Построение исходной модели № 1 и ее анализ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Известно, что на совершение человеком каких-либо преступлений в обществе влияет совокупность факторов, причем между определенными показателями существует значимая связь. Например, изменение покупательная способность населения зависит от изменения объема денежных доходов населения. Тенденция изменения количества и состава преступлений среди некоторых категорий граждан, например, зависит от изменения их денежных доходов и от социального статуса (безработица). В связи с этим возникает вопрос, каким образом можно спрогнозировать результат изменения одного показателя с учетом тенденции изменения других показателей?

Одним из таких методов является использование инструментов эконометрики. Эконометрика как научная дисциплина расположена на стыке экономики, статистики и математики. Обычно в качестве ее основных задач выделяют обнаружение и анализ статистических закономерностей, построение на базе выявленных эмпирических зависимостей эконометрических моделей.

Методологическая особенность  эконометрики заключается в применении общих гипотез о статистических свойствах экономических параметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могут оказаться нетождественными тому содержанию, которое вкладывается в реальный объект. Поэтому важная задача эконометрики – создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых характеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы «подгонки» формальной модели с целью наилучшего имитирования ею поведения моделируемого объекта на основе гипотезы о том, что отклонение модельных параметров от реально наблюдаемых случайны и вероятностные характеристики их известны

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель – модель факторного анализа, параметры которой оцениваются средствами математической статистики. Такая модель выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов на основе реальной статистической информации.

Поскольку разновидностей преступлений в настоящее  время существует великое множество, то для упрощения построения эконометрической модели выбраны только данные по количеству грабежей всех регионов Российской Федерации.

Цель  данной курсовой работы построить оптимальную  эконометрическую модель зависимости количества грабежей от некоторых основных факторов.

Статистические данные о количестве грабежей в том или ином регионе взяты с информационного сайта сети Интернет «Россия в цифрах», причем из рассмотрения была исключена Чеченская Республика, поскольку данных по указанному региону в базе данным не имеется.

1. Построение исходной модели № 1 и ее анализ

Построение исходной модели № 1 основано на данных по количеству грабежей в регионах Российской Федерации (таблица в приложении 1).

Количественное влияние отдельных  факторов на грабежи можно определить с помощью корреляционно-регрессионного анализа. Уравнение множественной регрессии по обследованным регионам Российской Федерации имеет следующий вид:

Исходное уравнение множественной линейной регрессии (как оценка модели) в общем виде может быть записано как

y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₄ + b₅x₅ + b₆x₆,

где  

у – количество грабежей в год;

х₁ – средний денежный доход населения (руб.);

х₂ – стоимость основных фондов (млн. руб.);

х₃ – валовой региональный продукт (млн. руб.);

х₄ – процент городского населения в регионе (%);

х₅ – количество женщин на 1000 мужчин (чел);

х₆ – уровень безработных по отношению к экономически активному населению (%);

а   – оценка свободного члена  уравнения регрессии;

b_k – оценки коэффициентов регрессии при переменных x_k.

Рассчитаем параметры модели.

В Excel существует встроенная функция, которая позволяет  проводить анализ множественной регрессии, вычислять значения коэффициентов для уравнения множественной регрессии и определять некоторые другие характеристики регрессии взаимосвязанных показателей (например, значение дисперсии).

Для того чтобы воспользоваться встроенной функцией, необходимо внести данные наблюдений показателя, который необходимо прогнозировать, в ячейки рабочего листа Excel, например, в столбец B (B2:B89). Данные наблюдений связанных показателей за аналогичный период времени внесем в соседние ячейки, в столбцы B, C, D, Е, f, G, H (в зависимости от количества связанных показателей). Далее, в меню «Сервис» выберем «Анализ данных». В открывшемся диалоговом окне выберем инструмент «Регрессия». Нажмем «ОК». В диалоговом окне инструмента «Регрессия» введем входной интервал Y – интервал с данными наблюдений прогнозируемого показателя (В2:В89). Входной интервал Х – полностью весь интервал с данными наблюдений всех связанных показателей, например, С2:Н89. Нажмем «ОК». В новом листе (если выбрать параметры вывода – новый рабочий лист) появятся итоги регрессионного анализа взаимосвязанных показателей.

На  основе данных полученного анализа  можно построить уравнение множественной регрессии. В качестве коэффициентов уравнения будут значения, полученные в столбце «Коэффициенты» самой нижней таблицы анализа. А0 – «Y – пересечение», В1 – Вn – значения для соответствующих переменных «Х1 –Хn». Используя полученное уравнение, можно определить прогнозное значение исследуемого показателя на любой будущий период, подставляя вместо переменных Х1 – Хn планируемые значения предсказуемых связанных показателей.

