Понятие модели и их разновидности

Введение

Курсовой проект  реализован студентом группы ПВТ 9-09 Жомартом Ернуром Канатовичом. Руководитель курсового проекта:  Абеуова Меруерт Зарухановна. Целью курсового проекта является моделирование работы транспортного цеха.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится  к сфере управления различными производствами и системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Определим через слово "объект" все то, на что направлена человеческая деятельность (лат.Objectum-предмет). Выработка методологии направлена на упорядочение получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.

Научно-техническое развитие в любой области обычно идет по пути: наблюдение и эксперимент - теоретическое  исследование организации производственного  процесса. "От живого созерцания к  абстрактному мышлению и от него к  практике таков диалектический путь познания истины, познания объективной  реальности".

В научных исследованиях  большую роль играют "гипотезы", т.е. определенные предсказания, основанные на небольшом количестве опытов, наблюдений, догадок. При формулировании и проверке правильности гипотез большое значение в качестве метода суждения имеет  аналогия.

"Аналогией" называют  суждение о каком-либо частном  сходстве двух объектов. При этом  сходство может быть существенным  и несущественным. Понятие существенности  и не существенности сходства  или различия зависит от уровня  абстрагирования и в общем  случае определяется конечной  целью проводимого исследования. Гипотезы и аналогии, отражающие  реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводится к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие производить эксперименты, называются "моделями". Другими словами модель (лат.modulus-тера) - это объект-заместитель объекта оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Замещение одного объекта  другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала  с помощью объекта-модели называется "моделированием". Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью  для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов  с его моделью. Теория замещения  одних объектов (оригиналов) другими  объектами (моделями) и исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Если результаты моделирования  подтверждаются и могут служить  основой для прогнозирования  процессов, протекающих в исследуемых  объектах, то говорят, что модель адекватна  объекту. При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и  принятых критериев.

Актуальность выбранной  тематики курсовой работы заключается  в том, что к задачам работы транспортного цеха сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

Целью данной работы является рассмотрение работы транспортного цеха и метода потенциалов как метода ее решения.

Работа транспортного  цеха линейного программирования получила в настоящее время широкое  распространение в теоретических  обработках и практическом применении на транспорте и в промышленности. Особенно важное значение она имеет в деле рационализации постановок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

Кроме того, к работам  транспортного цеха сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

1 Предметная область моделирования

1.1 Понятие модели и  их разновидности

Модель (фр. modиle, от лат. modulus — «мера, аналог, образец») — некоторый материальный или мысленно представляемый объект или явление, являющийся упрощённой версией моделируемого объекта или явления (прототипа) и в достаточной степени повторяющий свойства, существенные для целей конкретного моделирования (опуская несущественные свойства, в которых он может отличаться от прототипа).

Модели обычно применяются  для нужд познания (созерцания, анализа  и синтеза) и конструирования. В  качестве модели может выступать  отображение, схема, копия, макет, изображение.

Моделью может быть серийный повторяемый проект, имеющий набор  определённых, свойственных только данной модели параметров и характеристик. Это делается даже в одном ряду изделий (проектов). Модель решений  может иметь несколько версий или вариантов, что является моделированием деятельности, проектирования, управления большими проектами и т. п.

Процесс создания модели называется моделированием. Любая мыслительная деятельность представляет собой оперирование моделями (образами). Модели бывают натурные, макеты, информационные, логические, образные, и т. п.

Смоделировать можно любой  процесс производственный, экономический (от процесса сборки до процесса прогнозирования  цены акций на финансовом рынке)

Модель можно рассматривать  как общее понятие методами науки, которой применимо к любой  области национального познания. Задача построения экономико-математической модели представляет собой перевод  экономических явлений с языка экономики на язык математики, который подчинен определенным правилам.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Понятие моделирование  тесно связано с такими категориями  как абстракция, гипотеза и аналогия. Формируются некоторые гипотезы развития объекта исследования, изучаются  выделенные зависимости и соотношения.

