Постановка задач массового обслуживания

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………...3

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО  ОБСЛУЖИВАНИЯ………………4

1.1. Общие понятие теории массового  обслуживания……………………..4

1.2. Графы состояний СМО………………………………………………….7

1.3. Случайные процессы…………………………………………………….8

1.4. Классификация систем массового  обслуживания……………………..10

2. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ  МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ……………………………………………………………..12

2.1. Уравнения Колмогорова……………………………………………….12

2.2. Процессы «рождения – гибели»……………………………………….15

3. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ  С ОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ…….……………………………………………………………..17

3.1. Общая постановка задачи………………………………………………17

3.2. Пример использования СМО  с ограниченной очередью……………17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ…………………………….21

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее  время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно  теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также  различных сфер ее приложения – военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.

Теория  массового обслуживания опирается  на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано  с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878– 1929), с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Теория  массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием  с целью нахождения наилучших  путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический  аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен  минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов  обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового  обслуживания пока не нашло желаемого  распространения.

В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания  содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного  инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные  варианты последствий управленческих решений.

Цель: сформулировать задачи и охарактеризовать системы массового обслуживания. Рассмотреть систему массового обслуживания с ограниченной очередью и привести конкретный пример ее применения.

Задачи:

1. рассмотреть основные понятия теории массового обслуживания;
2. изучить уравнения, описывающие системы массового обслуживания;
3. применить практически систему массового обслуживания с ограниченной очередью.

1  ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1. Общие понятие теории массового обслуживания

Природа массового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для перечисленных  фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления  товаров, денег, посетителей в случайные  моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время  выполнения которых носит также  случайный характер. Все это создает  неравномерность в работе, порождает  недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много  неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, или водителей автомобилей  на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов  выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей  оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.

Кроме того, возникают другие задачи, связанные  с созданием, организацией и планированием  нового экономичного, рационального  варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского  цеха, всех звеньев обслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др. [1]

Задачи  организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей  в магазинах, обслуживание посетителей  на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение  телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает  необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Перечисленные задачи можно успешно решать с  помощью методов и моделей  специально созданной для этих целей  теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого– либо или что– либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются кем– либо или чем– либо, называемыми каналами (узлами) обслуживания. Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания – продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом – выступает в роли заявки на обслуживание, например к заведующему производством за получением товара.

Заявки  в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые  до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя  в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется  выходящий поток заявок. В целом  совокупность элементов входящего  потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему  массового обслуживания – СМО.

 Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала  времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит  в основном от характера запроса  заявки на обслуживание, состояния  самой обслуживающей системы  и канала обслуживания.

Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной  стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой – от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами– контролерами работы «слепым» методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в супермаркете дает ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета – 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех – в 1,9, пяти – в 2,9 раза.

Под обслуживанием  заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный  характер по своей природе. Однако, во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого– либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых – группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях – техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

Если  каналы обслуживания способны удовлетворить  одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.

В систему  массового обслуживания поступает  большое количество заявок в случайные  моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной  величиной. Последовательное поступление  заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, – выходящим потоком. [2]

Случайный характер распределения длительности выполнения операций обслуживания наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который "может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания.

Заметим, что заявки, поступающие в систему  обслуживания, могут покинуть ее и  будучи не обслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар  имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.

Теория  массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных  с массовым обслуживанием, разработкой  методов решения типичных задач  массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслуживания важную роль играют различные способы  расположения в системе каналов  обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания требование может быть обслужено  любым свободным каналом. Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслуживания совпадает с числом кассиров– контролеров.

На практике часто обслуживание одной заявки осуществляется последовательно несколькими  каналами обслуживания. При этом очередной  канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс  обслуживания носит многофазовый характер, обслуживание заявки одним каналом  называется фазой обслуживания. Например, если в магазине самообслуживания имеются  отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами– контролерами.

