Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Построение графика зависимости признаков по теоретическим частота

ВВЕДЕНИЕ

В современном обществе важную роль в механизме управления экономикой выполняет статистика. Она осуществляет сбор, научную обработку, обобщение и анализ информации, характеризующей развитие экономики страны, культуры и уровня жизни населения. В результате предоставляется возможность выявления взаимосвязей в экономике, изучения динамики ее развития, проведения международных сопоставлений и в конечном итоге - принятия эффективных управленческих решений на государственном и региональном уровнях.

Поэтому в системе экономического образования особое место отводится изучению статистики - базовой научной дисциплины, формирующей профессиональный уровень современного экономиста.

Между наукой-статистикой и практикой существует тесная взаимосвязь: статистика использует данные практики, обобщает и разрабатывает методы проведения статистических исследований. В свою очередь, в практической деятельности применяются теоретические положения статистической науки для решения конкретных управленческих задач.

В данной контрольной работе были освещены основные методы статистики, владение которыми дает возможность качественно, быстро и точно систематизировать различные виды информации в единую совокупность знаний.

Цель контрольной работы - освоить методы статистики для их дальнейшего применения на практике в решении управленческих задач или для проведения маркетинговых исследований, что становится все более актуальным для российской экономики; а также научиться анализировать и делать выводы по различным экономическим признакам.

1. Виды и способы наблюдения.

Статистическое наблюдение представляет собой планомерный, научно-организованный сбор данных или сведений о массовых явлениях и процессах. Сбор массовой информации осуществляется с помощью оценки и регистрации признаков единиц изучаемой совокупности в соответствующих учетных документах.

Для уменьшения затрат и упрощения наблюдения нужно провести несплошное выборочное наблюдение совокупности банков, т.е. охватим лишь часть изучаемой совокупности, отобранной в случайном порядке.

По способу наблюдения выберем документальное наблюдение (учет) - наблюдение, когда источником сведений служат соответствующие документы финансовой отчетности. Этот способ наблюдения позволит снизить время наблюдения и является довольно точным методом, он также используется предприятиями и учреждениями при составлении отчетности на основе документов первичного учета. Эти данные можно получить как в самих банках, так и литературе, посвященной банковской деятельности.

Таблица 1 – Выборочная совокупность крупнейших банков России.

№ п/п	Название банка	Город	Кредитные вложения	Прибыль
1	Когалмнефтекомбанк	Когалым	252	38
2	Федеральный депозитный банк	Москва	201	3
3	Петроагропромбанк	С.-Петербург	276	33
4	Тюменский кредит	Тюмень	431	-2
5	Подольск-промкомбанк	Подольск	73	25
6	Вербанк	Москва	192	47
7	Банк инвестиций и сбережений	Москва	51	15
8	МБРР	Москва	368	9
9	Припускбанк	Тула	156	31
10	Сибирский банк	Новосибирск	253	8
11	Нижний Новгород	Н.новгород	68	17
12	Гагаринский	Москва	80	18
13	Восточно-Европейский инвестиционный банк	Москва	71	50
14	Воронеж	Воронеж	207	29
15	Ставрополье	Ставрополь	103	30
16	Колыма-банк	Магадан	66	92
17	Москомприватбанк	Москва	249	36
18	Нижегородский банкирский дом	Н. Новгород	122	43
19	Моснарбанк Лиметед	Москва	108	-9
20	Руссобанк	Москва	70	55
21	Экопромбанк	Пермь	64	0,5
22	Электробанк	Москва	183	7
23	СВА	Москва	34	6
24	Региобанк	Хабаровск	185	28
25	МЕНАТЕП Санкт-Петербург	С.-Петербург	110	20
26	Орбита	Москва	119	1
27	Реформа	Москва	198	11
28	Флора-банк	Москва	394	15
29	Бизнес	Москва	128	14
30	Ухтабанк	Ухта	49	22

2. Построение вариационных рядов распределения.

Для определения числа групп можно воспользоваться формулой Стерджесса:

где n – число групп;

N – число единиц в совокупности.

n = 1+3.322 lg30 = 5,90699 ≈ 6

Величина интервала определяется по формуле:

где Х_max - максимальное значение признака в ряду;

X_min – минимальное значение признака в ряду.

Например, величину интервала для вариационного ряда распределения банков (см. табл.1) по объему кредитных вложений равна:

(млн. руб.)

В таблице 2 приведена группировка банков по объему кредитных вложений.

Таблица 2 – Группировка банков по кредитным вложениям.

№ п/п	Группы банков по объему кредитных вложений, млн. руб.	Число банков
1	34-100	10
2	101-167	7
3	168-234	6
4	235-301	4
5	302-368	1
6	369-435	2
Всего	-	30

Для наглядного изображения рядов распределения строят следующие графики: гистограмму, полигон, кумуляту и огиву распределения. Для дискретного ряда распределения строят полигон, а для интервального – гистограмму.