Прежде чем составить  экономическую модель в математической форме необходимо провести качественный анализ экономического процесса по этапам:

• Постановка задачи, ее теоретическая и логическая формулировка.
• Анализ структуры исследуемой экономической системы.
• Построение модели отвечающей экономическим условиям задачи и математическим принципам.
• Заполнение системы уравнений необходимыми статистическими данными.
• Разработка математического алгоритма, решение задачи и получение численных результатов.
• Экономическая интерпретация, и анализ полученных результатов.

- Наглядное моделирование  - осуществляется на макетах или объемных моделях они передают внешний вид объекта помогают правильно установить технологические связи и дают наглядное представление об объекте до его реализации.

- Физическое моделирование связано с отображением изучаемого объекта с помощью физических процессов. Оно связано с характером изменения параметра модели, который может отражать характер динамического процесса в экономике.

- Информационное моделирование – основано на использовании различных графических и математических методов для выражения определенной информации и процессов ее преобразования. Графические модели реализуются средствами логического аппарата (схемы, чертежи таблицы, графики т.п.). Экономико-математические модели реализуются средствами математического аппарата и используют различные формулы, уравнения, неравенства, которые решаются математическими методами и выражаются в виде неравенства, уравнений, систем уравнений.

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные  которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного  программирования относятся к задачам  на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить  хорошо разработанные методы математического  анализа, однако невозможность их использования  можно довольно просто проиллюстрировать.

Для решения задач  линейного  программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое  распространение линейное программирование получило в экономике, так как  исследование зависимостей между  величинами, встречающимися во многих экономических  задачах, приводит к линейной функции  с линейными ограничениями, наложенными  на неизвестные.

1.2  Построение модели

Разработка математического  моделирования экономических моделей  помогает обеспечить оптимальное управление. Такой признак называется критерием  оптимальности.

Каждый процесс принятия решений на основе экономико-математической модели может быть описан функцией, аргументами которой являются допустимые варианты решения, а значениями являются числа, которые описывают меру достижения цели. Такую функцию называю целевой функцией.

Задача принятия решения  на базе экономико-математической модели сводится к нахождению экстремальных  значений (max, min) целевой функции, а главное нахождение конкретного значения, при котором достигается min значение. Такое значение называется оптимальным.

Под ограничением модели понимают ограничивающее условия, которые выражаются в ограничениях  ресурсов, как в количественном, так и в качественном отношении, откуда возникает необходимость их экологии, эффективного распределения.

Процесс оптимизации в  таких моделях сводится к нахождению таких положительных значений неизвестных  х₁*…*х_n , которые удовлетворяются условию ограничений и доставляют экстремум с целевой функции.

Задача, в которой целевая  функция и условия ограничений  заданы линейными функциями, называется задачей линейного программирования (ЗЛП).

Общая задача линейного программирования имеет несколько форм записи:

- Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях А₁х₁ + А₂x₂ + ... + А_Nx_N = А_о, X 0, где С = (с₁, с₂, ..., с_N); Х = (х₁, х₂, ..., х_N); СХ - скалярное произведение; векторы A₁, A₂,..., A_N, A₀ состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

- Матричная форма записи. Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях АХ = А₀, Х 0, где С = (с₁, с₂, ..., с_N) - матрица-cтрока; А = (а_ij) - матрица системы; Х - матрица-столбец, А₀ - матрица-столбец.

- Запись с помощью знаков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z =   С_jх_j при ограничениях:

Определение 1. Планом или  допустимым решением задачи линейного  программирования называется Х = (х₁, х₂, ..., х_N).

Определение 2. План Х = (х₁, х₂, ..., х_N) называется опорным, если векторы А (i = 1, 2, ..., N), входящие в разложение (1.4) с положительными коэффициентами  х , являются  линейно независимыми. Так как векторы А являются N-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать М.

Определение 3. Опорный план называется невырожденным,  если он содержит М положительных  компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным.

Определение 4. Оптимальным  планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наименьшее (наибольшее) значение линейной функции.

