Противоречие.

(2) (3). Условимся считать, что элемент а Р обладает свойством , если всякая убывающая цепь, начинающаяся с элемента а, обрывается, т. е. удовлетворяет условию (3). Всякий минимальный элемент т Р обладает свойством , так как для соответствующей цепи обязательно

т = а₁=а_г= ...

Если а Р таков, что все х<а обладают свойством , то рассмотрим цепь

a ≥ a₁ ≥ a₂≥…

Если знаки равенства  стоят не всюду, то найдем такой номер i, что а = а₁= ... = a_i-1 и a_i-1 >a_i. Но тогда элемент a_i  обладает свойством , т.е. цепь

a_i ≥ a_i+1 ≥ … ,

а, значит, и цепь

a₁ ≥ … ≥ a_i ≥  a_i+1 ≥ …

обрывается. Таким образом, элемент a обладает свойством  . Ввиду (2) все элементы из Р обладают свойством  , а это и означает, что Р удовлетворяет условию (3).

(3) (1). Допустим, что непустое подмножество М множества Р является частично упорядоченным множеством без минимальных элементов. Выберем в качестве a₁ произвольный элемент из М и допустим, что построена цепь

a₁ > a₂ > _… > a_n

элементов из М. Так как а_п не минимален в М, то в М существует элемент а_п+1 < а_n.

Таким образом, возникает  бесконечная цепь а₁ > a₂ > … > a_n >… , не удовлетворяющая условию (3).

Цепь, удовлетворяющая условию минимальности (а значит, и остальным условиям теоремы 1), называется вполне упорядоченным множеством.

 

 

 

§ 2. Трансфиниты.

Элементы вполне упорядоченного множества носят название трансфинитов или трансфинитных чисел. Вполне упорядоченным множеством является всякая конечная цепь. Естественным образом упорядоченное множество натуральных чисел также вполне упорядочено. Множество всех целых чисел не является вполне упорядоченным относительно естественного порядка, так как оно не имеет наименьшего элемента. Однако оно становится вполне упорядоченным, если установить порядок следующим образом:

1 < 2 < 3 <... < 0 < —1 < —2 < —3 <...

Другим примером не вполне упорядоченной цепи служит отрезок  действительных чисел [0, 1].

Из определения вполне упорядоченного множества вытекает, что оно всегда содержит наименьший элемент 0. Последующие элементы естественно  обозначать через 1, 2, ... и т. д. Если α —некоторый трансфинит, то нижний конус α , из которого удален элемент α, называется начальным отрезком и обозначается через [0, α). Символ [0, 0) понимается как пустое множество. Если α≠0 и начальный отрезок [0, α) не содержит наибольшего элемента, то трансфинит а называется предельным. Примером предельного трансфинита может служить число 0 в рассмотренном выше вполне упорядоченном множестве целых чисел. Для всякого трансфинита α среди трансфинитов верхнего конуса α^∆, отличных от α, существует наименьший, который будем обозначать через α + 1.

 

Предложение 2. Если α —предельный трансфинит, то

[0, α)= U [0, β)

  β<α

Доказательство. Если γ [0, α), то, поскольку между γ и γ + 1 элементов нет, γ +1 ≤ α. Однако равенство, в силу предельности α, невозможно. Таким образом,

γ

[0,γ+1)   U [0, β) , т.е. [0,α) U [0, β)

                                           β<α                                               β<α                                                                                  

 

Обратное включение очевидно.

Предложение 3. Если Q —вполне упорядоченное множество и = Q, то или

U [0, ξ)= Q , или U [0, ξ)= [0, α] , для некоторого α

Q

              ξ                       ξ

 

Доказательство.   Положим  Q' = U [0, ξ)= Q

                                                         ξ     

Если Q' ≠ Q, то множество Q\ Q' не пусто и, следовательно, содержит наименьший элемент α. Если α≤γ, где γ Q' , то γ [0,ξ), для некоторого ξ .