3. Анализ вариационных рядов распределения.

Среднее значение в интервальном ряду распределения рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

где x_i –середина интервала усредняемого показателя;

n – число единиц (объем) совокупности;

f_i – частота, которая показывает как часто встречается значение признака в статистической совокупности.

Таблица 3 –Вспомогательная таблица для расчета средней арифметической величины по объему кредитных вложений

№ п/п	Группы банков по объему кредитных вложений, млн. руб.	Число банков, f_i	Середина интервала, x_i’	x_i’·f_i	Накопленная частота, S
1	34-100	10	67	670	10
2	101-167	7	134	938	17
3	168-234	6	201	1206	23
4	235-301	4	268	1072	27
5	302-368	1	335	335	28
6	369-435	2	402	804	30
Итого	-	30	-	5025	-

(млн. руб.)

Таким образом, средний объем кредитных вложений среди банков, представленных в выборочной совокупности, составляет 167,5 млн. руб.

Для характеристики структуры вариации рассчитывают структурные средние моду и медиану.

Мода – значение признака, которое наиболее часто встречается в ряду распределения. Для интервального ряда мода определяется по наибольшей частоте. Мода находится по формуле:

где x₀ – нижняя (начальная) граница модального интервала;

k – величина интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

(млн.руб.)

Медиана – значение признака, которое делит совокупность на две равные части, т.е. 50% единиц совокупности имеют значение меньше медианы, а остальные – больше медианы.

Для определения медианы рассчитывается ее порядковый номер по формуле:

где n – число единиц совокупности.

Затем рассчитывается накопленные частоты. После смотрят, какая из накопленных частот впервые превышает номер медианы. Медиану рассчитывают по формуле:

где x₀ – нижняя граница медианного интервала;

k – величина интервала;

∑f = n – число единиц совокупности;

S_Me-1 – накопленная частота (кумулятивная частота) интервала, предшествующего медианному;

f_Me – медианная частота.

(млн.руб.)

Степень близости данных отдельных единиц совокупности к средней величине измеряется рядом абсолютных и относительных показателей вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся:

размах вариации; среднее линейное отклонение;
дисперсия; среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака совокупности, и находится по формуле:

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю величину из отклонений значений признака от их средней величины, которое рассчитывается по формуле:

Таблица 4 – Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации по объему кредитных вложений.

№ п/п	Группы банков по объему кредитных вложений, млн. руб.	Число банков, f_i	Середина интервала, x_i’
1	34-100	10	67	100,5	1005	101002,5
2	101-167	7	134	33,5	234,5	7855,75
3	168-234	6	201	33,5	201	6733,5
4	235-301	4	268	100,5	402	40401
5	302-368	1	335	167,5	167,5	28056,25
6	369-435	2	402	234,5	469	109980,5
Итого	-	30	-	670	2479	294029,5

(млн.руб.)

Таким образом, средняя величина из отклонений значений объема кредитных вложений от их средней составляет 82,6 млн. руб.

Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия находится по формуле:

(млн.руб.)²

Таким образом, средний квадрат отклонений индивидуальных значений объема кредитных вложений от их средней величины составляет 9801 млн. руб.²

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т.е. корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Среднее квадратическое отклонение находится по формуле:

Найдем среднее квадратическое отклонение по объему кредитных вложений:

(млн. руб.)

Относительные показатели вариации в общем виде показывают отношение абсолютных показателей вариации к их средней величине.

К относительным показателям вариации относятся:

коэффициент осцилляции;
относительное линейное отклонение;
коэффициент вариации.

Коэффициент осцилляции находится по формуле:

Коэффициент осцилляции для выборки по объему кредитных вложений равен:

Относительное линейное отклонение рассчитывается по формуле:

Относительное линейное отклонение для выборки по объему кредитных вложений равно:

Коэффициент вариации характеризует однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации меньше либо равен 33%, иначе признается неоднородной. Коэффициент вариации определяется по формуле:

Тогда, коэффициент вариации для выборки по объему кредитных вложений равен:

Коэффициент вариации для выборки по объему кредитных вложений больше, чем 33% (равен 59,1 %), следовательно, совокупность неоднородна, а это означает, что среднее значение признака не является центром распределения.

4. Построение рядов распределения.

4.1 Определение количественных характеристик распределения (показателей асимметрии и эксцесса).

При анализе данных важно представить не только размер вариации, но и то, как распределены единицы совокупности по всему диапазону значений признака.

Показатели асимметрии и эксцесса используются для количественной оценки симметричности.

