Построение и анализ качества регрессионной модели (Германия)

    БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

    Экономический факультет 

    Кафедра банковской и финансовой экономики 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Построение  и анализ качества регрессионной  модели

    (Германия) 
 

    Курсовой  проект 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    студента 3 курса

    отделения «Финансы и кредит» 
 

    Научный руководитель

    Рогозин С.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Минск, 2010 г

Реферат 

В данной работе была исследована совокупность данных и построена эконометрическая модель. В ходе работы было доказано, что большее влияние на поведение GDP оказывает Export, в то время как влияние ExRate незначительное. Проверка построенных моделей на соответствие предпосылкам МНК проводилась при помощи ряда тестов. Поэтому материалы данной работы можно использовать также и для сравнения простоты использования, трактовки результатов и итогов различных тестов. 

Введение 

В курсовой работе для исследования предлагалась выборка временных данных по Германии (квартальные данные с 2000 по 2007 г). В качестве переменных были  выбраны:

ВВП(GDP), экспорт товаров и услуг(Export) и эффективный обменный курс евро к национальной валюте(ExRate).

Выбор данных переменных экономически обоснован: существует прямая зависимость между изменением показателя ВВП и валютного курса: при росте ВВП  растет валютный курс. Кроме того, если ВВП растет, это говорит о том, что общее состояние экономики хорошее, наблюдается увеличение промышленного производства, приток зарубежных инвестиций в экономику, рост экспорта.

Вышеперечисленные факты позволяют с уверенность  утверждать, что  между выбранными переменными существует взаимосвязь.

   Целью данной курсовой работы является построение оптимальной эконометрической модели и проведение ее анализа.

   В соответствии с  поставленной целью  выдвигаются следующие задачи:

• Построение эконометрической модели с помощью МНК;
• оценка общего качества модели;
• проверка модели на соответствие предпосылкам МНК.

В ходе исследования предполагается выполнить  ряд тестов, в частности тест Вайта, Чоу, вычислить значение статистики Дарбина-Уотсона и т.д.

Анализ  и методы 

1. В первую очередь проведем описательную статистику каждой из переменных:

• GDP

Квариации=  Стандартное отклонение/ Среднее =0,056 

Коэффициент вариации для данной переменной имеет  небольшое значение(<10%), следовательно, изменчивость вариационного ряда незначительна. Данное утверждение можно также подтвердить с помощью графика: 

На графике  также не наблюдается заметных отклонений, выбросов и т.д. 

• Export

Квариации = 0,18 
 

Коэффициент вариации указывает на среднюю изменчивость данного ряда(10%< 18% <20%).Действительно, на графике нет явных выбросов, однако величина экспорта увеличивается по мере увеличения количества наблюдений, а не остается постоянно на всем промежутке. 

• ExRate

Квариации= 0,97 

Как и  в случае с переменной GDP, коэффициент вариации указывает на незначительную изменчивость ряда. График переменной подтверждает данное утверждение.  

Описательная  статистика переменных показала, что для всех рядов характерна низкая изменчивость, т.е. они достаточно стабильны. Такое предположение подтверждается и с точки зрения экономической теории. Наиболее изменчивыми являются показатели экспорта (т.к. зависят от множества факторов: предпочтений, доходов и т.д.), в то время как GDP и обменный курс - относительно постоянны.

2. Исследуем наличие зависимости между переменными. Для этого построим корреляционную матрицу(матрицу парных коэффициентов между переменными):

По результатам  данной матрицы  между всеми переменными  объясняющими переменными и GDP существует сильная взаимосвязь (парные коэффициенты >0,7), следовательно, возможно построение качественной модели с использованием этих рядов. Высокий парный коэффициент между Export и ExRate (т.е. между двумя объясняющими переменными) может свидетельствовать о наличии мультиколлинеарности в будущей модели.