Следовательно, α ≤ γ < ξ , откуда, α Q' вопреки выбору элемента α. Таким образом,Q' [0, α). Если же β<α, то β Q', в силу выбора элемента α, т. е. [0, α) Q' .

Примем в качестве аксиомы  следующее  утверждение:

Аксиома о полном упорядочении. На всяком непустом множестве можно задать порядок, превращающий его во вполне упорядоченное множество.

Теорема 2 (лемма  Куратовского — Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества Р не пуст, то Р содержит максимальные элементы.

Доказательство. В соответствии с общим определением назовем цепь С частично упорядоченного множества Р максимальной, если для всякого элемента х из Р, не принадлежащего C, подмножество С U {x} уже не является цепью. Пусть ≤ — порядок на Р.

Лемма (теорема Хаусдорфа). Всякая цепь любого частично упорядоченного множества может быть вложена в максимальную цепь.

Для доказательства рассмотрим цепь С в частично упорядоченном множестве Р. Если С = Р, то все доказано.

В противном случае рассмотрим множество L = P\C и, воспользовавшись аксиомой о полном упорядочении, зададим на нем порядок , превращающий его во вполне упорядоченное множество. Будем говорить, что трансфинит   α L   обладает   свойством  ,  если   существует цепь С_α, обладающая следующими свойствами:

а) С С_α ;

б) (γ  С_α) (γ α и γ сравним со всеми элементами из CU(C_α∩[0, γ)) в смысле порядка ≤ ). Для наименьшего трансфинита 0 L положим

Ясно, что 0 автоматически  обладает свойством . Допустим, что все трансфиниты, меньшие α, обладают свойством . Если γ β α, то, ввиду б), C_γ C_β. Поэтому множество = U C_β является цепью. Положим β α

Этим, как легко видеть, показано, что трансфинит α обладает свойством Так как, в силу теоремы 1, множество L удовлетворяет условию индуктивности, то свойством обладают все трансфиниты из L. Другими словами, цепи С_α существуют для всех α L. Положим

Q= U С_α.

Ясно, что Q —цепь. Если она не максимальная, то для некоторого ξ L\Q множество QU{ξ} также является цепью. Однако ξ С, и, следовательно, ξ является некоторым трансфинитом из L, причем ξ C_ξ. Из условия б) вытекает, что ξ не сравним с некоторым элементом из Q. Это, однако, противоречит тому, что QU{ξ} —цепь.

Пусть теперь частично упорядоченное  множество Р удовлетворяет посылкам теоремы2. Одноэлементное множество {а}, где а Р, является цепью, которую, в силу леммы, можно вложить в максимальную цепь С. По условию, существует элемент с С^∆. Если с не является максимальным элементом частично упорядоченного множества Р, то с<x для некоторого х Р. Конечно, х С^∆\С, и, следовательно, С U{x} — цепь, что противоречит максимальности цепи С.

 

Теорема 3 (аксиома  выбора). Для всякого непустого множества  существует такое отображение φ множества всех подмножеств множества в множество , что φ(A) A для всех непустых А .

 

Доказательство. Если — некоторое непустое множество, то по аксиоме о полном упорядочении его можно считать вполне упорядоченным. Нетрудно заметить, что отображение φ, ставящее в соответствие каждому непустому подмножеству А его первый элемент удовлетворяет требованиям теоремы.

Теорема 4. Всякая цепь содержит конфиналъное вполпе упорядоченное подмножество.

Доказательство. Пусть — множество всех вполне упорядоченных подмножеств данной цепи С. Оно не пусто, так как содержит все одноэлементные подмножества. Если А, В , то положим

Легко проверяется, что отношение    является порядком. Если

 - цепь  из  ,  то  рассмотрим   объединение   A= A_α .

 Для всякой цепи

a₁ ≥ a₂ ≥ …

элементов из А, имеем, a_i A_α Для такого индекса α, что a₁ A_α. В силу теоремы 1 эта цепь обрывается, и вторичное применение теоремы1 даёт, что А  . Ясно,что A_α A,для всех α. Если , то  , где , т.е. .

