Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

Министерство  образования и науки 

Российской  Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Нижегородский государственный педагогический университет

Факультет математики, информатики и физики

Кафедра теории и методики обучения математике 
 
 
 
 

Фондовое  задание 

Тема: Понятие  о равносильности уравнений и  неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие  и равносильные уравнения» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

Студенка VI курса з/о ФМИФа

Минина  Анна Петровна 
 
 
 
 
 

Нижний  Новгород

2011 
Содержание

     Введение 

     Математика... выявляет порядок, 

     симметрию и определенность, 

     а это – важнейшие виды прекрасного. 

     Аристотель. 

     Математическое  образование, получаемое в общеобразовательной  школе, является важнейшим компонентом  общего образования и общей культуры современного человека. Практически  все, что окружает современного человека – это все так или иначе  связано с математикой. А последние  достижения в физике, технике и  информационных технологиях не оставляют  никакого сомнения, что и в будущем  положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных  видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

     В школьном курсе алгебры и начал  анализа, 10 - 11 класс, при сдаче ЕГЭ  за курс средней школы и на вступительных  экзаменах в ВУЗы встречаются  различного вида задания, связанные с решением уравнений и неравенств, в частности с решением равносильных уравнений и неравенств.

     Овладение методикой их решения очень полезно: оно повышает умственные и творческие способности учащихся. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.

     В ходе работы над данной темой,  была изучена и проанализирована математическая литература по теме «Равносильность уравнений и неравенств», а также были рассмотрены методические рекомендации по данной теме, в результате чего был выявлен наиболее подходящий метод обучения школьников теме «Равносильные уравнения и уравнение-следствие». Так как на изучение этой темы в школьном курсе математики выделяется всего два часа, то  можно провести школьную лекцию, совместив два урока. С помощью лекции осуществляется руководство различными видами деятельности учащихся на уроке и вне урока, формируются разнообразные умения. Специфика школьной лекции состоит в том, что деятельность учителя здесь неотделима от деятельности учащихся: читая лекцию, необходимо одновременно руководить работой слушателей. Готовясь к уроку, важно думать не только о том, что и как рассказать в лекции, но и о том, что на уроке будут делать ученики, какую цель перед ними поставить, как подготовить их к восприятию и усвоению материала, какого уровня в овладении знаниями и умениями достигнут они на данном уроке и как это можно проверить. Словом, урок-лекция позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся, воздействовать на каждого из них.

     Математические  знания усваиваются школьниками  в определенной, приспособленной  к их пониманию системе, в которой  отдельные положения логически  связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в  доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики  делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными  операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые  знания.

     Таким образом, проведя урок-лекцию по теме «Равносильные уравнения и уравнение-следствие», можно реализовать больше целей  обучения математике, нежели проведя  обычный урок.

     Анализ  письменных экзаменационных работ  учащихся показывает, что решение равносильных уравнений и неравенств вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению - следствию или неравенству - следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок используется проверка по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения уравнений, либо план решения неравенств.

     Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные  и вступительные экзамены, необходимо уделять больше внимания решению  равносильных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.

     Глава I

     Теоретические основы изучения темы «Равносильность  уравнений и неравенств» 

     §1 Цели изучения математики на базовом и профильном уровнях 

• Основное  общее образование: 

     • Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для  применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения  образования;

     • Интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых для  полноценной жизни в современном  обществе:

     - ясность и точность мысли, 

     - критичность мышления,

     - интуиция,

     - логическое мышление,

     - элементы алгоритмической культуры,

     - пространственных представлений, 

     - способность к преодолению трудностей;

     • Формирование представлений об идеях  и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

     • Воспитание культуры личности, отношения  к математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

• Среднее (полное) общее образование:

     Базовый уровень:

     • Формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений  и процессов, об идеях и методах  математики;

     • Развитие логического мышления, пространственного  воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом  для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в  высшей школе по соответствующей  специальности;

     • Овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для  получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

     • Воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к  части общечеловеческой культуры через  знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.  
 
 

     Профильный  уровень:

     • Формирование представлений об идеях  и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений  и процессов;

     • Овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими  знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования  и освоения избранной специальности  на современном уровне;

     • Развитие логического мышления, алгоритмической  культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых  для продолжения образования  и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

     • Воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

         В      Стандарте   среднего       (полного)   образования   по   математике

сформулированы  цели изучения математики на базовом  и профильном

уровнях.

       Изучение математики на базовом уровне направлено на достижение

следующих целей:

• формирование представлений о математике как универсальном языке

     науки, средстве моделирования явлений  и процессов, об идеях и методах

     математики;

• развитие логического мышления, пространственного воображения,

       алгоритмической     культуры,   критичности    мышления      на     уровне,

       необходимом для будущей профессиональной  деятельности, а также

       последующего обучения в высшей  школе;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в

       повседневной жизни, для изучения  школьных естественнонаучных

       дисциплин на базовом уровне, для получения образования в  областях, не

       требующих углубленной математической  подготовки;

• воспитание средствами математики культуры личности, понимания

       значимости математики для научно-технического  прогресса, отношения

       к математике как к части  общечеловеческой культуры через  знакомство

       с историей развития математики, эволюцией математических идей.

       На профильном уровне цели сформулированы следующим образом:

• формирование представлений об идеях и методах математики; о

       математике как универсальном  языке науки, средстве моделирования

       явлений и процессов;

• овладение языком математики в устной и письменной форме,

       математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения

       школьных естественнонаучных дисциплин,  продолжения образования и

       освоения избранной специальности  на современном уровне;

• развитие  логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения

     образования и для самостоятельной деятельности в области математики

     и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

• воспитание    средствами    математики    культуры     личности      через

       знакомство      с   историей    развития      математики,     эволюцией

       математических идей; понимания  значимости математики для научно-

       технического прогресса.                                                                       

         Цели, сформулированные в стандарте,  затем конкретизируются через

перечисление  элементов обязательного минимума содержания основных

образовательных   программ  и формулировку  требований к уровню

подготовки выпускников. 

      § 2 Методы научного познания  

     Оперируя  «идеальными» объектами, отражающими  свойства математических приемов и  законы материального мира в сочетании  с отвлечением от несущественных свойств рассматриваемых объектов, математики в своих понятиях и  положениях выражает наиболее глубокие и общие свойства реальной действительности.

     Процесс познания и процесс обучения учащихся выражает самостоятельное открытие математических фактов истин, поэтому  научные методы математического  исследования одновременно служат и  методами учебной работы учащихся.

     Различают традиционные и современные методы обучения. Традиционные методы направлены на обучение готовым знаниям и учебная деятельность учащихся носит репродуктивный характер, и не способствует эффективному развитию. Внешне традиционный метод проявляется в хорошо известной форме, когда учитель излагает учебный материал с привлечением различных средств наглядности, а ученики воспринимают учебную информацию, заучивают и воспроизводят ее по требованию учителя. Учебная деятельность ученика репродуктивна, а главный результат обучения – усвоение суммы фактов. Развивающий эффект весьма низок, т.к. нет активной деятельности учеников.

     Современные методы, которые не противопоставляются традиционным, ориентированы на обучение деятельности по самостоятельному приобретению новых знаний, на обучение познавательной деятельности, включающей следующие компоненты:

     1) общие логические приемы мышления (индукция, дедукция, анализ, синтез, аналогия, обобщение, абстрагирование, конкретизация,  классификация);

     2) специальные приемы мыслительной  деятельности, составляющие основу  математических методов познания (метод построения математических  моделей процессов; способов абстрагирования,  присущих математике; аксиоматический  метод);

     3) система знаний.

     Усвоение  математических знаний и уровень  математического развития учащихся всегда проверяется через умение решать задачи. Методы обучения, ориентированные  на развитие активной познавательной деятельности учащихся, требуют научить  их отыскивать и описывать общие  методы (алгоритмы) решения классов  задач однотипных через анализ и  обобщение способов решения частных  задач, принадлежащих этим классам. Помимо анализа и обобщения существуют и другие методы познавательной деятельности, сущность которых мы раскроем в следующем параграфе. 
 
 
 
 
 

§2.1 Классификация методов обучения 

• Методы  обучения, выделяемые по источнику  знаний:

     Словесные методы обучения: рассказ, беседа, лекция, которые проводятся для всего класса.

     Признаки  рассказа:

• предполагает устное повествовательное изложение учебного материала;

применяется при  изложении учебного материала ознакомительного характера;

не прерывается  вопросами к учащимся;

• позволяет при минимальных затратах времени сообщить максимум знаний;
• предполагает использование таких методических приемов, как изложение информации, активизация внимания, ускорение запоминания; логических приемов сопоставления, сравнения, выделения неявного, резюмирование;
• характеризуется недостаточной долей самостоятельного познания учащихся, ограниченностью элементов поисковой деятельности;
• затрудняет обратную связь (учитель не получает достаточной информации о качестве усвоения знаний, не может учесть индивидуальных особенностей всех учащихся).

     Виды  рассказа: рассказ-вступление, рассказ-изложение, рассказ-заключение.

     Эффективность достигается при наличии продуманного плана, выбора наиболее рациональной последовательности раскрытия темы, удачного подбора  примеров и иллюстраций, поддержание  должного эмоционального тона изложения.

     Эффективность беседы зависит от подобранных вопросов, которыми управляется беседа. При  разбиении материала на смысловые  части упрощается сам процесс  постановки вопросов, которые помогают учащимся перейти от одной части  к другой, примером может служить  анализ и решение текстовой задачи.

     Наглядные методы обучения:

     а) метод иллюстраций - предполагает показ учащимся различных иллюстративных пособий (карты, чертежи, схемы, картины, фотографии, графики, таблицы, модели);

     б) метод демонстраций - предполагает показ динамичных пособий, натуральных объектов, кинофильмов, диафильмов, видеозаписей, слайдов, различных приборов и оборудования в действии.

     В частности, к методу иллюстраций  можно отнести «опорные сигналы  Шаталова».

