Построение математической модели

          Введение

 

Научно-техническая революция  конца XIX – начала XX века дала толчок развитию новых отраслей производства, новых технологий. Появившиеся высокоскоростные средства передачи различной информации и уровень научно-технического прогресса утопили мир в море информации.

Ни одна из современных  наук не может обойтись без ЭВМ. Многие научные открытия стали возможны лишь благодаря использованию вычислительной техники. Кроме того, создание и развитие гибких автоматизированных производств в свою очередь способствует ускорению научно-технического прогресса, так как все практические достижения науки и техники внедряются в производство с максимальной скоростью.

Моделируя работу изучаемого объекта или явления на ЭВМ, ученые делают выводы о том, какие результаты были бы получены в ходе математического, физического, химического, биологического, социального или другого эксперимента.

На современном этапе  развития общества ЭВМ применяются  в различных сферах человеческой деятельности. Компьютеры призваны по возможности освободить человека от тяжелой и монотонной работы. Во многих исследованиях (особенно в части естественных наук) ЭВМ выполняет большой объём вычислительных работ.   

Выполнение курсовой работы по курсу «Математическое  моделирование физических процессов» является важным этапом при подготовке квалифицированных специалистов и может рассматриваться как подготовительный этап к изучению ряда специальных дисциплин на последующих курсах.

Целью курсовой работы является практическое освоение вопросов теории моделирования, методов построения математических моделей и формирования объектов математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Анализ объекта моделирования

 

Выделим входные ( ) и выходные ( ) параметры объекта, внутренние параметры ( ) и параметры, характеризующие воздействия внешней среды ( ) (рисунок 1.1). Входным параметром (X) для исследуемой модели будет температура T; характеризующие воздействия внешней среды (V) – влажность Р. Выходным параметром (Y) является сопротивление R.

 

 

Рисунок 1.1 - Моделируемый объект

 

Таблица 1.1-Значения входных  и выходных параметров

 

N	T, C	P,кПа	R,Ом
1	2	3	4
1	7.3	54.2	120.2
2	4.6	25	36.4
3	11	52.7	297.1
4	13.1	63.7	447.9
5	10.3	55.6	259.4
6	6	49.6	93.6
7	10.7	66.3	306.4
8	7.5	46.8	140.2
9	10.2	29.2	257
10	7	59.5	108.8
11	9	34.2	190.9
12	9.1	49.1	215.4
13	7.8	47.6	147.6
14	12.6	41.1	432.5
15	10.8	55.7	287.6
16	12.4	49.4	418.2
17	10.2	65.6	265.5
18	9.1	56.2	189.2
19	7.3	60.9	133.9

          

                                                

              Продолжение таблицы 1.1

 

1	2	3	4
20	11.5	61.7	352.2
21	8.7	49.8	171
22	10.6	34.2	280.1
23	9.8	55.7	229
24	10.2	54.5	289
25	9.7	35.6	236.3

         

2 Построение математической  модели

 

2.1 Построение модели на основе пассивного эксперимента

 

Исходными данными для  построения модели на основе пассивного эксперимента являются массивы значений факторов T, Р и массив значений выходного параметра R , которые представляют собой выборки случайных величин. Все выборки должны принадлежать нормальному распределению, быть независимыми и некоррелироваными.

Проверим принадлежность выборок нормальному распределению. Обработка данных производится по следующей схеме. Для этого в начале производят группирование данных массивов. Вся область изменения выборки разбивается на k частей:

k = целая часть (1+3,2·lg(N)),   (2.1)

                                    k = целая часть (1+3,2·lg(25))=5,   

где N – объем выборки.

Далее определяют длину интервала:

.    (2.2)

Для температуры:       

 

Для давления:             

 

Для  сопротивления:  

 

 

Строится массив относительных  частот

,     (2.3)

где j – номер интервала группировки;

n_j – количество элементов выборки, значения которых попадают в j-й интервал.

