Понятие многогранника и его элементы
РАБОТА
Содержание
Введение______________________ |
3 |
1 Понятие многогранника и его элементы _______________________ |
5 |
1.1 История многогранников________ 1.2. Понятие многогранника ______________________________ 1.3 Теорема Эйлера ______________________________ |
5 5 7 |
2 Виды многогранников___________ |
10 |
2.1. Призма________________________ |
10 |
2.1.1. Площади боковой и полной поверхности призмы______________ |
11 |
2.2 Пирамида______________________ 2.2.1 Площади боковой и полной поверхности пирамиды___________ 2.3 Параллелепипед________________ 2.3.1 Площади боковой и
полной поверхности 2.4 Правильные многогранники______ 2.5 Полуправильные многогранники__ |
11 12 13 16 17 21 |
2.6 Звездчатые многогранники______ 2.7 Невозможные фигуры____________ 3 Многогранники вокруг нас___________________________ |
23 25 27 |
3.1 Чудо природы – кристаллы
______________________________ 3.2 Многогранники в природе_______ 3.3 Использование многогранников в искусстве _____________________ |
27 27 28 |
3.4 Применение многогранников в архитектуре___________________ |
30 |
3.4.1 Математическая характеристика египетских пирамид__________ |
33 |
4 Практическая часть |
36 |
4.1. Развертка тетраэдра, куба
______________________________ |
36 |
4.2. Развертка октаэдра, додекаэдра,
икосаэдра_____________________ |
37 |
4.3. Простые и непростые вопросы_______________________ 4.4 Ответы на простые и непростые вопросы______________________ Заключение ______________________________ |
38 40 43 |
Список литературы____________________ |
44 |
Приложение 1_____________________________ |
45 |
Приложение 2_____________________________ Приложение 3_____________________________ |
46 47 |
Введение
Если самые замечательные открытия
древних математиков охватываются
теперь элементарной математикой...
то это потому, что открытия сведены
к фактам.
Клод Адриан Гельвеций (1715—1771) —
французский литератор и философ-материалист
утилитарного направления; идеолог французской
буржуазии эпохи Просвещения.
В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Таким образом, устроен окружающий нас мир, что ни один человек в своей жизни не обойдется без пространственного представления предметов.
Раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве, называется стереометрия (от греч. «стереос» — обьѐмный, «метрео» — измеряю). Говоря о стереометрии, невозможно не затронуть такой невероятно красивый материал, как "Правильные многогранники". Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.
Многогранники имеют не только значение при геометрических исследованиях по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах.
В прошлом году я написал научно – исследовательскую работу по теме «Оригами и математика». Когда я писал эту работу, я заметил, что модули, с которыми я работал, напоминают объемные геометрические фигуры. В этом году я стал изучать геометрию, интерес к фигурам из оригами постепенно перерос к объемным геометрическим телам. Мне захотелось больше узнать о многогранниках, научиться изготавливать их различные модели и выявить их роль в окружающем мире.
Актуальность исследования состоит в том, что многие мои
сверстники испытывают затруднения при
изучении предмета геометрии. Они
не могут представить некоторые простейшие
геометрические построения. Но
как можно не замечать того что, многие
здания похожи
Гипотеза: если правильные многогранники – самые выгодные фигуры, то природа этим широко пользуется.
Цель исследования: познакомиться с многогранниками, их применением в окружающем мире, получить представление о возможных видах правильных многогранников, с точки зрения геометрии, сделать модели многогранников.
Задачи исследования:
- изучить необходимую литературу по данной теме;
- обобщить, систематизировать, классифицировать изученный материал;
- доказать, что многогранники встречаются в жизни;
- сделать модели многогранников.
Объект исследования: многогранники.
Предмет исследования: стереометрия.
Методы исследования:
- поиск информации из разных источников (специальная литература, ресурсы интернета);
- беседа с преподавателем;
- наблюдение;
- практическая работа.
- Понятие многогранника и его элементы
- История многогранников
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.
Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:
– Вселенная – додекаэдр
– Земля – куб
– Огонь – тетраэдр
– Вода – икосаэдр
– Воздух – октаэдр.
Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона).