Для решений уравнений  линейного программирования применяют  симплексный метод. Решение оформляется  в виде таблицы. Переход к другой таблице называется итерацией.

Существует несколько  модификаций симплексного метода. Метод  последовательного улучшения опорного плана – применяется к тем  задачам линейного программирования, когда выполнены следующие условия:

- Правая часть системы ограничений состоит из неотрицательных чисел, т. е. P₀ ³ 0

- Канонический вид системы содержит полный набор базисных векторов.

Рассмотрим задачу линейного программирования, система ограничений которой  задана в виде неравенств.

Найти минимальное значение линейной функции:

    Z = С₁х₁+С₂х₂+... +С_Nx_N     (1.2.1)

при ограничениях:

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N   b₁

  a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N   b₂

. . . . . . . . . . . . . . .   (1.2.2)

a_M1x₁ + a_M2x₂ + ... + a_MNХ_N   b_M

x_j   0 (j = 1, 2, ... ,n) (1.2.3)

Совокупность чисел х₁, х₂, ..., х_N, удовлетворяющих ограничениям (1.2.2) и (1.2.3), называется решением. Если система неравенств (1.2.2) при условии (1.2.3) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае - несовместной.

Рассмотрим на плоскости х₁Ох₂ совместную систему линейных неравенств

a₁₁x₁ + a₂₂x₂   b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂   b₂

. . . . . . . .

a_M1x₁ + a_M2x₂   b_M

x₁  0, x₂  0

Это все равно, что в  системе (1.2.2) - (1.2.3) положить N=2. Каждое неравенство этой  системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой

a_i1x₁ + a_i2x₂ = b_i ,(i = 1, 2, ..., m). Условия неотрицательности определяют  полуплоскости соответственно  с граничными прямыми х = 0, х = 0. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы.

Совокупность этих точек (решений) назовем многоугольником  решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью.

Если в системе ограничений (1.2.2) - (1.2.3) n = 3, то каждое неравенство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которого a_i1x₁ + a_i2x₂ + a_i3x₃ = b_i  ,(i = 1, 2, ..., n), а условия неотрицательности – полупространства с граничными плоскостями соответственно х_j = 0 (j = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть, которая называется многогранником решений. Многогранник решений может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, многогранником, многогранной неограниченной областью. Пусть в системе ограничений (1.2.2) - (1.2.3) n 3; тогда каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью a_i1x₁ + a_i2x₂ + a_iNx_N = b_i (i = 1, 2, ..., m), а условия неотрицательности – полупространства с граничными гиперплоскостями х_j 0 (j = 1, 2, ..., n).

 Если система ограничений  совместна, то по аналогии с  трехмерным  пространством она  образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением.

 Таким  образом,  геометрически  задача  линейного  программирования представляет  собой отыскание  такой точки   многогранника решений, координаты  которой доставляют  линейной  функции  минимальное значение, причем допустимыми решениями   служат все  точки  многогранника  решений.

1.3 Выбор метода реализации  модели

 транспортного цеха  — задача об оптимальном плане перевозок продукта(-ов) из пунктов отправления в пункты потребления. Разработка и применение оптимальных схем грузовых потоков позволяют снизить затраты на перевозки. Это задача является по теории сложности вычислений NP-сложной или входит в класс сложности NP. Когда суммарный объём предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объёму спроса на товары (грузы), запрашиваемые пунктами потребления, транспортная задача называется несбалансированной.

Для классической работы транспортной задачи в чеху выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку).

Классическую работу транспортного цеха можно решить симплекс-методом, но в силу ряда особенностей её можно решить проще (для задач малой размерности).

Условия задачи располагают  в таблице, вписывая в ячейки количество перевозимого груза из  в  груза , а в маленькие клетки — соответствующие тарифы .

Нахождение опорного плана. Требуется определить опорный план и путём последовательных операций найти оптимальное решение. Опорный  план можно найти следующими методами: «северо-западного угла», «наименьшего элемента», двойного предпочтения и  аппроксимацией Фогеля.