Результаты  оценки модели представлены в приложении 2.

Получили следующее уравнение  модели № 1:

y = 4953,011 -0,839x₁ + 0,006x₂ + 0,004x₃ + 30,270x₄ - 4,497x₅ -25,061x₆,

Составим график для сравнения  эмпирических (исходных) и расчетных (прогнозируемых) значений количества грабежей по регионам по уравнению модели № 1 (приложение 3).

Из графика видно, что модель наиболее хорошо прогнозирует регионы: Адыгея, Карачаево-Черкессия, Карелия, Коми-Пермяцкий автономный округ, Ивановская область, Мурманская область. Наименее хорошо спрогнозированными оказались следующие регионы: Иркутская область, г. Санкт-Петербург, г. Москва, Нижегородская область, Пермская область, Свердловская область, Челябинская область.

Для улучшения качества модели необходимо ввести фиктивную переменную D, значения которой равно 1 для плохо прогнозируемых регионов, и 0 – для остальных.

Дисперсионный анализ множественной  регрессии проводится в таблицах вида (см. приложение 2):

Таблица 1

Таблица дисперсионного анализа регрессии

Здесь MSR = SSR/m и MSE = SSE/(n-m-1) – оценки дисперсии , рассчитанные в разных условиях и сравниваемые затем на основе критерия Фишера.

Вернемся еще раз к MSE. Этот показатель является одной из характеристик точности уравнения регрессии. По – другому его называют остаточной дисперсией и обозначают S _ост.. Как отмечалось, MSE является несмещенной оценкой дисперсии .

MSE также используется при вычислении других показателей точности уравнения регрессии. Например, корень квадратный из MSE называется стандартной ошибкой оценки по регрессии (S_y,x) и показывает, какую ошибку в среднем мы будем допускать, если значение зависимой переменной будем оценивать по оцененному уравнению регрессии на основе известных значений независимых переменных. Имеем:

Кроме того, этот показатель в неявном виде участвует  в определении еще одного показателя точности уравнения множественной регрессии, а именно коэффициента множественной детерминации (R²). Как известно,

или после преобразований

Отсюда следует, что коэффициент множественной детерминации показывает долю вариации результирующего показателя, обусловленную вариацией включенных в уравнение регрессии независимых переменных, или, иными словами, обусловленную регрессионной зависимостью.

Коэффициент множественной детерминации обычно выражают в процентах, поэтому, например, для модели № 1 R² = 62,8 %, то это означает, что изменение зависимой переменной на 62,8 % объясняется изменением включенных в уравнение регрессии независимых переменных, а остальные 37,2 % изменения зависимой переменной обусловлено изменением неучтенных факторов, в том числе и ошибками.

Корень квадратный из коэффициента множественной детерминации является коэффициентом множественной корреляции:

Коэффициент множественной корреляции показывает тесноту линейной корреляционной связи между зависимой переменной и всеми независимыми переменными. По сути дела, это коэффициент корреляции между фактическими и расчетными значениями зависимой переменной.

Коэффициент множественной  детерминации R² изменяется от нуля до единицы, и равен единице, если SSE = 0, т. е. когда связь линейная функциональная, и равен нулю, если SST = SSE, т. е. когда связь отсутствует.

Значимость коэффициента множественной детерминации определяется на основе критерия Фишера:

с m степенями свободы числителя и (n–m–1) степенями свободы знаменателя.

Известно, что  коэффициент множественной детерминации является завышенной оценкой точности уравнения регрессии, поэтому  разработана преобразованная форма этого коэффициента, имеющая вид:

или, после преобразования:

                               .

Здесь – исправленное c учетом степеней свободы значение коэффициента множественной детерминации (adjusted for df).

Из определения коэффициента множественной  детерминации следует, что он будет  увеличиваться при добавлении в уравнение регрессии независимых переменных, как бы слабо не были они связаны с независимой переменной. Следуя этой логике, в уравнение регрессии для увеличения точности отражения изучаемой зависимости может быть включено неоправданно много независимых переменных. Точность уравнения при этом может увеличиться незначительно, а размерность модели возрасти так, что ее анализ будет затруднен. Для преодоления этого недостатка и был разработан исправленный (на число степеней свободы) коэффициент множественной детерминации. В отличие от , будет убывать, если в уравнение регрессии будут добавляться незначимые независимые переменные.

Исправленный коэффициент позволяет  избежать переоценки независимой переменной при включении ее в уравнение регрессии. Если добавление переменной приводит к увеличению , то включение ее в уравнение регрессии оправдано, в противном случае – нет

Коэффициент множественной детерминации модели (см. приложение 2) указывает на то, что связь между изучаемыми факторами характеризуется как заметная.

