Построение фазовых макромоделей
Введение
Практика проектирования современной радио- и микроэлектронной аппаратуры (РЭА, МЭА) сталкивается с серьезными трудностями, основными из которых являются:
- повышение требований
к показателям
- уменьшение массы и
габаритов аппаратуры при
- постоянное сокращение сроков морального старения, сопровождающееся непрерывным уменьшением времени циклов " проектирование - изготовление - испытания " при росте их стоимости и трудоемкости.
Тенденция развития РЭА такова, что каждые 10 - 15 лет количество выполняемых ею функций возрастает в 2 - 3 раза. Проектирование аппаратуры 5-6 поколений в настоящее время возможно только с использованием средств САПР.
Этап моделирования, анализа и оптимизации по-прежнему занимает едва ли не ведущее место в процессе автоматизированного проектирования, что приводит к необходимости резкого снижения трудоемкости и длительности этого этапа. В полной мере это относится к анализу и оптимизации эквивалентных электрических схем.
Снижение трудоемкости процесса анализа схем базируется на использовании:
- структуры и разреженности матриц цепей;
- декомпозиционного подхода к моделированию и анализу;
- макромоделирования.
Цель данной курсовой работы – разработка программно-методического комплекса для построения фазовых макромоделей, изучение методов снижения трудоемкости анализа линейных и линеаризованных эквивалентных электрических схем путем формального преобразования их моделей (систем уравнений большой размерности) в фазовые макромодели (системы уравнений малой размерности). Основное внимание следует уделить изучению методов построения и анализа макромоделей, содержащих в себе явным образом варьируемые параметры схемы. Также необходимо рассмотреть методы оценки трудоемкости процессов, как построения макромоделей, так и вычисления по ним частотных и динамических характеристик схем, функций параметрической чувствительности вычисляемых по макромоделям выходных характеристик и параметров электрических схем.
- Общие сведения о моделировании электрических схем. Понятие фазовых макромоделей.
При анализе сложных электрических схем, содержащих 102-104 компонентов, желательно применять упрощенные модели целых каскадов схем не прибегая к описанию их отдельных элементов. Разработка и применение таких моделей составили направление в САПР схем, получившим название "макромоделирование". Этот термин появился в начале 70-х годов и указывает на соответствие применяемому в общей теории систем макроподходу, т.е. изучении системы на основании соотношений "вход-выход".[12]
Моделирование - это исследование объекта путем создания его модели и оперирования ею с целью получения полезной информации об объекте. При математическом моделировании исследуется математическая модель (ММ) объекта.
Программно-методический комплекс (ПМК) - взаимосвязанная совокупность некоторых частей программного, методического и информационного обеспечения, необходимая для получения законченного проектного решения по объекту проектирования или для выполнения определенных унифицированных процедур.[14]
Характеристики ПМК САПР зависят в основном от свойств реализованного в них математического обеспечения.
Требования к ПМК и математическому обеспечени
- высокая степень
- хорошая адаптация к
изменяющимся условиям
- достаточная точность получаемых результатов;
- экономичность моделей, методов, алгоритмов в расходовании вычислительных ресурсов
- надежность.
В зависимости от способа построения выделяют два класса макромоделей:
- факторные (формальные);
- фазовые (теоретические, электрические).
Фазовая макромодель (электрическая) - электрический эквивалент подсхемы, поэтому в дальнейшем анализе применимы основные законы электрических цепей (законы Кирхгофа). Она представляет собой уравнения, связывающие токи и напряжения (фазовые переменные) на внешних выводах моделируемой схемы. Структура такой макромодели, как правило, позволяет применять ее в программах анализа электрических и электронных схем.
Исключение внутренних переменных значительно снижает размерность моделируемой системы и позволяет существенно сократить временные затраты на моделирование. [13]
Примерное представление о сокращении вычислительных затрат при переходе к макромоделям можно получить из рисунка 1, на котором приведена сравнительная оценка увеличения времени расчетов и требуемой памяти на ЭВМ IBM-370 при возрастании сложности анализируемой схемы для случаев макромоделирования на компонентном уровне и с применением макромоделей.
Рис. 1. Характер возрастания вычислительных затрат при увеличении сложности анализируемых схем для полной модели (П) и макромоделей (М).