Для расчета показателя асимметрии используют формулу:

где M₃ – центральный момент третьего порядка;

σ – среднее квадратическое отклонение.

В свою очередь центральный момент третьего порядка рассчитывается по формуле:

Для того, чтобы определить, является ли асимметрия существенной или не существенной, рассчитывается отклонение показателя асимметрии к среднеквадратическому отклонению. Для этого используют соотношение: , где As – показатель асимметрии; - средняя квадратическая ошибка отклонения асимметрии, которая рассчитывается по формуле:

где n – число единиц в совокупности.

Данное соотношение меньше 3, из этого следует, что асимметрия признается несущественной.

В симметричных распределениях или распределениях с несущественной асимметрией рассчитывается показатель эксцесса. Расчет производится по следующей формуле:

где M₄ – центральный момент четвертого порядка;

σ – среднее квадратическое отклонение.

Момент четвертого порядка рассчитывается как:

Показатель эксцесса меньше 0, из этого следует что распределение плосковершинное.

4.2 Нахождение эмпирической функции, построение ее графика.

Построим графики эмпирического распределения банков в зависимости от выбранных признаков. Для этого по оси абсцисс необходимо откладывать середину интервала значения признака, а по оси ординат, соответствующие ей частоты.

4.3 Определение теоретических частот по закону нормального распределения. Построение графиков.

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем по специальным таблицам находится плотность распределения нормируемой случайной величины. Для этого используются следующие формулы:

где t – нормируемое отклонение.

Теоретические частоты находятся по формуле:

где f – эмпирические частоты;

k – величина интервала.

Определим теоретические частоты для выборки банков по объему кредитных вложений.

Таблица 5 – Расчет теоретических частот по объему кредитных вложений.

№ п/п	Группы банков по объему кредитных вложений, млн. руб.	Число банков, f_i	Середина интервала, x_i’			Теоретические частоты,
1	34-100	10	67	-1,02	0,2371	5
2	101-167	7	134	-0,34	0,3765	8
3	168-234	6	201	0,34	0,3765	8
4	235-301	4	268	1,02	0,2371	5
5	302-368	1	335	1,69	0,0957	2
6	369-435	2	402	2,37	0,0241	0
Итого	-	30	-	-	-	28

По найденным теоретическим частотам построим график теоретического распределения банков по объему кредитных вложений.

При совмещении графиков теоретического и эмпирического распределения получится следующее:

4.4 Проверка гипотезы о подчинение изучаемых признаков нормальному закону распределения.

Так как все предположения о характере распределения лишь гипотезы, а не категорические утверждения, то они должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью одного из критериев согласия. Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождение между частотами эмпирического и теоретического распределений следует признать несущественными, то есть случайными, а когда существенными (в тех случаях, когда неверно выдвинута гипотеза о законе распределения).

Для проверки гипотезы о подчинении изучаемых признаков нормальному закону распределения воспользуемся критерием Романовского, который рассчитывается по формуле:

где h – число групп;

l – число независимых параметров, которые необходимо знать, чтобы построить кривую теоретического распределения.

В свою очередь рассчитывается по формуле:

где f_i – эмпирические частоты распределения;

f_i' – теоретические частоты распределения.

Таблица 6 – Расчет значения критерия Пирсона для распределения по объему кредитных вложений.

№ п/п	Группы банков по объему кредитных вложений, млн. руб.	Эмпирические частоты, f_i	Теоретические частоты,
1	34-100	10	5	25	5
2	101-167	7	8	1	0,125
3	168-234	6	8	4	0,5
4	235-301	4	5	1	0,2
5	302-368	1	2	1	0,5
6	369-435	2	0	4	0
Итого	-	30	28	-	6,325

Рассчитаем значение критерия Романовского для распределения по объему кредитных вложений:

Так как критерий Романовского меньше 3 (равен 1,357), то гипотеза о распределении банков в зависимости от объемов кредитных вложений по закону нормального распределения принимается.

5. Оценка параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных.

Расхождение между генеральной и выборочной совокупностями измеряется средней ошибкой выборки, которая рассчитывается следующим образом:

где n – число единиц в выборочной совокупности;

N – число единиц в генеральной совокупности.

Среднюю ошибку необходимо знать для того, чтобы определить возможные пределы для средней генеральной совокупности

Суждение о том, что средняя в генеральной совокупности будет лежать в пределах можно гарантировать не с абсолютной точностью, а с некоторой вероятностью. Для этого рассчитывают предельную ошибку выборки по формуле: ,

где t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам.

Таким образом, показатели генеральной совокупности для генеральной средней при заданной вероятности определяются по показателям выборочной совокупности следующим образом:

Рассчитаем среднюю ошибку для выборки по объему кредитных вложений:

(млн.руб.)

Найдем предельную ошибку для выборки по кредитным вложениям, принимая вероятность равной 0,95. По таблице находим коэффициент доверия t, равный 1,96.

(млн.руб.)

Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя объемов кредитных вложений, принимают вид:

(млн.руб.)

6. Корреляционно-регрессионный анализ.

6.1. Отбор факторов в регрессионную модель.

Примем в качестве факторного признака объемы кредитных вложений, а в качестве результативного – прибыль. Данный выбор обусловлен спецификой банковской деятельности, где прибыль, в том числе, складывается и из процентов, за выданные кредиты.

6.2. Расчет парного коэффициента корреляции. Анализ зависимости между переменными.

Парный коэффициент корреляции можно вычислить по следующей формуле:

где n – число единиц в выборочной совокупности;

x_i – значение факторного признака;

y_i – значение результативного признака.

Таблица 7 – Расчет парного коэффициента корреляции для выборочной совокупности.

№ п/п	Название банка	Кредитные вложения, млн. руб. x_i	Прибыль, млн. руб. y_i	x_i²	y_i²	x_i·y_i
1	Нефтехимбанк	252	38	63504	1444	9576
2	Ланта-банк	201	3	40401	9	603
3	Совфинтрейд	276	33	76176	1089	9108
4	Еврофинанс	431	-2	185761	4	-862
5	Уралпромстробанк	73	25	5329	625	1825
6	МАПО-Банк	192	47	36864	2209	9024
7	Тори-Банк	51	15	2601	225	765
8	Петровский	368	9	135424	81	3312
9	Нефтепромбанк	156	31	24336	961	4836
10	Оргбанк	253	8	64009	64	2024
11	Евразия-Центр	68	17	4624	289	1156
12	Гарантия	80	18	6400	324	1440
13	Промрадтехбанк	71	50	5041	2500	3550
14	Металлинвестбанк	207	29	42849	841	6003
15	Прио-Внешторг-банк	103	30	10609	900	3090
16	Камчаткомагропром-банк	66	92	4356	8464	6072
17	Тайдон	249	36	62001	1296	8964
18	Роспромстройбанк	122	43	14884	1849	5246
19	Тагилбанк	108	-9	11664	81	-972
20	Подольск-промкомбанк	70	55	4900	3025	3850
21	Мосстройбанк	64	0,5	4096	0,25	32
22	Волгопромбанк	183	7	33489	49	1281
23	Нижний Новгород	34	6	1156	36	204
24	Ставрополье	185	28	34225	784	5180
25	Колыма-банк	110	20	12100	400	2200
26	Экопромбанк	119	1	14161	1	119
27	Преображение	198	11	39204	121	2178
28	Краснодарбанк	394	15	155236	225	5910
29	МЕНАТЕП Санкт-Петербург	128	14	16384	196	1792
30	Ноябрьск-нефте-комбанк	49	22	2401	484	1078
Итого		4861	692,5	1114185	28576,25	98584

Таким образом, парный коэффициент корреляции будет равен:

Парный коэффициент корреляции, равный -0,21247, показывает, что связь между факторным признаком, т.е. объемом кредитных вложений, и результативным, т.е. прибылью, обратная (так как коэффициент имеет отрицательное значение), и практически отсутствует (что определилось по шкале количественных характеристик тесноты связи Чеддока – 0,1-03 – слабая корреляционная связь).

6.3. Построение уравнения однофакторной регрессии с использованием метода наименьших квадратов.

Определим вид зависимости между объемом кредитных вложений и размером прибыли, используя графический метод.

По графику можно предположить, что зависимость прибыли от объема кредитных вложений все больше приближается к уравнению прямой. Следовательно, сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретических принимает вид:

В этом случае коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по формулам:

Рассчитаем данные коэффициенты:

Таким образом, уравнение регрессии принимает вид:

6.4 Проверка значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции.

Поскольку анализ взаимосвязей между явлениями проводят в выборочной совокупности, а данные необходимо обобщить на всю генеральную совокупность, то необходимо проверить коэффициенты уравнения регрессии на статистическую значимость.

При объеме выборки меньше или равном 30 единицам значимость коэффициентов уравнения регрессии определяют с помощью t-критерия Стьюдента, который находится по формуле (для коэффициента a):

где a – коэффициент уравнения регрессии;

n – число единиц совокупности;

- остаточное среднее квадратическое отклонение, которое отображает вариацию результативного признака (y) от всех прочих, кроме факторного признака (x), которое находится по формуле:

где y_i – эмпирические значения результативного признака;

- теоретические значения результативного признака, найденные по уравнению регрессии;

n – число единиц в совокупности.

Проверка значимости для коэффициента b осуществляется по формуле:

Построение графика зависимости признаков по теоретическим частота