Полученный массив относительных  частот используется для построения гистограммы частот и статистических оценок моментов распределения:

                                             

;        (2.4)

;    (2.5)

;    (2.6)

.    (2.7)

;    (2.8)

.     (2.9)

Коэффициенты β₁ и β₂ необходимы для определения близости эмпирического распределения нормальному по номограмме (рисунок 2.2)/1/.

Результаты расчетов оформим в виде таблицы 2.1.

 

Таблица 2.1 – Результат расчетов

 

	T	P	R
k	5	5	5
∆x	1,7	8,26	82,3
	0,08	0,08	0,08
	0,20	0,12	0,32
	0,24	0,28	0,40
	0,28	0,32	0,08
	0,20	0,20	0,12
	9,46	50,16	236,22
S	1,98	10,89	101,51
	-3,54	-891,44	378660,62
	37,96	36399,91	271877328,07
	0,205287	0,475751	0,131074528
	2,445626	2,585603	2,560855094

 

Определив соответствующие положения точек на номограмме, отмечаем, что они приближенно относятся к нормальному закону, но будем считать их принадлежность к нормальному рапределению по причине малого объема выборок.

Так как выборки принадлежат нормальному рапределению осуществляем корреляционный анализ результатов статистических испытаний.

 

Рассчитываются коэффициенты парной корреляции/2/:

 

                             (2.10)

 

где x_iu, x_ju - значения переменных x_i и x_j в u-м опыте;

x_i, x_j - выборочные средние переменных;

  S_xi, S_xj - среднеквадратичные отклонения.

Коэффициент корреляции,	Значение
Температурой и давлением	0,276268
Температурой и сопротивлением	1,081783
Давлением и сопротивлением	0,259044

Таблица 2.2 - Значения  коэффициента корреляции.

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Из таблицы следует, что только один фактор будет учитываться в модели: влиянии температуры на сопротивление, т.к. коэффициент корреляции этих двух  параметров близки к 1. Остальные коэффициенты отбрасываем по причине отсутствия статистически значимой связи, т.е. значения приближены к нулю.

Определив число факторов, учитываемых в модели, составляем уравнение регрессии. Так как фактор только один, то исследуется три вида моделей:

-линейная :                             y = b₀ + b₁x;

-параболическая :                    y = b₀ + b₁x₁ + b₂ ;

 

-нелинейная :                          

 

 

Для определения коэффициентов  регрессии составляем матрицу Фишера, содержащую сочетания базисных функций. Для линейной однофакторной модели вектор базисных функций имеет вид

;

Для параболической однофакторной  модели вектор базисных функций имеет вид

Вычислим остаточные дисперсии для каждого из трех уравнений:

 

-а)Вычислим коэффициенты  парной линейной регрессии y = b₀ + b₁x по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате вычислений получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда имеем:

 

                                 ў=-239.334+50.27* x_i

Используя полученое  уравнение линейной регрессии, вычислим остаточную дисперсию:

,

      

 В случае линейной регрессии  ,   

 

-б) Коэффициенты уравнения параболической регрессии

 

y = b₀ + b₁x₁ + b₂

;

можно вычислить путем  решения системы уравнений:

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица Фишера содержит d строк и столбцов, где d - количество искомых коэффициентов регрессии:

 

 

 

Для данной модели количество искомых коэффициентов регрессии равно четырем.

Составим систему уравнений, которая содержит вектор-столбец свободных членов матрицы Фишера

 

 

Решение этой системы  и дает значение коэффициентов регрессии:

b0=1470, b1=-345.003, b2=-0.257, b3=0.102.

Далее рассчитываем остаточные дисперсии  для модели:

                                                            

,                                                        (2.11)

где - количество коэффициентов регрессии.

 

 

 

Для каждого коэффициента определим дисперсию, как

                                                                 

,                                        (2.12)

 

 

где - диагональные элементы матрицы :

  , .