С точки зрения общей теории систем проблемы макромоделирования совпадают с проблемами идентификации объекта. Под идентификацией понимается процедура построения оптимальной в определенном смысле математической модели объекта по его входным и выходным данным. В общем случае идентификация предусматривает решение задач, необходимых для макромоделирования:
- выбор структуры модели (структурная идентификация);
- выбор параметров модели
(параметрическая
Выбор структуры макромодели (порядка "упрощенной” системы), является чрезвычайно сложной задачей. В определенной мере он облегчается априорной информацией об исходной модели (ее структуре, физических принципах функционирования, выполняемых функциях и т.д.). В этом случае при наиболее простой структуре макромодели с наименьшим числом параметров могут быть учтены основные физические эффекты.[12]
С учетом целевого назначения, фазовые макромодели должны удовлетворять следующим основным требованиям:
- обеспечение заданной
погрешности при наиболее
- способ представления макромоделей (структура или форма математической записи) должны обеспечивать возможность ее непосредственного применения в программах анализа с автоматическим формированием уравнений анализируемой схемы.
Для формирования фазовой макромодели необходимо:
- определить (вычислить) исходную
для макромоделирования
- выбрать структуру макромодели;
- определить параметры макромодели.
Перечисленные задачи могут решаться различными способами, вследствие чего получаемые макромодели будут отличаться:
- трудоемкостью формирования:
- степенью сложности:
- степенью адекватности моделируемому объекту;
- областью применения.
Сказанное иллюстрируется рисунком 2.
Рис. 2. Основные задачи формирования макромоделей
и направления их решения.
- Методика макромоделирования
Применение методики состоит из следующих этапов [14]:
1. Определение тех свойств объекта, которые должны отражаться моделью (устанавливаются требования к степени универсальности будущей модели).
2. Сбор априорной информации о свойствах моделируемого объекта. Примерами собираемых сведений могут служить справочные данные, математические модели и результаты эксплуатации существующих аналогичных объектов и т. п. Назовем эту информацию производственной статистикой.
3. Получение общего вида уравнений модели (структуры модели). Этот этап в случае теоретических методов включает выполнение всех присущих этим методам операций, перечисленных выше. Часто проектировщику модели удобнее оперировать не уравнениями, а эквивалентными схемами, с помощью которых инженеру проще устанавливать физический смысл различных элементов математической модели.
4. Определение численных значений параметров модели. Возможны следующие приемы выполнения этого этапа:
- использование специфических расчетных соотношений с учетом собранных на этапе 2 сведений;
- решение экстремальной
задачи, в которой в качестве
целевой функции выбирается
- проведение экспериментов
и обработка полученных
5. Оценка точности полученной модели и определение области ее адекватности. При неудовлетворительной точности оценок выполняют итерационное приближение к желаемому результату повторением этапов 3-5.
6. Представление полученной модели в форме, принятой в используемой библиотеке моделей.
Область адекватности — это область в пространстве QΠ, в пределах которой погрешность εм модели не превышает заданное значение. Определение и представление ОА как области с нелинейными границами в многомерном пространстве требует значительных вычислительных ресурсов. Поэтому практически его целесообразно выполнять только для математических моделей унифицированных элементов, на протяжении длительного времени входящих в элементную базу проектируемой аппаратуры.
Требования к точности моделирования зависят от ряда факторов: характера проектной процедуры, близости к завершающим итерациям и т. п.
- Подходы к формализации получения математических моделей систем.
Исходные данные для получения математической модели конкретной системы - библиотека ММЭ и структура системы. Структура системы задается в виде схемы или списка элементов и их взаимосвязей. Если для некоторых типов элементов в библиотеке отсутствуют математические модели, то от пользователя требуется их разработка и описание на входном языке с возможным занесением в библиотеку ММЭ. Преобразования этих исходных данных в систему уравнений, уравнений — в алгоритмическую форму и далее в рабочую программу анализа в развитых САПР, как правило, формализованы и выполняются на ЭВМ автоматически.
На макроуровне основой формализации является структурирование объекта и использование законов, выражающих условия неразрывности и равновесия, для объединения ММЭ полученной структуры в общую систему уравнений. Структурирование приводит к такому представлению объекта в виде графа или эквивалентной схемы, когда отдельным ребрам графа соответствуют типовые элементы системы, а вершинам - соединения элементов друг с другом. Для типовых элементов заранее разработаны ММ и создана библиотека ММЭ. При этом ММЭ называют компонентными уравнениями. Эти уравнения связывают фазовые переменные, относящиеся к данному элементу. Уравнения законов неразрывности и равновесия, связывающие фазовые переменные, относящиеся к разным элементам системы, называются топологическими уравнениями. Математическая модель системы представляет собой совокупность компонентных и топологических уравнений. В такой модели при переходе к окончательной форме осуществляется ряд преобразований с целью повышения вычислительной эффективности последующего моделирования.