 Так что, . Таким образом, . Поэтому из леммы Куратовского — Цорна вытекает существование максимального элемента . Убедимся, что С является искомым конфинальным подмножеством. Действительно, если x C , поставив элемент х вслед за всеми элементами множества ,  получим вполне упорядоченное множество . При этом , что противоречит максимальности элемента . Следовательно, , а значит, , для некоторого .

Прямым  произведением множеств называется множество всех функций а, ставящих в соответствие каждому множеству элемент . .

Существование таких функций  вытекает из применения аксиомы выбора к объединению   .

Таким образом, справедлива

Теорема 5. Прямое произведение любой системы непустых множеств не пусто.

Рассмотрим теперь прямое произведение семейства частично упорядоченных множеств. Множество L также будем считать частично упорядоченным. Элементы множества будем изображать в виде строк (a_α). Зададим на отношение , положив

Теорема 6. Если частично упорядоченное множество L удовлетворяет условию минимальности, то отношение на , задаваемое условием

a

b = (a=b или a b)

                                                                           def

является порядком.

Доказательство. Рефлексивность отношения очевидна. Непосредственно из соответствующих определений вытекает

Лемма. Если (a_ξ) (b_ξ) и µ — минимальный элемент множества L, то aµ bµ.

Если, далее, (a_α) (b_α) и (b_α) (a_α),то ввиду леммы имеем (a_α)=(b_α) , для  всякого   минимального   элемента множества  L. Допустим, что равенство а_β=b_β справедливо для всех β < α. Если , то справедливо или .   Учитывая неравенства (a_ξ) (b_ξ) ,(b_ξ) (a_ξ) приходим к неравенствам или наоборот для некоторого β < α. Противоречие. Следовательно, а_α = b_α , откуда ввиду теоремы 1 следует, что a_ξ =b_ξ , для всех ξ L. Таким образом, oтношение оказывается антисимметричным.

Допустим, наконец, что (a_ξ) (b_ξ) и(b_ξ) (c_ξ). Если имеем a_ξ =b_ξ  или(b_ξ)=(c_ξ), то сразу ясно, что (a_ξ) (c_ξ). Если же и , но , то найдется такой индекс α L, что и , для всех β<α. Положим α₁ = α  и допустим, что выбраны индексы

α₁ > α₂>…> α_n

так, что для каждого α_i (i=1,..., п) имеет место или . Если, например, , то для некоторого должно быть . В силу выбора α, имеем , что позволяет положить - .

Таким образом,   возникает  бесконечная  последовательность

α₁ > α₂>…

элементов из L, что противоречит теореме 1. Тем самым доказано, что , т. е. установлена транзитивность отношения .    

Прямое произведение снабженное порядком, описанным в теореме 6, называется упорядоченным произведением частично упорядоченных множеств . Упорядоченное произведение в случае, когда L — вполне упорядоченное   множество,   называется  лексикографическим.

Теорема 7 (теорема  о сравнении). Для двух вполне упорядоченных множеств Р и P’ существует одна и только одна из следующих возможностей:

(I) Р изоморфно P’;

(2) Р  изоморфно начальному отрезку множества Р',

(3) Р’ изоморфно   начальному отрезку множества Р.

Доказательство. Рассмотрим вполне упорядоченное множество , полученное добавлением к Р некоторого нового элемента , стоящего после всех элементов из Р. Аналогичным добавлением элемента к множеству P’ получим вполне упорядоченное множество . Ясно, что    Р = [0, ) и Р’ = [0, ').

Лемма 1. Если θ — изоморфизм вполне упорядоченного множества в себя, то , для всех x .

Действительно, положим  .Если лемма неверна, то множество S не пусто. Если а — наименьший элемент множества S, то и, следовательно, . Отсюда

т.е. , что ввиду  противоречит взаимной однозначности отображения θ.

Лемма 2. Вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему начальному отрезку.

В самом деле, если θ - изоморфизм вполне упорядоченного множества на его начальный отрезок [0, а), то   вопреки лемме 1.

Лемма 3. Пусть - вполне упорядоченное множество, - изоморфизм вполне упорядоченного множества на его начальный отрезок [0,b’) вполне упорядоченного множества .

Если ψ —изоморфизм начального отрезка [0, а) на начальный отрезок [0, а') множества , то и ψ(x)=φ(x) для всех x [0,a).

В самом деле, если  , то последовательное применение отображений и φ осуществляет   изоморфизм вполне упорядоченного множества [0, а') на свой начальный отрезок, что невозможно, в силу леммы  2.

Если же для   некоторого x < a, то обозначим через b - наименьший элемент с этим свойством. Тогда , где b < c. Последовательное применение отображений φ и  приводит к изоморфизму отрезка [0, с) на отрезок [0, b), что противоречит лемме 2.

Приступая к доказательству теоремы, рассмотрим множество S всех таких трансфинитов  множества , чтo отрезок [0, ) не допускает изоморфизма ни на какой начальный отрезок множества . Если , то имеет место случай (1) или (2). Если это не так, то множеств S содержит наименьший элемент α. Ясно, что α≠0. Если (α — 1) существует, то существует изоморфизм φ отрезка [0, α — 1) на отрезок [0,β’) множества . Если , то имеет место случай (3). Если это не так, то существует трансфинит β’+ 1. Поэтому, положив

получим изоморфизм отрезка [0, α) на отрезок [0,β’ + 1), что противоречит выбору α.  Обратимся теперь к случаю, когда α — предельный трансфинит. Тогда, согласно теореме 2, (*)

По выбору α, для каждого  β существует изоморфизм отрезка [0,β) на [0,β’) множества . Если какое-либо β’ равно то имеет место случай (3). Если это не гак, то существует элемент а' наименьший среди превосходящих все β’.

Если  , то согласно (*),  , для некоторого .

Положим, . Если , то имеем, например .

Из леммы 3 вытекает, что и что . Следовательно, φ является однозначным отображением отрезка [0, а) на отрезок [0, а').

Без труда проверяется, что  φ  — взаимно однозначное и изотонное отображение. Если  , то . Для некоторого и, следовательно, для некоторого имеем:

Таким образом, φ оказывается  изоморфизмом отрезка |0, α) на отрезок [0, α'), что противоречит выбору α. Этим доказано, что по крайней мере один из случаев (1)—(3) имеет место. Из леммы 2 легко вывести, что случай (1) не совместим ни со случаем (2), ни со случаем (3). Если же одновременно имеют место случаи (2) и (3), то последовательное выполнение указанных там изоморфизмов позволяет  получить изоморфизм множества Р на его начальный отрезок, что  опять противоречит лемме 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 3. Полные структуры.

Частично упорядоченное множество называется полной структурой (полной решеткой), если всякое его непустое подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грань. Полными структурами являются отрезок |0,1] с обычным порядком, множество всех подмножеств некоторого множества, упорядоченное по включению, цепкая конечная цепь. Ясно, что любая полная структура должна иметь нуль и единицу. Поэтому, например, множество всех целых чисел с обычной упорядоченностью полной структурой не является.

 

Теорема 1. Если частично упорядоченное множество Р имеет единицу и всякое его непустое подмножество имеет точную нижнюю грань, то Р — полная структура.

Доказательство. Пусть А — непустое подмножество множества Р. Множество А^∆ содержит единицу. Поэтому, в силу условия, существует inf А^∆. Применяя теорему 1.7, убеждаемся в существовании sup А^∆, что и требовалось доказать.

Из теоремы 1 вытекает, что  полными структурами является множество  всех подгрупп данной группы, множество  всех замкнутых подмножеств топологического  пространства, всякое вполне упорядоченное  множество с наибольшим элементом  и др.

 

Предложение 1. Если всякое подмножество частично упорядоченного множества, Р имеет точную нижнюю грань, то Р—полная структура.

Доказательство. Пусть А—подмножество в Р. Если , то, по определению, , где существует по условию. Допустим, что . По условию, существует . Если , то Вспоминая, что а —наибольший элемент множества получаем, что х≤ а для всех , т. е. .Если , то, очевидно, а≤.х. Следовательно,а- наименьший элемент множества , т. е. а = sup A.