3. Построим эконометрическую модель по методу наименьших квадратов (используем пакет анализа в Excel)(см.приложение 1):

GDP= 369831+ 0,71689*Export+ 272,594*ExRate

(s)       (19579,8)      (0,07364)                (281,375)

(t)         18,8884        9,73475                   0,96879 

Проанализируем полученное уравнение: свободный член- значение ВВП без учета факторов экспорта и обменного курса. Коэффициент при Export значительно меньше коэффициента при ExRate, однако это не указывает на незначимость первой переменной, а объясняется разными единицами измеренения.  

    4. С помощью Excel были получены основные статистические характеристики переменных:

                b0              b1                  b2

(s)       (19579,8)      (0,07364)        (281,375)

(t)         18,8884        9,73475           0,96879 

R-квадрат  = 0,90481;  

Используя эти значения, вычислим некоторые  другие характеристики: 

а) R-квадрат = 1-(RSS/TSS) = 0,9039 

б) Скорректированный R-квадрат = 1-(RSS/TSS)/((n-1)/(n-m-1)) =0,898 (совпадает со значение из таблицы) 

в) статистика Дарбина-Уотсона(см. приложение 2): 

DW=Ʃ(e-e(-1))^2/Ʃe^2= 4873762139/ 2798510921 = 1,74155552 

5. Определим 95%-ные доверительные интервалы коэффициентов: 
 

369830,8+ 19579,79* 2,45< b0< 369830,8- 19579,79* 2,45

   b0              S               t 

321860,3159 < b0 < 417801,2803 

0,536463848 <b1 < 0,897309622 

-416,7743698 <b2<  961,9616446 

6. Проведем анализ качества построенной модели:

• t-статистика коэффициента b1 указывает на очень сильную взаимосвязь между GDP и Export( по грубому правилу t-статистика > 3); t-статистика коэффициента b2 указывает на  очень слабую взаимосвязь между GDP и Export в данном уравнении( по грубому правилу t-статистика < 1)
• аналогичные выводы можно сделать и используя P-значения: коэффициент b1 значим на любом уровне значимости(P=0), а коэффициент b2 является незначимым (a < P=0,34)
• значение R- квадрат для данной модели очень высокое, т.е. Export и Exrate более, чем на 90% объясняют поведение GDP.

Исходя  из вышеперечисленных фактов, можно  утверждать, сто хотя качество модели достаточно высокое, переменная ExRate-статистически незначима, а следовательно модель требует корректировки.

      Кроме того, необходимо проверить  модель на адекватность (соответствие предпосылкам МНК). 

     7.  Для начала проверим модель на наличие автокорреляции. Так как в данной работе исследуются временные ряды, то вероятность наличия этой проблемы очень высокая. 

Для проверки используем 3 метода: 

1. статистика  Дарбина-Уотсона. Значение статистики уже было вычислено в 4 пункте:

DW= 1,74155552.

 По  “грубому” правилу автокорреляции  остатков в данной модели нет ( т.к. 1,5 <1,74< 2,5) 

2. метод рядов. Для начала определим количество положительных и отрицательных отклонений модели (см. приложение 3). Затем найдем количество рядов ( непрерывных последовательностей  одинаковых знаков).

Пусть n- объем выборки;

          n1- количество положительных отклонений

 n2 – количество отрицательных

k- количество рядов 

По таблице  критических значений для нахождения АК по методй рядов, определим нижние и верхние границы k.

В нашем  случае

N=32

N1=17

N2=15

K=16

k1= 11; k2=23 

Следовательно k1< k < k2 и автокорреляция остатков данной модели отсутствует. 

С) графический  метод (путем построения графиков зависимости e от e(-1)):

Найдем, в каких четвертях главным образом сосредоточены точки на графике: 

Преобладание  точек в 1 и 3 четвертях указывает  на наличие положительной линейной зависимости между отклонениями в момент времени t и в предыдущий момент времени (t-1), т.е. на положительную автокорреляцию в модели. 

8.Проверим построенную модель на наличие гетероскедастичности остатков путем проведения теста Парка. Хотелось бы отметить, что данная проблема в основном характерна для пространственных (перекрестных)данных, а значит вероятность обнаружения гетероскедастичности невысокая. 