Организация системы обслуживания зависит от воли человека. Под качеством функционирования системы в теории массового обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполнено  обслуживание, а то, насколько полно  загружена система обслуживания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

В коммерческой деятельности заявки, поступающие в  систему массового обслуживания, выступают с высокими претензиями  еще и на качество обслуживания в  целом, которое включает не только перечень характеристик, исторически сложившихся  и рассматриваемых непосредственно  в теории массового обслуживания, но и дополнительные характерные  для специфики коммерческой деятельности, в частности отдельных процедур обслуживания, требования, к уровню которых к настоящему времени  сильно возросли. В связи с этим необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

Работу  системы обслуживания характеризуют  такие показатели. Как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в  обслуживании, возможность простоя  каналов обслуживания, стоимость  обслуживания и в конечном итоге  удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системы  обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие  заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить  или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для  улучшения показателей коммерческой деятельности. Для решения перечисленных  задач существует эффективный метод  моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе  математики.

1.2. Графы состояний СМО

При анализе  случайных процессов с дискретными  состояниями и непрерывным временем удобно пользоваться вариантом схематичного изображения возможных состояний  СMO в виде графа с разметкой его возможных фиксированных состояний. Состояния СМО изображаются обычно либо прямоугольниками, либо кружками, а возможные направления переходов из одного состояния в другое ориентированы стрелками, соединяющими эти состояния. Например, размеченный граф состояний одноканальной системы случайного процесса обслуживания в газетном киоске приведен на рисунке 1.

λ₀₁ λ₁₂

λ₁₀ λ₂₁

Рисунок 1 – Размеченный граф состояний СМО

Система может находиться в одном из трех состояний: S₀ – канал свободен, простаивает, S₁ – канал занят обслуживанием, S₂– канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди. Переход системы из состояния S₀ в S_l происходит под воздействием простейшего потока заявок интенсивностью λ ₀₁ а из состояния S_l в состояние S₀ систему переводит поток обслуживания с интенсивностью λ ₀₁. Граф состояний системы обслуживания с проставленными интенсивностями потоков у стрелок называется размеченным. Поскольку пребывание системы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность:p_i(t) того, что система будет находиться в состоянии S_i в момент времени t, называется вероятностью i– го состояния СМО и определяется числом поступивших заявок k на обслуживание.

Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что в случайные моменты времени t₀, t_1, t₂,..., t_k,..., t_n система оказывается в том или другом заранее известном дискретном состоянии последовательно. Такая. случайная последовательность событий называется Марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из одного состояния S_t в любое другое Sj не зависит от того, когда и как система перешла в состояние S_t. Описывается марковская цепь с помощью вероятности состояний, причем они образуют полную группу событий, поэтому их сумма равна единице. Если вероятность перехода не зависит от номера к, то марковская цепь называется однородной. Зная начальное состояние системы обслуживания, можно найти вероятности состояний для любого значения к– числа заявок поступивших на

обслуживание. [3]

1.3. Случайные процессы

Переход СМО из одного состояния в другое происходит случайным образом и  представляет собой случайный процесс. Работа СМО – случайный процесс с дискретными состояниями, поскольку его возможные состояния во времени можно заранее перечислить. Причем переход из одного состояния в другое, происходит скачкообразно, в случайные моменты времени, по этому он называется процессом с непрерывным временем. Таким образом, работа СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным; временем. Например, в процессе обслуживания оптовых покупателей на фирме «Кристалл» в Москве можно фиксировать заранее все возможные состояния простейших. СМО, которые входят в весь цикл, коммерческого обслуживания от момента заключения договора на поставку ликероводочной продукции, ее оплаты, оформления документов, отпуска и получения продукции, догрузки и вывоза со склада готовой продукции.

Из множества  разновидностей случайных процессов  наибольшее распространение в коммерческой деятельности получили такие процессы, для которых в любой момент времени характеристики процесса в  будущем зависят только от его  состояния в настоящий момент и не зависят от предыстории – от прошлого. Например, возможность получения с завода «Кристалл» ликероводочной продукции зависит от наличия ее на складе готовой продукции, т.е. его состояния в данный момент, и не зависит от того, когда и как получали и увозили в прошлом эту продукцию другие покупатели.