Метод северо-западного угла (диагональный). На каждом этапе максимально  возможным числом заполняют левую  верхнюю клетку оставшейся части  таблицы. Заполнение таким образом, что полностью выносится груз из  или полностью удовлетворяется  потребность .

Метод наименьшего элемента. Одним из способов решения задачи является метод минимального (наименьшего) элемента. Его суть заключается в  сведении к минимуму побочных перераспределений  товаров между потребителями.

Алгоритм:

Из таблицы стоимостей выбирают наименьшую стоимость и  в клетку, которая ей соответствует, вписывают меньшее из чисел.

Проверяются строки поставщиков  на наличии строки с израсходованными запасами и столбцы потребителей на наличие столбца, потребности  которого полностью удовлетворены. Такие столбцы и строки далее не рассматриваются.

Если не все потребители  удовлетворены и не все поставщики израсходовали товары, возврат к  п. 1, в противном случае задача решена.

Метод потенциалов и метод  последовательного улучшения плана. Пусть  - некоторый опорный план задачи T. Обозначим через совокупность векторов , отвечающих основным коммуникациям плана . Наши рассуждения будут вестись в предположении невырожденности задачи T. Поэтому состоит из m+n-1 векторов и является базисом опорного плана .

На первом этапе метода потенциалов вычисляются предварительные  потенциалы

удовлетворяющие системе уравнений

                                                   для .                                 (3.1)

(Здесь  - множество пар индексов векторов, составляющих базис плана .)

Переименуем векторы базиса и обозначим l-й вектор через

Учитывая, что все компоненты вектора  , кроме двух, равных единице, равны нулю, можно переписать систему (3.1) в эквивалентном виде

.

Здесь

;

- стоимость единичной  перевозки по коммуникации, соответствующей  вектору  .

Таким образом, предварительные  потенциалы составляют вектор оценок условий задачи относительно данного  базиса ,который определяется во втором алгоритме метода улучшения плана. Если для любого вектора условий

,

То в соответствии с  критерием оптимальности метода улучшения плана данный план - решение задачи. Это же заключение следует из критерия оптимальности, используемого в методе потенциалов.

Предположим, что при некоторых i,j

.

Тогда в соответствии с  методом последовательного улучшения  плана выбирается такая пара индексов , на которой величина

(оценка вектора условий  ) достигает минимума, и осуществляется переход к новому базису путем замены одного из векторов системы вектором . Та же операция осуществляется и в методе потенциалов (этап 2). Переход к новому базису связан с разложением вводимого вектора (вектора ) по векторам базиса , что эквивалентно решению системы линейных уравнений. Благодаря простой структуре векторов решение этой системы существенно облегчается по сравнению с общим случаем.

Согласно методу улучшения  плана после разложения вводимого  вектора (вектора  ) по векторам старого базиса разыскивается величина

                                                     .                                              (3.2)

Здесь - коэффициент при i-м векторе базиса в разложении вектора ограничений (вводимого вектора) по векторам старого базиса; минимум берется по тем индексам i, для которых . Если , то из базиса удаляется его r-й вектор.

Базисные компоненты нового плана определяются по формуле

                                                                                   (3.3)

Для транспортной задачи коэффициенты равны нулю или . При этом в том и только в том случае, если i-й вектор базиса соответствует коммуникации, которая занимает нечетную (четную) позицию в построенном маршруте. Поэтому формула (3.2) в случае транспортной задачи может быть заменена правилом: - минимальная нечетная перевозка маршрута, связывающего пункты и . Это правило и используется в методе потенциалов. Формула (3.3) применительно к транспортной задаче превращается в правило изменения плана перевозок, употребляемое в методе потенциалов: перевозки, запланированные по нечетным (четным) коммуникациям, уменьшаются (увеличиваются) на величину , перевозка между и полагается равной , остальные перевозки сохраняют свои значения.