1.2. Понятие многогранника
«ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ, В ЧАСТНОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ, - ОДНА ИЗ САМЫХ УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ГЛАВ ГЕОМЕТРИИ», - такова мнение Л.А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики.
Понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники выделяются своими интересными свойствами, красивыми формами. Теория многогранников имеет богатую и древнюю историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония. В то же время это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены советскими математиками Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании.
Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.
Понятие выпуклости – одно из важнейших понятий математики. Оно появилось относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. немецкими учеными Г. Брунном, Г. Минковским и развиты в XX столетии советскими учеными Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым.
Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Рис 1.1. Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников
Многогранники обладают следующими свойствами:
1. Каждая грань выпуклого
многогранника является
2. Плоскость, проходящая
через внутреннюю точку
3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани.
4. Выпуклый многогранник
является выпуклой оболочкой
всех своих вершин, то есть
наименьшим выпуклым
Докажем одно из них.
Доказательство: Пусть F - какая-нибудь грань многогранника М; А, В – точки, принадлежащие грани F (рис.1.2). Из условия выпуклости многогранника М следует, что отрезок АВ целиком содержится в плоскости многоугольника F , он будет целиком содержатся и в этом многоугольнике, то есть F – выпуклый многоугольник.
Рис. 1.2.
- Теорема Эйлера
Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера. Прежде чем сформулировать эту теорему, исследуем известные нам многогранники.
Название многогранника |
В |
Р |
Г |
Треугольная пирамида |
4 |
6 |
4 |
Четырехугольная пирамида |
5 |
8 |
5 |
Треугольная пирамида |
6 |
9 |
5 |
Четырехугольная призма |
8 |
12 |
6 |
В – число вершин
Р - число ребер
Г – число граней
Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В-Р+Г=2. Оказывается, что равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.
Теорема Эйлера
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2.
Доказательство: Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на более мелкие многоугольники.
Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать и даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер, граней и при этом не изменится.
Докажем, что для получения разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенства
В-Р+Г´=1 (*)
Где В – общее число вершин, Р – общее число ребер и Г´ - число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г´= Г-1, где Г – число граней данного многогранника.
Докажем, что равенства (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 1.3а).
Рис.1.3.
Действительно, после проведения диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребро и количество многоугольников увеличивается на единицу. Следовательно, имеем В - (Р+1) + (Г´+1) = В-Р+ Г´. Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие многоугольники на треугольники (рис.3 б), и для полученного разбиения покажем выполнимость равенства (*). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:
а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае – АВ и ВС;
б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае – MN.
В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г´ - многоугольника
(В-1) - (Р-2) + (Г´-1)= В-Р+ Г´
Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В=3, Р=3, Г´=1 и , следовательно В-Р+ Г´=1. Значит, равенство (*) имеет место для исходного разбиения откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство(*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство:
В-Р+ Г=2
Для любого многогранника верны неравенства:
Другие факты:
- Всякий многогранник имеет хотя бы одну вершину, из которой исходит не более 5 ребер, а также грань, в которой не более 5 ребер.
- В любом многограннике есть хотя бы одна треугольная грань или хотя бы один трехгранный угол.
- Не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер. Число 6 и любое целое число n 8 могут быть количеством ребер выпуклого многогранника.
- Для всякого выпуклого многогранника имеют место неравенства:
- У любого многогранника есть по крайней мере две грани с одинаковым количеством сторон.
- Во всяком выпуклом многограннике сумма плоских углов всех граней вдвое больше суммы углов выпуклого многоугольника, имеющего то же число вершин.
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по одной внутренней точке и соединить ребрами те из выбранных точек, которые лежат на смежных гранях, то получится новый многогранник, называемый сопряженным с данным. Количества вершин, ребер и граней данного и сопряженного многогранников связаны соотношениями В*=Г, Г*=В, Р*=Р.
2. Виды многогранников
2.1 Призма
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.
Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn (рис. 2.1)называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Отрезки А1В1 и А2В2 называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призма с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn обозначают А1А2… Аn В1В2…Вn и называют n – угольной призмой. На рисунке изображены треугольная и шестиугольная призмы, т.е. параллелепипед.