Такие случайные  процессы называются процессами без  последствия, или марковскими, в которых при фиксированном настоящем будущее состояние СМО не зависит от прошлого. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским случайным процессом, или «процессом без последствия», если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t₀ вероятность любого состояния t > t₀ системы S_i, – в будущем (t >t_Q) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние, т.е. оттого, как развивался процесс в прошлом.

Марковские  случайные процессы делятся на два  класса: процессы с дискретными и  непрерывными состояниями. Процесс  с дискретными состояниями возникает  в сиcтемах, обладающих только некоторыми фиксированными состояниями, между которыми возможны скачкообразные переходы в некоторые, заранее не известные моменты времени. Рассмотрим пример процесса с дискретными состояниями. В офисе фирмы имеются два телефона. Возможны следующие состояния у этой системы обслуживания: S_o – телефоны свободны; S_l – один из телефонов занят; S₂ – оба телефона заняты.

Процесс, протекающий в этой системе, состоит  в том, что система случайным  образом переходит скачком из одного дискретного состояния в  другое.

Процессы  с непрерывными состояниями отличаются непрерывным плавным переходом  из одного состояния в другое. Эти  процессы более характерны для технических  устройств, нежели для экономических  объектов, где обычно лишь приближенно  можно говорить о непрерывности  процесса (например, непрерывном расходовании запаса товара), тогда как фактически всегда процесс имеет дискретный характер. Поэтому далее мы будем  рассматривать только процессы с  дискретными состояниями.

Марковские  случайные процессы с дискретными  состояниями в свою очередь подразделяются на процессы с дискретным временем и процессы с непрерывным временем. В первом случае переходы из одного состояния в другое происходят только в определенные, заранее фиксированные  моменты времени, тогда как в  промежутки между этими моментами  система сохраняет свое состояние. Во втором случае переход системы из состояния в состояние может происходить в любой случайный момент времени.

На практике процессы с непрерывным временем встречаются значительно чаще, поскольку  переходы системы из одного состояния  в другое обычно происходят не в  какие– то фиксированные моменты времени, а в любые случайные моменты времени.

Для описания процессов с непрерывным временем используется модель в виде так называемой марковской цепи с дискретными состояниями системы, или непрерывной марковской цепью. [4]

1.4. Классификация систем массового обслуживания

1.   По характеру обслуживания выделяют следующие виды СМО:

1.1. Системы с ожиданием или системы с очередью. Требования, поступившие в систему и не принятые немедленно к обслуживанию, накапливаются в очереди. Если каналы свободны, то заявка обслуживается. Если же все каналы заняты в момент поступления заявки, то очередная заявка будет обслужена после завершения обслуживания предыдущей. Такая система называется полнодоступной (с неограниченной очередью).

Существуют  системы с автономным обслуживанием, когда обслуживание начинается в  определенные моменты времени;

1.2. Системы с ограниченной очередью. (ремонт в гараже)

1.3. Системы с отказами. Все заявки, прибывшие в момент обслуживания заявки, получают отказ. (ГТС)

1.4. Системы с групповым входным потоком и групповым обслуживанием. В таких системах заявки поступают группами в моменты времени, обслуживание также происходит группами.

2. По количеству каналов обслуживания СМО подразделяются на

 следующие  группы:

Одноканальные СМО. Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание – простейший поток с интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания равна m(т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m. обслуженных заявок). Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Многоканальные СМО. Обслуживание очередной заявки может начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство.

3. По кругу обслуживаемых объектов различают два вида:

Замкнутые СМО. Замкнутая система массового обслуживания – это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Примерами замкнутой СМО являются ремонтные мастерские, сберегательные банки.

Открытые СМО. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются открытыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

4. По количеству этапов обслуживания различают однофазные и многофазные СМО.

Однофазные СМО – это однородные системы, которые выполняют

 одну  и ту же операцию обслуживания.