2. Построение улучшенной модели № 2 и ее анализ

Итак, для расчета модели № 2 необходимо ввести фиктивную переменную D, значения которой равно 1 для плохо прогнозируемых регионов, и 0 – для остальных.

Уравнение множественной линейной регрессии (как оценка модели) в общем виде может быть записано как

y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₄ + b₅x₅ + b₆x₆ + b₇x₇.

где  

у – количество грабежей в год;

х₁ – средний денежный доход населения (руб.);

х₂ – стоимость основных фондов (млн. руб.);

х₃ – валовой региональный продукт (млн. руб.);

х₄ – процент городского населения в регионе (%);

х₅ – количество женщин на 1000 мужчин (чел);

х₆ – уровень безработных по отношению к экономически активному населению (%);

х₇ – фиктивный параметр D;

а   – оценка свободного члена  уравнения регрессии;

b_k – оценки коэффициентов регрессии при переменных x_k.

Рассчитаем  параметры модели.

В меню «Сервис» выберем «Анализ данных». В открывшемся диалоговом окне выберем инструмент «Регрессия». Нажмем «ОК». В диалоговом окне инструмента «Регрессия» введем входной интервал Y – интервал с данными наблюдений прогнозируемого показателя (В2:В89). Входной интервал Х – полностью весь интервал с данными наблюдений всех связанных показателей, например, С2:I89 (добавился столбец для фиктивной переменной D). Нажмем «ОК». В новом листе (если выбрать параметры вывода – новый рабочий лист) появятся итоги регрессионного анализа взаимосвязанных показателей.

Результаты  оценки модели представлены в приложении 4.

Получили следующее уравнение  модели № 2:

y = 6346,718 -0,757x₁ + 0,004x₂ + 0,003x₃ + 22,408x₄ – 5,303x₅ -24,381x₆ + 3122,136x₇.

Составим график для сравнения  эмпирических (исходных) и расчетных (прогнозируемых) значений количества грабежей по регионам по уравнению модели № 2 (приложение 5).

Анализ модели показывает, что значение множественного коэффициента детерминации увеличилось до 0,834, то есть связь между показателями стала характеризоваться как сильная. Значимость модели также увеличилась с F = 22,788 до F = 57,652.

Продолжим анализ точности уравнения регрессии. Как уже  отмечалось, при проверке значимости уравнения регрессии проверяется гипотеза о том, что все коэффициенты модели регрессии равны нулю. Если нулевая гипотеза отклоняется, то это означает, что не все коэффициенты в модели регрессии равны нулю и тогда встает вопрос о проверки значимости каждого коэффициента регрессии в отдельности.

Такая проверка осуществляется на основе статистик Стьюдента, вычисленных для свободного члена и для коэффициентов регрессии.

Статистика Стьюдента для свободного члена и коэффициентов уравнения регрессии равна:

=  b_k / ,

где – стандартные ошибки соответствующих оценок.

Будем считать, что b₀ =a, тогда

= MSE [(X^TX)^-1] _kk , (k=0,1,…,m).

Здесь [(X^TX)^-1] _kk является соответствующим диагональным элементом матрицы (X^TX)^-1 .

В случае мультиколлинеарности определитель матрицы (X^TX) близок к нулю, поэтому стандартные ошибки  коэффициентов регрессии существенно увеличиваются. При этом коэффициенты регрессии теряют свою познавательную ценность.

При компьютерных расчетах вместе со статистикой Стьюдента для каждой оценки параметров уравнения регрессии вычисляется и выборочный уровень значимости или р-величина. По ее значению и определяется значимость каждой оценки параметров уравнения регрессии.

Рассчитаем для переменных матрицу  парных коэффициентов корреляции.

Анализ матрицы парных коэффициентов  корреляции с учетом для каждого коэффициента корреляции р-величины показывает, что:

- значимыми являются пять переменных: х1 (денежные доходы), х2 (основные фонды), х4 (% городского населения), х5 (женщин на 1000 мужчин), х7 (D) - для них расчетные уровни значимости меньше 0,05;

- мультиколлинеарность присутствует  для переменной х3 (валовой 
региональный продукт), так общеизвестно, что валовой региональный продукт зависим от стоимости основных фондов (коэффициент корреляции между валовым региональным продуктом и стоимостью основных фондов равен  0,8162, что больше 0,8). Переменную х3 необходимо из модели исключить.

- для переменной х6 ( число безработных  в % от экономически активного населения) все коэффициенты регрессии отрицательны, то есть регрессия обратная. Таким образом, можно заключить, что переменная х6 не влияет на количество грабежей.