Смысл теста Парка состоит в том, что если в модели присутствует гетероскедастичность, то можно предполагать наличие линейной зависимости между объясняющими переменными и оценкой дисперсии  отклонений.

Для того, чтобы однозначно трактовать полученные результаты, построим два отдельных уравнения регрессии для каждой из объясняющих переменных (см. приложение: 

Export 

Коэффициент b1 – незначим как по грубому правилу t-статистики(<1), так и при анализе P-значения (незначим фактически на любом уровне значимости, a<P). Следователь не существует взаимосвязи между остатками и переменной,т.е. отсутствует гетероскедастичность. 

ExRate 

Коэффициент b1 в данном случае слабо взаимосвязан с GDP. Тем не менее, коэффициент статистически не значим(a<P), а следовательно гетероскедастичность не выявлена. 

9. Проверим  модель на соответствие третьей предпосылке- отсутствии мультиколлинеарности. 

Как и  предполагалось при анализе корреляционной матрицы, в модели присутствует мультиколлинеарность(высокий  частный коэффициент корреляции). 

10. проверим  модель на наличие точки разрыва.  В целом, при анализе графиков и проведении описательной статистики, была подтверждена равномерность рядов, отсутствие точек разрыва и выбросов.

Используем  для подтверждения результаты теста  Чоу.

Для начала, предположим, что разрыв наблюдается на 17 наблюдении. Разделим выборку на две части и найдем для каждой из них значение RSS(RSS для выборки в целом было найдено в предыдущих пунктах): 

RSS0= 2885020830

RSS1=1049108196

RSS2=1223780256

Рассчитаем  по формуле F наблюдаемое и сравним с F статистич. из таблицы: 

Fн = ((RSS0-RSS1-RSS2)/(RSS1+RSS2))*((n-2(m+1))/(m+1))= 2,334099

Fст = 8,64 

Fн < Fст , следовательно принимаем гипотезу об отсутствии необходимости разбиения, т.е. об отсутствии точки разрыва. 

11.

Скорректируем уравнение путем удаления незначимой переменной ExRate(имеет наименьшее значение t-статистики).

Построим  новую модель с помощью Excel(приложение 6). 

GDP= 386019 + 0,7721*Export 

Проведем  анализ новой модели: t-статистика коэффициента b1 указывает на наличие очень сильной взаимосвязи; R-высокий(переменная Export на 90% объясняет поведение GDP); помимо этого, можно предположить, что в новой модели также отсутствует автокорреляция и гетероскедастичность. Следовательно, модель 2 является качественной и адекватной.

Таким образом, можно утверждать, что путем исключения переменной исходная модель была улучшена.

Проверим  последнее утверждение с помощью  F-статистики. Для проверки используем гипотезу, предполагающую, что объяснение поведения эндогенной переменной будет адекватнее у новой(короткой) регрессии.

Рассчитаем  значение F-статистики: 

Fн =( ( R1^2-R2^2)/k)/(1-R^1)/(n-m-1)= 0,939 

Fст = 62,3

Fн< Fст , следовательно принимаем нулевую гипотезу о том, что RSS обеих моделей равны, а значит исключение переменной является целесообразным. 

Выводы 

В ходе исследования была достигнута цель работы: построена качественная эконометрическая модель и проведен ее детальный анализ. Оптимальной по итогам оказалась вторая модель( зависимость GDP от Export), которая была получена путем исключения незначимой переменной. Обоснованность исключения была также подтверждена по итогам F-статистики.

Помимо  проведения анализа значимости переменных, модель была исследована на соответствие предпосылкам МНК. Выяснилось, что в построенной модели тесты не выявили наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Для выявления  вышеупомянутых недостатков в работе был использован ряд тестов (в частности для исследования автокорреляции). Все тесты опровергли наличие автокорреляции остатков, однако наиболее простым в использовании и трактовке результатов оказался графический метод(тем не менее данный метод может дать неоднозначные результаты в других случаях). 
 
 

Приложение 

1)