Перпендикуляр, проведенный из какой–нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Рис. 2.1. Призма
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма.
Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь Sполн. полной поверхности выражается через площадь Sбок боковой поверхности и Sосн основания призмы формулой:
Sполн. =Sбок +2Sосн.
Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, Sбок= Ph.
Доказательство:
Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h, вынося множитель h за скобки, мы получаем в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр P. Итак, Sбок= Ph.
Теорема доказана.
2.2 Пирамида
Многогранник, составленный из n - угольника А1А2…Аn и n треугольников, называется пирамидой (рис. 2.2). Многоугольник А1А2…Аn называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1, РА2,…РАn – ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn - и называют n – угольной пирамидой. На рисунке показаны четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида – это тетраэдр.
Рис. 2.2. Пирамида
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды.
Свойства поперечных сечений пирамиды:
- Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:
- боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;
- в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;
- площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их расстояний от вершины пирамиды: S1:S2=X12:X22
- Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.
2.2.1 Площади боковой и полной поверхности призмы
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней. Тогда, Sполн. = Sбок + Sосн.
Многоугольник, гранями которого является n – угольники А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n четырехугольников А1А2В1В2, А2А3В3В2 ..., называется усеченной пирамидой (рис. 2.3).
Рис. 2.3.
Основаниями усеченной пирамиды называются параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 (ABCD – нижнее основание, а A1B1C1D1 – верхнее основание).
Высота усеченной пирамиды – отрезок прямой,
перпендикулярный основаниям и заключенный
между их плоскостями.
Усеченная пирамида правильная, если ее основания – правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.
Апофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:
2.3 Параллелепипед
Рис. 2.4.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы (рис.2.4). Параллелепипед, боковые ребра которого
перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым. В противном случае – параллелепипед называется наклонным.
Кубом называют прямоугольный параллелепипед, все двенадцать ребер которого равны. Все шесть граней куба – равные квадраты.
На рисунке (а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке (б) - прямой параллелепипед. Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным. Все его грани – прямоугольники, и длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда.
Некоторые свойства параллелепипеда:
- У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.
Рис. 2.5. Параллелепипед.
Доказательство
Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А'2А'1 и A3A4A'4A'3 (рис. 2.5). Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой А4А3, а прямая А1А'1 параллельна прямой А4А4'. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.
Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что отрезки А1А4, А1'А4', A'2A'3 и A2A3 - параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А1А2А'2А'1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра А1А4 с гранью А3А4А'4А'3. Значит, эти грани равны. Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.
- Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Доказательство
Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А1А'3 и A4A'2 (рис. 2.6). Так как четырехугольники А1А2А3А4 и A2A'2A'3A3 - параллелограммы с общей стороной A2A3, то их стороны А1А4 и A'2A'3 параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым A1A'2 и A4A'3. Следовательно, четырехугольник A4A1A'2A'3 - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда A1A'3 и A4A'2 являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали A1A'3 и A2A'4, а также диагонали A1A'3 и A3A'1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Теорема доказана.
Рис.2.6.
Рис. 2.7.
- Сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер (рис. 2.7), то есть: d12 + d22 + d32 + d42 = 4b2 + 4c2
- Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d2 = a2 + b2 + c2
Доказательство
Так как AA1 перпендикулярно к основанию ABCD, то угол AA1C прямой (рис.2.8). Из прямоугольного треугольника AA1C по теореме Пифагора получаем:
Рис. 2.8.
A1C2 = AC2 + AA12
но AC – это диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC2=AB2+AD2 . Кроме того, AA1=CC1, следовательно,
A1C2=AB2+AD2+CC12.
Теорема доказана.
Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:
d12 = a2 + b2 + c2 + 2abcos ά
d22=a2+b2+c2-2abcosά
- В параллелепипед можно вписать тетраэдр.
Объем такого тетраэдра равен 1/3 части объема параллелепипеда.
V = 1/6 d1d2 p(d1,d2) sin (d1,d2)
2.3.1 Площади боковой и
полной поверхности
Площадь боковой поверхности (или просто боковая поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма площадей всех ее боковых граней. Площадью полной поверхности (или просто полная поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма ее боковой поверхности и площадей оснований