На верхних иерархических уровнях ММС представлена совокупностью ММЭ и управляющим алгоритмом, реализующим последовательность обращений к ММ элементов, входящих в состав системы. Управляющий алгоритм непосредственно отражает систему заданных взаимосвязей элементов с учетом временных задержек при распространении сигналов.
- Обзор методов построения макромоделей
1. Составляем (или уже имеем) эквивалентную схему.[10]
Эквивалентная схема отображает: способ связи элементов друг с другом, физическую сущность отдельных элементов, граф же только способ связи.
Введем правила построения эквивалентной схемы:
1) Эквивалентная схема, как и граф, состоит из множества ветвей и узлов.
2) Каждая ветвь относится к одному из 5-ти возможных типов:
а. б. в. г. д. е. ж. з.
3) Для каждой ветви задается компонентное уравнение:
а.
где I, U - фазовые переменные типа потока и разности потенциалов (напряжения) в рассматриваемой ветви, С - емкость.
б.
где L – индуктивность
в.
где R – сопротивление
г.
U - вектор фазовых переменных,
t - время, в частном случае возможное U=const
д.
U - вектор фазовых переменых,
I - м.б. I=const
Зависимая ветвь - ветвь, параметр которой зависит от фазовых переменных.
4) Каждому узлу схемы
соответствует определенное
В качестве фазовых переменных нужно выбирать такие величины, с помощью которых можно описывать состояния физических систем в виде топологических и компонентных уравнений.
В ЭВМ схема представляется в табличном виде на внутреннем языке.[2]
Граф электрических схем характеризуется топологическими матрицами, элементами которых являются (1, 0, -1). С помощью них можно написать независимую систему уравнений относительно токов и напряжений ветвей на основании законов Кирхгофа. Соединения ветвей с узлами описываются матрицей инциденции А. Число ее строк равно числу узлов L, а число столбцов - числу ветвей b. Каждый элемент матрицы a(i, j):
ì -1 - i-я ветвь входит в j-й узел,
a(i, j) = í 1 - i-я ветвь выходит из j-го узла,
î 0 - не соединена с j-м узлом.
Легко видеть, что одна строка матрицы линейно зависит от всех остальных, ее обычно исключают из матрицы, и вновь полученную матрицу называют матрицей узлов А. Закон Кирхгофа для токов с помощью этой матрицы можно записать в виде:
А* i = 0, (6)
где i - вектор, состоящий из токов ветвей.
Для описания графа схемы используют еще матрицы главных сечений и главных контуров. Сечением называется любое минимальное множество ветвей, при удалении которых граф распадается на 2 отдельных подграфа. Главным называется сечение, одна из ветвей которого есть ребро, а остальные - хорды. Главным контуром называется контур, образуемый при подключении хорды к дереву графа. Число главных сечений равно числу ребер, т.е. L-1, а число главных контуров - числу хорд m=(b-(L-1)). Матрицей главных сечений П называется матрица размерностью (L-1) * b, строки которой соответствуют главным сечениям, а столбцы - ветвям графа. Элементы матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-е сечение в соответствии с направлением ориентации для сечения; a(i, j)=-1, если входит, но против ориентации, и a(i, j)=0, если не входит в сечение.
Закон Кирхгофа для токов можно выразить с помощью матрицы главных сечений.
Пi = 0
Матрицей главных контуров Г называется матрица размерностью (b-(L-1))*b, строки которой соответствуют главным контурам, а столбцы - ветвям графа. Элемент этой матрицы a(i, j)=1, если j-я ветвь входит в i-й контур в соответствии с направлением обхода по контуру, -1, если ветвь входит в контур против направления обхода, и 0, если ветвь не входит в контур.
Закон Кирхгофа для напряжений выражается с помощью матрицы главных контуров в виде:
Пи = 0
Располагая в матрицах П и Г сначала столбцы, соответствующие ветвям-ребрам, а затем столбцы, соответствующие ветвям-хордам, можно записать:
П = [E, Пх] Г = [Гр, Е], (7)
где Пх содержит столбцы, соответствующие хордам; матрица Гр - столбцы, соответствующие ребрам, а Е - единичные матрицы [размерность матрицы Е, входящей в П, (L-1)*(L-1), а входящей в Г, (b-(L-1))*(b-(L-1))].