Делаем вывод, что необходимо построить окончательную модель № 3 уже без переменных х3 (валовой региональный продукт) и х6 (число безработных в % от экономически активного населения). Поэтому строим новую эконометрическую модель № 3.

3. Построение окончательной модели  № 3 и ее анализ

Итак, для расчета модели № 3 необходимо исключить переменные х3 (валовой региональный продукт) и х6 (число безработных в % от экономически активного населения), как незначимые.

Уравнение множественной линейной регрессии (как оценка модели) в общем  виде может быть записано как

y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₄x₄ + b₅x₅ + + b₇x₇.

где  

у – количество грабежей в год;

х₁ – средний денежный доход населения (руб.);

х₂ – стоимость основных фондов (млн. руб.);

х₄ – процент городского населения в регионе (%);

х₅ – количество женщин на 1000 мужчин (чел);

х₇ – фиктивный параметр D;

а   – оценка свободного члена уравнения регрессии;

b_k – оценки коэффициентов регрессии при переменных x_k.

Результаты  оценки модели представлены в приложении 6.

Получили следующее уравнение  модели № 3.

y = 4465,224 - 0,570x₁ + 0,005x₂ + 19,541x₄ – 3,943x₅ + 3159,012x₇.

Составим график для сравнения  эмпирических (исходных) и расчетных (прогнозируемых) значений количества грабежей по регионам по уравнению модели № 3 (приложение 7).

Анализ модели показывает, что значение множественного коэффициента детерминации почти не изменилось и равно 0,824. таким образом, полученная модель в дальнейшем улучшении не нуждается. Связь между показателями характеризуется как сильная. Значимость модели увеличилась до F = 76,740, р-величины для каждого из факторов меньше, чем 0,05, что говорит о значимости всех переменных, входящих в модель.

Делаем вывод, что модель № 3 в улучшении не нуждается.

Приведем интерпретацию коэффициентов  уравнения множественной регрессии.

Свободный член уравнения регрессии обычно не интерпретируется.

Коэффициенты уравнения множественной  регрессии при каждой переменной показывают, насколько в среднем изменится значение зависимой переменной (в своих единицах измерения) – количество грабежей, если значение соответствующей независимой переменной изменится на единицу (в своих единицах измерения) при фиксированных значениях других переменных. Но это верно лишь в случае построенной модели № 3, так как выполняется основная предпосылка регрессионного анализа, – факторные переменные не зависят между собой (только в этом случае можно изменить значение одной переменной, оставив без изменения другие). В случае же существования взаимозависимости объясняющий переменных смысл коэффициентов уравнения регрессии искажается. А в случае мультиколлинеарности коэффициенты уравнения регрессии вообще теряют какой-либо смысл.

При фиктивной переменной, равной 0, модель имеет вид:

y = 4465,224 - 0,570x₁ + 0,005x₂ + 19,541x₄ – 3,943x₅.

Графическая интерпретация показана в приложении 8.

При фиктивной переменной, равной 1, модель имеет вид:

y = 7624,236 - 0,570x₁ + 0,005x₂ + 19,541x₄ – 3,943x₅.

Графическая интерпретация показана в приложении 9.

Заключение

В результате проведенной работы был произведен статистический анализ исходных данных, полученных при исследовании основных показателей регионов Российской Федерации по количеству грабежей с целью выявления доминирующих факторов влияющих на количество грабежей и построена адекватная эконометрическая модель, которая 2 раза требовала улучшения.

Для сравнения  параметры всех трех моделей сведены  в таблицу.

Процесс прогнозирования не так прост, как может показаться на первый взгляд, и связан с множеством сложностей. Чтобы сделать более или менее точный прогноз, необходимо, в первую очередь, тщательно собрать данные всех показателей, которые будут использоваться в прогнозировании. Необходимо выбрать наиболее подходящий подход в прогнозировании каждого конкретного показателя. Даже, если кажется, что все сделано правильно, нельзя забывать, что условия имеют свойство неожиданно меняться, превращая прогноз в слепую догадку. Чем большее количество переменных используется в процессе прогнозирования, тем больше шансов увидеть будущую тенденцию развития исследуемого процесса. Кроме того, изменения в одном прогнозе могут служить подсказкой, что другой прогноз может также измениться.

Список литературы

1. Айвазян С. А., Мхаторян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ. 2004.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1999.
3. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Высшая школа, 2003.
4. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука, 1999.
5. Лотов А.В. Введение в экономико-математические моделирование. М.: Наука, 2004.
6. Практикум по эконометрике. / Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика. 2002.
7. Россия в цифрах. http://www.sci.aha.ru/cgi-bin/regbase.pl

Приложение 1. Исходные данные для  построения эконометрической модели