, , ,

Далее проверяем значимость коэффициентов по критерию Стьюдента. Для этого рассчитывается значение критерия

                                                  

,                                           (2.13)

t0 = 1.666, t1 =1.632, t3 = 1.122, t4 = 1.936.

Полученный критерий сравнивается с табличным значением  критерия Стьюдента t, выбираемого по уровню значимости α = 1-p и количеству степеней свободы ν = N.

Если tα > t, то данный коэффициент значимо отличается от нуля. В противном случае коэффициент незначимый и может быть исключен из мо- дели.

Для всех   из-за того, что при определении дисперсии коэффициентов, дисперсия погрешности эксперимента определяется очень грубо, все коэффициенты сохраняются в модели. Выбираем значение критерия Стьюдента tα = 2.09, при уровне значимости q = 0.05. Для расчета доверительных интервалов применяется теоретический предел дисперсии

                                               

.                                           (2.14)

, , ,

И доверительный интервал, определяется как

                                             

.                                              (2.15)

, , , .

Следовательно:

865.12 < b0 < 2075,

-486.966 < b1 < -203.04,

-0.363 < b2 < -0.151,

0.06 < b3 < 0.144.

Определим адекватность полученной модели по критерию Фишера.

Рассчитывается дисперсия  среднего выходного параметра/1/.

                                      

,                                      (2.16)

где y - выборочное среднее значений выходного параметра.

                                      

.                                    (2.17)

 

 

Отсюда

.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Фишера:

                                              

.                                                  (2.18)

            

.

Если при этом

                                               F_набл ³ F_a;N-1;N-nb,                                 (2.19)

где 1-a - доверительная вероятность;

F_a;N-1;N-nb - квантиль F - распределения со степенями n1 = N-1 и

n2 = N-n_b;

n_b - количество значимых коэффициентов регрессии.

Квантиль F - распределения со степенями n1 = 19, n2 = 16 и уровни значимости q = 0.05 принимает значение .

Получаем

.

Следовательно, уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента.

 

3 Проведение имитационного  моделирования

 

Имитационное моделирование  ставит своей целью выяснение  степени влияния на технологический процесс упрочнения объекта случайного характера его параметров. Для нахождения этого влияния используется метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Последовательность моделирования должна быть следующей:

- составление модели, описывающей поведение объекта в виде зависимости процесса упрочнения от входных параметров (времени обработки и температуры);

- исследование изменения выходного параметра будем производить при изменении параметра х2, характеризующего воздействия температуры, и фиксированном уровне фактора х1, характеризующего время обработки и который определяется как

                                     

=5.254;                               (2.20)

- проведение численного эксперимента;

- обрабатывание результатов численного эксперимента, определяя выборочное среднее, выборочную дисперсию, доверительные интервалы для выборочного среднего и построив выборочное распределение.

 

 

Численный эксперимент  по методу Монте-Карло проводится в  следующей последовательности:

- генерируется N чисел  с соответствующим законом распределения  для каждого стохастического  параметра модели;

- вычисляется N значений  выходного параметра модели в  зависимости от значений случайных параметров в M точках на всем диапазоне варьирования входного параметра. Эта выборка мощностью N·M и будет результатом проведения численного эксперимента.

Так как факторов два, то составляется линейная двухфакторная  модель, учитывающая влияние самих факторов и их парных взаимодействий, в виде

Генерируется 50 чисел с нормальным законом распределения для каждого коэффициента регрессии.

Далее вычисляется 50 значений выходного параметра модели в зависимости от значений случайных параметров b00, b11, b22, b33 в 20 точках на всем диапазоне варьирования входных параметров х1 и х2. Эта выборка размерностью 50х20 и есть результат проведения численного эксперимента.

Определим выборочное среднее значение для выходного параметра как 

                                             ,                                      (2.21)

Значение выборочной дисперсии найдем по формуле

                                           

,                                  (2.22) 

Доверительный интервал определяется как

                                           

.                                       (2.23)

Коэффициент Стьюдента  , выбирается по уровню значимости       α = 1-p и количеству степеней свободы ν = N, т.е. .