Многофазные СМО – это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания. Примером многофазной СМО являются станции технического обслуживания автомобилей.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают  в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после  чего система начинает работать как  система с отказами. [5]

2 УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ  МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2.1. Уравнения Колмогорова

Рассмотрим  математическое описание марковского случайного процесса с дискретными состояниями системы S_o, S_l, S₂ и непрерывным временем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания из состояния S_i в состояние Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями λ_ij, а обратный переход под воздействием другого потока λ_ij. Введем обозначение p_i как вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S_i. Для любого момента времени t справедливо записать нормировочное условие – сумма вероятностей всех состояний равна 1:

₂

Σp_i(t)=p₀(t)+ p₁(t)+ p₂(t)=1

ⁱ⁼⁰

Проведем  анализ системы в момент времени t, задав малое приращение времени Δt, и найдем вероятность р₁ (t+ Δt) того, что система в момент времени (t+Δt) будет находиться в состоянии S₁ которое достигается разными вариантами:

а) система  в момент t с вероятностью p₁(t) находилась в состоянии S₁ и за малое приращение времени Δt так и не перешла в другое соседнее состояние – ни в S₀, ни b S₂. Вывести систему из состояния S₁ можно суммарным простейшим потоком c интенсивностью (λ₁₀ +λ₁₂), поскольку суперпозиция простейших потоков также является простейшим потоком. На этом основании вероятность выхода из состояния S₁ за малый промежуток времени Δt приближенно равна (λ₁₀ +λ₁₂)*Δt. Тогда вероятность невыхода из этого состояния равна [1 – (λ₁₀ +λ₁₂)* Δ t].B соответствии с этим вероятность того, что система останется в состоянии S_i на основании теоремы умножения вероятностей, равна:

p₁(t) [1 – (λ₁₀ +λ₁₂)* Δ t];

б) система находилась в соседнем состоянии S_o и за малое время Δt перешла в состояние S_o Переход системы происходит под воздействием потока λ₀₁ с вероятностью, приближенно равной λ₀₁Δ t .

Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₁, в этом варианте равна p_o(t) λ ₀₁ Δ t;

в) система  находилась в состоянии S₂ и за время Δ t перешла в состояние S₁ под воздействием потока интенсивностью λ ₂₁ с вероятностью, приближенно равной λ₂₁Δ t. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S₁, равна p₂(t) λ₂₁Δ t.

Применяя  теорему сложения вероятностей для  этих вариантов, получим выражение:

p₂(t+Δt)= p₁(t) [1 – (λ₁₀ +λ₁₂)* Δ t]+ p_o(t) λ ₀₁ Δ t+ p₂(t) λ₂₁Δ t ,

которое можно записать иначе:

p₂(t+Δt)– p₁(t)/ Δ t= p_o(t) λ ₀₁+ p₂(t) λ₂₁– p₁(t) (λ₁₀ +λ₁₂) .

Переходя  к пределу при Δt – > 0, приближенные равенства перейдут в точные, и тогда получим производную первого порядка

dp₂/dt= p₀ λ ₀₁ +p₂ λ₂₁ – p₁ (λ₁₀ +λ₁₂) ,

что является дифференциальным уравнением.

Проводя рассуждения аналогичным образом  для всех других состояний системы, получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями  А.Н. Колмогорова:

dp₀ /dt= p₁ λ ₁₀ ,

dp₁ /dt= p₀ λ ₀₁ +p₂ λ₂₁ – p₁ (λ₁₀ +λ₁₂) ,

dp₂ /dt= p₁ λ ₁₂ +p₂ λ_{21 .}

Для составления  уравнений Колмогорова существуют общие правила.

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить  все вероятности состояний СМО S_i в функции времени p_i(t). В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы, в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S₀ – равна p₀ ⁼ 0,2, то, следовательно, в среднем 20% времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии S_o. Например, при отсутствии заявок на обслуживание к = 0, р₀ = 0,2,; следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии S_o и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.