Матрицы Гр и Пх связаны следующим соотношением:
Гр = - Пxτ , (8)
где τ - знак транспонирования матрицы, или, обозначая Гр = F, получаем Пх = - Fτ.
Если для расчета электрической схемы за искомые переменные принять токи i и напряжения u ветвей, то уравнения:
Ai = 0 или Пi = 0 (9)
Гu = 0 Гu = 0
совместно с компонентами уравнений:
Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t) = 0, (10)
составят полную систему уравнений относительно 2b переменных.
То есть полная система в общем случае представляет собой набор обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.(в случае линейных схем).
Число переменных и уравнений можно уменьшить следующим образом. Токи ребер Ip и напряжения хорд Ux можно выразить через токи хорд Ix и напряжения ребер Up:
Ip = F * IxUx = - Fu, (11)
Если подставить эти уравнения в уравнение:
Fj(I,U,dI/dt,dU/dt,x,dX/dt,t) = 0, (12)
то число уравнений и переменных можно уменьшить до числа ветвей b.
Обозначения: L - число вершин (узлов),
b - число ветвей,
p - число ребер,
m - число хорд.
Для связного графа справедливы следующие отношения:
p = L – 1 , (13)
хорда - ребро, не вошедшее в дерево.
Оценим эффективность использования вышеописанных матриц описания схем с точки зрения размерности, для ЭВМ это проблема экономии памяти.
Пусть имеем: число вершин (узлов) L = 500, число ветвей b = 1000. Оценим размеры матриц:
Инцидентности:
L * b = 500 * 1000 = 500000, (14)
Главных сечений:
(L-1) * b = p * b = 499 * 1000 = 499000, (15)
Главных контуров:
(b-(L-1)) * b = (b-p) * b = (1000-(500-1)) * 1000 = (1000-499) * 1000= 501000, (16)
Из вышеприведенных вычислений следует, что для описания схемы выгоднее использовать матрицу главных сечений.
- Эквивалентная схема преобразуется в программу решения линейных дифференциальных уравнений.[10]
Для решения таких систем необходимо организовать итерационный процесс, решая на каждом шаге итераций систему линейных уравнений.
Схема организации вычислительного процесса:
- ввода, контроля, хранения,
накопления, редактирования и трансляции
описаний эквивалентных
- трансляции исходной информации. Заполнение массивов в соответствии с внутренней формой представления данных.
- решения систем уравнений
- построения макромоделей
эквивалентных электрических
- оптимизации схемы на основе вычисления ее выходных характеристик и параметров по модели;
- оптимизации схемы на основе вычисления ее выходных характеристик и параметров по макромодели.
- обработки и выдачи результатов
Задачи:
1. Получить АЧХ, ФЧХ (АФЧХ)
решением системы дифференциаль
2. Построить характеристики по АЧХ и ФЧХ
Построение модели эквивалентной схемы.
Модель схемы может быть построена в одном из 4-х координатных базисов:
1. ОКБ - однородный координатный базис
2. РОКБ - расширенный однородный координатный базис
3. СГКБ - сокращенный гибридный координатный базис
4. ПГКБ - полный гибридный координатный базис
1) Модель представляет
собой систему алгебро-интегро-
2) Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, в неявной форме.
Неизвестные величины:
3) Модель - система обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши (в явной форме). Неизвестные величины:
4) Теоретически существует, но на практике не используется, так как он избыточен. Неизвестные величины:
Для построения модели используются:
1) МУП - метод узловых потенциалов
2) ММУП - модифицированный МУП
3) МПС - метод переменных состояния
- ОКБ
Используются следующие матрицы:
С G L Y
На нулевом шаге все матрицы и векторы заполнены нулями.
Рассмотрим следующий элемент:
В матрице С рассматриваются i, j строки и столбцы.
При совпадении индексов элемент в матрицу включается со знаком “+”, а при несовпадении - со знаком “-”. В матрицу могут быть включены 4 или 1 элемент.
Рассмотрим следующий элемент:
i j
Принцип построения аналогичен матрице С.
Рассмотрим следующий элемент: i j
Принцип построения аналогичен матрице С.
Рассмотрим следующий элемент (зависимый источник тока, управляемый напряжением):
S
i
IU
k
S – крутизна
Принцип построения аналогичен матрице С.
Рассмотрим следующий элемент (независимый источник тока):
i
Этот вектор почти нулевой.
Принцип построения аналогичен матрице С.
Характеристики модели в ОКБ.
Достоинства:
1. Метод построения прост, обладает низкой трудоемкостью.
2. Матрицы, как правило, хорошо обусловлены, результатом чего является высокая точность решения.
Недостатки:
1. Используется только один вид зависимых источников;
2. Наличие интегральных уравнений.
2) Построение модели в РОКБ с помощью ММУП.
Цель - избавиться от интегральных уравнений и оставить только дифференциальные уравнения.
1. Записывается модель в ОКБ.
2. Избавляемся от интегральных членов уравнения ( вида 1/pL, т. к. 1/р - оператор интегрирования), преобразовывая их в новые неизвестные (например, токи).
Получим систему вида:
- вектора
С,G-матрицы.
Это система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами в неявной форме.
Решаем полученную систему.
Достоинства:
1. В модели могут быть любые типы источников.
2. Низкая трудоемкость (т. к. метод прост).
3. Отсутствуют интегральные уравнения.
Недостаток - выросла размерность решаемых задач.
Построение модели в СГКБ с помощью МПС.
dX(t)/dt=x(t)+C*Y(t) , (18)
X(0)=X0
МПС сложен для реализации. МПС можно построить, если в схеме нет топологических выражений (это контуры из емкостей или звезды из индуктивностей).
Чтобы выйти из этой ситуации, в схему вводят дополнительные элементы, но снижается точность вычислений.
X0(t0), X0(t0), X0(t0)... ;t=ti-ti-1 ;Xi=f(xi-1), (19)
Вывод: модели СГКБ имеют смысл, когда êlmaxï/ïlminï<= 100, где lmax и lmin - собственные значения матрицы (А - Е).
1.4. Определение частотных характеристик линейных эквивалентных схем.
Для большинства линейных схем характерными являются такие показатели, как добротность, полоса пропускания, равномерность усиления в некотором частотном диапазоне и другие, определяемые по АЧХ и ФЧХ.
Основными широко применяемыми при “ручных” расчетах схем являются методы операционного исчисления, и в частности, спектральный (частотный) метод Фурье.
С помощью преобразований Лапласа решения системы линейных дифференциальных уравнений переводятся в область комплексной переменной p=Y+jw, показываемой комплексной частотой.
Функция от t, к которой применено преобразование Лапласа, называется оригиналом, а соответствующая функция от р - изображением. Связь между ними определяется формулами:
F(p)=òf(t)*e-ptdt f(t)=1/2*пjòF(p)*eptdt, (20)
первые пределы:[0;бесконечность]
вторые пределы:[g-jw;l+jw]
Основная цель этих преобразований - сведение дифференциальных уравнений к чисто алгебраическим относительно комплексной частоты р. Так, при нулевых начальных условиях операция дифференцирования соответствует умножению на р-изображение, следовательно, при х0=0 уравнения системы:
х = Ах + f(t) х = х0 , (21)
х(t) - вектор переменных состояния,
А - матрица размерностью n x n,
х0 - вектор начальных значений.
будут иметь вид:
р Х(р) = А Х(р) - F(р) , (22)
а решение исходной системы вида:
х(t) = eAtx0 +òeA(t-s) f(S)dS, где еAt =S(At)k /k! (матричная экспонента) , (23)
будет иметь вид:
Х(р) = (рЕ - А)-1 * F(p) = K(p) F(p) , (24)
Так как выходные токи и напряжения линейным образом выражаются через переменные состояния и входные воздействия, то вектор выходных переменных z = Bx + Cf , где В, С - матрицы. Тогда матрица В (рЕ - А)-1 + С соответствует матричной передаточной функции, обозначаемой обычно К(р). Отношения любых переменных вектора неизвестных называются схемными функциями. Численный расчет или формирование аналитических выражений для схемных функций составляют основу задачи анализа линейных эквивалентных схем в частотной области. Согласно правилам Крамера, эти функции описываются линейной комбинацией отношений алгебраических дополнений матрицы А. Таким образом, в общем случае схемные функции есть дробно-рациональные выражения относительно комплексной частоты. Форма их представления называется символьной (буквенной), если коэффициенты при различных степенях р определены через параметры элементов схемы. Если коэффициенты получены в численном виде, то такую форму представления принято называть символьно-численной или аналитической.