Итак, метод потенциалов  является детализацией второго алгоритма  метода улучшения плана, учитывающей  специфику транспортной задачи. Отличие  состоит только в том, что на каждом шаге метода потенциалов все параметры  задачи (план, предварительные потенциалы, коэффициенты разложения вводимого  вектора коммуникаций) вычисляются  не по рекуррентным формулам, как в  методе улучшения плана, а непосредственно. Это оказывается более выгодным из-за простоты условий задачи T, позволяющей легко решать соответствующие системы линейных уравнений.

В условиях современной экономической  деятельности многие проблемы к своему решению требуют обязательного  научного подхода, который представляет из себя использование различного рода экономико-математических методов и моделей.

Общий вид решения экономических  задач можно разделить на следующие  этапы:

1) постановка задачи;

2) поиск оптимального  решения;

3) внедрение.

Постановка и определение  задачи заключается в создании модели, где показана структура исследуемого явления, а также приняты во внимание все ключевые особенности и ограничивающие условия. После чего выявляется цель решения, критерий оптимальности и, затем, выносится математическая формулировка.

2 Расчет модели

2.1 Постановка задания

Моделирование работы транспортного  цеха

Задание: Построить имитационную модель работы транспортного цеха.

Исходные данные:

Транспортный цех обслуживает  три филиала А, В и С. Грузовики перевозят изделия из А в В и из В в С, возвращаясь потом в А без груза. Погрузка изделий в филиале А занимает 20 мин, переезд из А в В длится 30 мин, разгрузка и загрузка в филиале В - по 20 мин, переезд в С - 30 мин, разгрузка в С - 20 мин и переезд в А - 20 мин. Если на момент загрузки в филиалах А и В изделия отсутствуют, грузовики уходят дальше по маршруту пустыми. Изделия в А выпускаются партиями по 1000 шт. через 20 ± 3 мин, в В - такими же партиями через 20 ± 5 мин. На линии эксплуатируется восемь грузовиков, каждый может перевозить по 1000 изделий. В начальный момент четыре грузовика находятся в А, четыре - в В.

Цели моделирования:

Определить частоту пустых перегонов грузовиков между филиалами А и В, В и С.

2. Построение концептуальной  модели

2.1 Анализ задачи

Как уже было сказано выше - целью данной курсовой работы является разработка имитационной модели работы транспортного цеха. С последующим  определение частоты пустых перегонов  грузовиков между филиалами А и В, В и С, которые уезжают без груза. Также требуется промоделировать работу транспортного цеха на протяжении 1000 часов.

Рис. 1. Структурная схема  процесса функционирования.

Таким образом, входным потоком  будут изделия, выпускающиеся в  филиале А и филиале В, а выходным – пустые грузовики.

Критерием эффективности  данной модели будет частота пустых перегонов грузовиков между филиалами А и В, В и С. Таким образом, чем меньше будет пустых грузовиков переезжающих из А в В, и из В в С, тем эффективней будет разработанная модель системы.

Предварительный расчет:

Предположим, что грузовики  в стационарном режиме (т.е. достаточно времени спустя от начала процесса) движутся без пустых перегонов. Тогда  один грузовик делает один круг за время, равное 160 минутам, т.к. 30 + 30 + 20 = 80 мин  уходит на переезды между пунктами, и 20 + 40 + 20 = 80 мин – на погрузку и  разгрузку в пунктах А, В и С. Итого время на один круг маршрута составляет 80 + 80 = 160 мин.

За 160 мин грузовик перевезет  тогда 2 партии изделий, одну партию –  в среднем за 80 мин. Следовательно, 8 грузовиков будут перевозить одну партию в среднем за 80/8 = 10 мин. Это  время равно среднему времени  между выпуском партий изделий: в  пункте А партии выпускаются в среднем через 20 мин, и так же в пункте В. Вместе два пункта выдают одно изделие в среднем через 10 мин.

Таким образом, восьми грузовиков достаточно, чтобы успевать перевозить все производимые изделия (при условии, что грузовики не делают пустых перегонов). Очевидно, что если будут пустые перегоны, то грузовики не будут  успевать развозить груз, и он будет  накапливаться в пунктах его  производства.