Далее производим выборку из результата проведения численного эксперимента, в данном случае она является серединой интервала варьирования, и для нее необходимо построить гистограмму частот - выборочное распределение вероятностей, рассчитать моменты (2.4 … 2.9) и по номо-

грамме (рисунок 2.2/1/) определить вид эмпирического распределения.

В результате получаем гистограмму  частот (рисунок 2.1) и значения

коэффициентов β₁ и β₂:

 

Рисунок 2.1 – Гистограмма  частот

 

β₁ = 0.122;  .

Исходя из полученных значений коэффициентов и , делаем вывод, что данная выборка принадлежит равномерному распределению.

Результаты проведения численного эксперимента и расчеты для определения вида эмпирического распределения представлены в приложениях А, Б соответственно.

По результатам расчета  строим график зависимости выборочного среднего и выборочной дисперсии от значений параметра x2 (рисунок 2.2).

 

Рисунок 2.2 – График выборочного среднего и выборочной дисперсии

Анализируя вид кривых можно утверждать, что уравнение модели имеет линейную зависимость. Кривая , построенная при минимальном значении из выборки x2, монотонно убывает, кривая , принимая значение из той же выборки равное половины суммы минимального и максимального значений, на графике (рисунок 2.2) монотонно возрастает, также монотонно возрастает и кривая , при максимальном значении из выборки х2.

 

 

 

Заключение

 

В процессе проделанной  курсовой работы мы провели анализ исходных данных, выявив существенные параметры объекта и факторы, влияющие на его работу, установили  принадлежность нормальному распределению и провели корреляционный анализ результатов статистических испытаний. В результате корреляционного анализа, выделили два фактора, учитываемых в модели: влиянии времени обработки и температуры на твердость, исходя из чего, составили линейную двухфакторную модель. Далее проверили значимость коэффициентов уравнения регрессии по критерию Стьюдента, определив, что все коэффициенты являются значимыми. По критерию Фишера установили, что уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента.

Выяснили степень влияния  на технологический процесс упрочнения объекта случайного характера его параметров. Для нахождения этого влияния использовали метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Провели численный эксперимент, результатом которого является выборка мощностью 50х20, определили для выходного параметра выборочное среднее, выборочную дисперсию и доверительный интервал. Далее произвели выборку из результата проведения численного эксперимента и для нее построили гистограмму частот, рассчитали моменты и по номограмме (рисунок 2.2/1/) установили принадлежность данной выборки равномерному распределению. По результатам расчета построили и проанализировали график зависимости выборочного среднего и выборочной дисперсии от выбранных значений параметра x2.

При выполнении задания была написана программа на Math CAD 2001 professional, которая выполняет решение математических уравнений и построения графиков. Данная программа помогла существенно снизить объем работы, а при расчетах и погрешность вычислений. Так же, обеспечила точность построения графиков на основании проделанных расчетов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1 Математическое моделирование  физических процессов. Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности Т 1-54 01 01.-“Приборостроение “ дневной формы обучения. Могилев: МГТУ, 2001. – 15с.

2 Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. – Мн.: ДизайнПРО, 1997. – 640 с.

 

3. Советов Б.Я. Моделирование систем / Б.Я.Советов; С.А.Яковлев.– М.: Высшая школа, 1985.– 271 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение А

(обязательное)

 

x1 = 5.254,

 

x2 ={3103, 3260, 3300, 3314, 3321, 3405, 3455, 3476, 3483, 3513, 3514, 3543, 3602, 3613,3629,3643, 3767, 3794, 3835, 3853}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим доверительные  интервалы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение Б

(рекомендуемое)

 

Определим вид эмпирического  распределения:

 

 

 

 

 

 

 

int 1:

int 2:

int 3:

int 4:

int 5: