Понятие метода иерархий при анализе альтернативных вариантов

Понятие метода иерархий при анализе альтернативных вариантов ГОТОВО

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..3

1. Метод анализа иерархий (МАИ): принципы и теоретический аспект………...5

2. Методика применения МАИ……………………………………………………..6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………..17

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………...19

ВВЕДЕНИЕ

Метод Анализа Иерархий (МАИ) – математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений.

МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан Р.Беллманом, Б.Н. Бруком и В.Н.Бурковым, но получил широкую известность по работам Т.Саати, который и назвал процедуру методом анализа иерархий[1].

Публикации Саати более полно раскрыли возможности процедуры, и с тех пор МАИ активно развивается и широко используется на практике. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения.

Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании.

Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки.

Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

1. Метод анализа иерархий (МАИ): принципы и теоретический аспект

Метод Анализа Иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод получил известность и внедрён в жизнь американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP. МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения[2].

Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании.

Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение.

Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки[3]. Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне.

Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ.

На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

2. Методика применения МАИ

Метод анализа иерархий (МАИ) содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Он предполагает декомпозицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками по шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам[4].

Можно выделить ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на самом нижнем уровне иерархии, а также методом сравнения альтернатив.

По характеру связей между критериями и альтернативами определяется два типа иерархий. К первому типу относятся такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с одинаковым числом и функциональным составом альтернатив под критериями). Ко второму типу иерархий принадлежат такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с различными числом и функциональным составом альтернатив под критериями).

Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень. На рис.1 приведен общий вид иерархии, где Eij - элементы иерархии, Аi - альтернативы[5].

Рис.1 Общий вид иерархий

Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс - их порядковый номер. Существует несколько альтернативных способов графического отображения иерархии. На рис.2 приведены три варианта отображения одной иерархии

Рис.2. Варианты отображения иерархий:

а) - декомпозиция; б) - синтез; в) - упорядочение

Первый вариант - конкретизация (декомпозиция) заданного множества элементов (в частности, критериев). Второй вариант противоположен первому и предполагает синтез более общих элементов из заданных частных. Третий вариант - упорядочение предварительно заданного множества элементов на основе их попарного сравнения.

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (табл.1). Данная шкала позволяет лицу, принимающему решение (ЛПР) ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Таблица 1

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами[6]. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или если этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 - объекты равнозначны; 2 - предпочтение одного объекта над другим.

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяются элементы двух типов: элементы-"родители" и элементы-"потомки". Элементы-"потомки" воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-"родителями". Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-"потомков", относящихся к соответствующему элементу-"родителю". Элементами-"родителями" могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы (табл.1).

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Е1 доминирует над элементом Е2, то клетка матрицы, соответствующая строке Е1 и столбцу Е2, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е2 и столбцу Е1, заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е2 доминирует над Е1, то целое число ставиться в клетку, соответствующую строке Е2 и столбцу Е1, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е1 и столбцу Е2. Если элементы Е1 и Е2 равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений (здесь n - порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е1, Е2, ..., Еn - множество из n элементов (альтернатив) и v1, v2, …, vn - соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-"родителю"). В этом случае матрица парных сравнений [E] имеет вид[7]:

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т.е.

aij = 1/aji, где aij = vi/vj.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [E], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [E] проводится на основании равенства

где - максимальное собственное значение матрицы [E].

Для положительной квадратной матрицы [E] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению , с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле:

где e = {1,1,1,…,1}T - единичный вектор;

k = 1, 2, 3, … - показатель степени;

С - константа;

Т - знак транспонирования.

Вычисления собственного вектора W по выражению (1) производятся до достижения заданной точности:

где l - номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2; l = 3, k = 3 и т. д.;

- допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

= eT [E] W.

В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина aij ни была бы взята для сравнения i-го элемента с j-м, aji приписывается значение обратной величины, т.е. aji = 1/aij. Отсюда следует, что если один элемент в "a" раз предпочтительнее другого, то последний только в "1/а" раз предпочтительнее первого.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений[8]. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения от порядка матрицы n.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (ОО) в соответствии со следующими выражениями:

ИО = ( - n)/(n - 1);

OO = ИО/М(ИО),

где М(ИО) - среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл.2).

Таблица 2

Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

В качестве допустимого используется значение ОО 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности ОО > 0,10 то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

Иерархический синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рассматривается алгоритм иерархического синтеза.

Шаг 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив WA(Bij) относительно элементов Eij предпоследнего уровня иерархии (i=S). Здесь через Eij обозначены элементы иерархии, причем верхний i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j - порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив WAS относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе отношений (2) и (3) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

WAS = {WAES1, WAES2,..., WAESp}

Шаг 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Eij. Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (рис 1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

В матрицах через vj обозначен вес, или интенсивность, Еj-го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов:

WE = {WE(Eij)}

Полученные значения векторов WE(Eij) используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eij, находящихся на всех иерархических уровнях, кроме последнего, содержащего элементы ESj. Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

WAEij = [WAE1i-1, WAE2i-1,..., WAEni-1] WEEji-1

где WAEij - вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E1i-1, определяющий j-й столбец матрицы;

WEEij - вектор приоритетов элементов E1i-1, E2i-1, …, Eni-1, связанных с элементом Eij вышележащего уровня иерархии.

Ниже рассмотрен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (Е3j), второго (Е2j) и первого (Е1j) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии (рис. 1).

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:

WAE21 = [WAE31 WAE32] WEE21;

WAE22 = [WAE32 WAE33 ... WAE3n] WEE22;

WAE2m = [WAE32 WAE33 ... WAE3n] WEE2m.

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии E11 вычисляется следующим образом:

WAE11 = [WAE21 WAE22 ... WAE2m] WEE11

После решения задачи иерархического синтеза оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению однородности определяется конкретной иерархией.

Рассмотрим принципы вычисления индекса ИОи и отношения ООи однородности иерархии[9]. Пусть задана иерархия критериев и альтернатив (рис. 3) и для каждого уровня определен индекс однородности и векторы приоритетов критериев следующим образом:

ИО1 - индекс однородности 1-го уровня;

{ИО2, ИО3} - индексы однородности для 2-го уровня;

{ИО4, ИО5, ИО6} - индексы однородности для 3-го уровня;