     Эффективность достигается при:

      1) хорошем обозрении наглядного  пособия; 

     2) постановка учебной цели, четкого  выделения главного при демонстрации  пособия; 

     3) умелого сочетания слова и  показа средства наглядности,  осуществление ориентации действий  учащихся на достижение учебной  цели с помощью средств наглядности;

      4) привлечение учащихся к нахождению  желаемой информации. 

     Практические  методы обучения:

     в математике связаны с построениями, измерениями, вычислениями, изготовлением  наглядных пособий, выполнением  чертежей фигур, наиболее полно отвечающих условию задачи; письменные упражнения (тренировочные и комментированные), лабораторно-практические работы, работа на ЭВМ по обучающим программам; работа в группах.

• Методы обучения, определяемые уровнем познавательной деятельности учащихся:

     К ним относятся:

     1) репродуктивные: методы обучения, основу  которого составляют словесный,  наглядный и практический методы;

     2) проблемно-поисковый метод обучения: проблемное изложение учебного  материала, эвристическая беседа, исследовательский метод.

     3) методы самостоятельной работы:

     а) работа с учебником и другой литературой;

     б) самостоятельные письменные работы (проводятся почти на каждом уроке  по 7-15 минут; первые – по теме – обучающего характера и корректирующего, позволяющие  установить оперативную обратную связь, в журнал выставляются только хорошие  оценки, а удовлетворительные оценки - по желанию; последующие – контролирующего  характера с выставлением всех оценок в журнал);

     в) самостоятельное решение задач;

     г) самостоятельная работа с приборами;

     д) самостоятельное наблюдение;

     е) самостоятельное выполнение произвольных заданий.

• Методы научного познания в обучении математике:

     К ним относятся:

     1) логические методы познания: индукция, дедукция, анализ, синтез, сравнение, аналогия, обобщение, конкретизация, моделирование, классификация, доказательство.;

     2) эмпирические методы познания.

     Наблюдение, описание, измерение и эксперимент, которые не являются характерными для  математики. История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в  зарождении математических знаний, становлении  математики как науки, самостоятельной  теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств  наглядности и ТСО предполагает применение различных эмпирических методов, помогающих избежать пассивной  созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу.

     Задача. Найти все такие натуральные числа, квадрат которых оканчивается цифрой 7.

     Поиск решения данной задачи предполагает небольшой числовой эксперимент  и формулирование гипотезы в процессе обобщения полученных данных.

     Метод измерения применим к поиску решения  планиметрических задач, когда производим инструментальное исследование чертежа  данной фигуры.

     Измерение: вывод о сумме внутренних углов в произвольном треугольнике, для чего учащимся предлагается вырезать из бумаги остроугольный, тупоугольный треугольники, транспортиром измерить величины их углов и найти их сумму: .

       Опыт: по табличным данным или отмеченным точкам на координатной плоскости определить вид функции:

     а) ; б) ; в) ; г) .

     Наблюдение: простые и составные числа; сформулировать определения. Простое ли число 1?

     3) математические методы познания:

     а) метод математических моделей.

       Математическая модель – описание  какого-либо класса явлений реального  мира на языке математики. Метод  моделирования дает возможность  применять математический аппарат  к решению практических задач.  Понятие числа, геометрической  фигуры, уравнения, неравенства,  функции, производной являются  примерами математических моделей.

     К методу математического моделирования  в учебном процессе приходится прибегать  при решении любой задачи с  практическим содержанием. Чтобы решить такую задачу математическими средствами, ее необходимо вначале перевести  на язык математики (построить модель), используя абстракции отождествления, идеализации, обобщения.

     Задача. 6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га, 8 коров за 4 дня съедают траву на участке 0,3 га. Сколько дней смогут пастись 12 коров на участке площадью 0,6 га? (Прирост травы на участке пропорционален его площади и времени).

     x – количество травы, съедаемое  одной коровой в день;

     y – начальное количество травы  на 1 га;

     z – прирост травы на 1 га в  день;

     6 коров за 3 дня съедают траву  на участке 0,2 га:

     6*х*3=у*0,2+3*z*0,3.

     8 коров за 4 дня съедают траву  на участке 0,3 га:

     8*х*4=у*0,3+4*z*0,3

     Решим эту систему:

     Определим первоначальное количество травы на одном га:

     12 коров за t дней съедают траву  на участке 0,6 га:

     Ответ: 12 дней.

     б) аксиоматический метод:

     Методическая  схема:

      1) составить набор математических  утверждений (это может быть  выполнено учащимися на основе  математизации эмпирического материала  или предложено учителем в  готовом виде); полученные таким  образом математические предложения  пока логически не связаны  друг с другом, поэтому необходимо  логически организовать имеющийся  математический материал;

     2) найти исходные утверждения, на  основе которых могут быть  доказаны остальные; 

     3) провести доказательство утверждений,  не отнесенных к числу исходных;

     4) сформулировать аксиомы, определения,  теоремы.

     Задача.  

      a 

      c   b 

     Выделить  из этого перечня утверждений, на основе которых можно доказать остальные.

• Методы стимулирования и мотивации.

     Формирование  познавательного интереса: занимательность, новизна, приближенность к открытиям  науки, познавательные игры, проблемность, успех, анализ жизненных ситуаций (применимо  к словесным, наглядным и практическим методам).