Из предложения 1 вытекает, что полными структурами являются множество всех подгрупп данной группы, множество всех замкнутых подмножеств топологического пространства, всякое вполне упорядоченное множество с наибольшим элементом и др.

Теорема 2 (теорема  о неподвижной точке). Если φ – изотонное отображение полной структуры Р в себя,то φ(а) = а для некоторого        а Р.

Доказательство. Пусть S — множество всех таких элементов s из Р, что s ≤ φ(s). Ясно, что нуль, существующий в силу полноты структуры Р, принадлежит  S, т. е. S не пусто. Следовательно, существует а = supS. При этом для всякого s S имеем , откуда φ(a)≥a. Поэтому , что влечет φ(a) S. И значит,  а ≥φ(а).  Таким образом , т. е.  φ(а) = а.                                                           

Теорема 2 не допускает обращения: трехэлементное частично упорядоченное  множество, изображенное на рис. 2, не является полной структурой, хотя все его  изотонные отображения в себя, очевидно, имеют неподвижную точку. Тем не менее имеет место

Теорема   3 (Когаловский).   Если каждое   изотонное отображение частично упорядоченного множества Р в себя имеет неподвижную   точку, то всякая максимальная цепь из Р является полной структурой.

Доказательство. Пусть частично упорядоченное множество Р удовлетворяет условию теоремы. Тогда справедлива

Лемма. Если   С — цепь   из P, то и не пусты.

Действительно, цепь С содержит конфинальное вполне   упорядоченное  подмножество   W. Пусть x P. Если , то для всякого всякого   с С   и  подходящего w W имеем : .

Т. е. х . В противном случае для каждого х Р множество оказывается непустым.Обозначим через φ(x) -  наименьший элемент этого множества.Если x, y P и , то , поэтому

и, следовательно, . Значит, φ — изотонное отображение. Так как , а для всех х Р, то φ, вопреки условию, не имеет неподвижной точки. Справедливость второго утверждения устанавливается рассмотрением частично упорядоченного множества, дуально изоморфного множеству Р.

Переходя к доказательству теоремы, рассмотрим максимальную цепь С. В силу леммы она содержит наибольший и наименьший элементы, ибо из максимальности легко вывести, что . Если С не является полной структурой, то, согласно теореме 1, она содержит такое пустое подмножество V, что inf_c V не существует. Пусть U = . Ясно, что наименьший элемент цепи С принадлежит U, т. е. цепь U не пуста. Через V* обозначим цепь, двойственную цепи V. Элемент v V, рассматриваемый как элемент цепи V*, будем обозначать через v*. Аналогичный смысл придадим символу x** для элемента v* V*. Согласно теореме, цепи U и F* содержат конфинальные вполне упорядоченные подмножества S и T*, соответственно.

Предложение 2. Если — изоморфизм частично, упорядоченных множеств, являющихся полными структурами, то для любого имеет место

Доказательство. Пусть a = sup_LA и а'= = sup_L φ(A).Тогда а≥х для всех х А. Поэтому φ(a)≥φ(x) для всех х А, откуда а'≤φ(а). С другой стороны,φ^-1(а')≥х для всех х А. Отсюда φ^-1(а')≥а, а значит, а'≥φ(а). Таким образом, a' = φ(а). Второе утверждение доказывается двойственным рассуждением.

 

Изотонное отображение φ  частично упорядоченного множества Р в себя называется оператором замыкания, если и для всех х Р. Примеры операторов замыкания весьма многочисленны. Так, в полной структуре подпространств топологического пространства оператором замыкания будет отображение, ставящее в соответствие каждому подпространству его замыкание. Если каждому элементу полной структуры , где L — линейное пространство над полем, будем ставить в соответствие его линейную оболочку, то также получим оператор замыкания. В частично упорядоченном множестве Р с единицей 1 оператором замыкания оказывается отображение φ (х) = 1 для всех х Р.