СОДЕРЖАНИЕ 

Задание                                                                                                                            3

1 Построение математической модели объекта управления в пространстве

состояний                                                                                                                        4

2 Построение  сигнального графа и нахождение передаточной функции

системы                                                                                                                           7

2.1 Построение сигнального графа                                                                              7

2.2 Построение структурной схемы                                                                             7

2.3 Нахождение передаточной функции ОУ, используя формулу Мейсона           8

2.4 Определение временных и частотных характеристик  по передаточной

функции                                                                                                                        10

3. Формирование  передаточной функции формирующего  фильтра                      14

3.1 Определение  спектральной плотности по заданной корреляционной

функции                                                                                                                        14

3.2 Получение  передаточной функции формирующего  фильтра                           15

3.3 Расчет  качества системы в формирующем  фильтре                                          17

Вывод                20

Список  использованных источников                21 
 
 

       ЗАДАНИЕ 

Таблица 1-Исходные данные

                                          e(t)                                                                e(t)

      i₂                                          i₁                                  i₃                         i₄                             C₂

 L₃ 

Рисунок 1-Эквивалентная схема объекта управления

Корреляционная  функция: 
 
 
 

       1 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

          УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ 

       Составим уравнения для контуров по второму закону Кирхгофа

  ,                                                                                                        

    ,                                                                             

   .   

         Продифференцируем последнее уравнение, чтобы избавиться от интеграла: 

         Введем фиктивные переменные, равные элементам, взятым из полученных

         уравнений, но на 1 или более порядков ниже: 

Найдем  производные по времени от фиктивных  переменных:

Выразим токи через фиктивные переменные 
 
 
 

        Полученные выражения токов подставим в систему производных по времени от фиктивных переменных и система дополняется выражением для выходной величины

       x₁=7,15x₂-24,7x₁

       x₂=17,15x₁-773,89x₂+5,79x₄+e(t)

       x₃=-1,87x₄

       x₄=x₃-8,52x₄+3,02x₂+e(t)

       i₄=0,4x₄ 

По полученной системе уравнений записывается математическая модель объекта регулирования  в нормальной форме Коши:

 - уравнение наблюдения;

 -уравнение выходной величины объекта.

Матрицы будут иметь следующий вид: 
 
 
 
 

Получаем  математическую модель в пространстве состояний: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2 ПОСТРОЕНИЕ СИГНАЛЬНОГО ГРАФА И НАХОЖДЕНИЕ

           ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ 

        2.1 Построение сигнального графа 

 a₁₁

  x₁     x₁            x₃     1/p                 x₃                            

                    a₂₁        1/p        a₁₂     a₄₃                    a₃₄

e(t) b₂ 1/p          a₄₂              1/p               c₄ i₄ 

     x₂              x₂            x₄                 x₄                                 

      a₂₂  a₄₄

            b₄           

                                                         a₂₄

      Рисунок 2-Сигнальный граф 

        2.2 Построение структурной схемы

                                                                                 x₃ x₃

      x₁  x₁ 

e(t)

 x₂  x₂                 x₄ x₄                              i₄

   Рисунок 3-Структурная схема ОУ

        2.3 Нахождение передаточной функции ОУ, используя формулу Мейсона 

Формула Мейсона  имеет следующий вид:

где k –количество возможных путей от входа к выходу;

       ∆ -определитель графа;

       Р_к -коэффициент передачи k пути от входа к выходу;

       ∆k-определитель всех касающихся контуров при удалении k-го пути.

,  то есть определитель  равен, единица 

минус сумма  коэффициентов  передачи всех отдельных  контуров, плюс сумма 

всех возможных  произведений из двух не касающихся контуров, минус сумма 

всех возможных  комбинаций из трёх не касающихся контуров.

        Определяем количество и записываем уравнения всех  k–путей. В данном случае имеются k = 2 пути от входа к выходу 
 
 

       Выявляем все N – замкнутые контуры и записываем их уравнения. В системе имеется N = 6  замкнутых контура. Коэффициенты передачи для контуров имеют вид:

, , , , ,

, , , , ,

        Записываем выражение для определителя. Определитель включает 6

контуров, пары не касающихся контуров и комбинации из трёх не касающихся контуров: 
 

Выражение для  ∆i  записывается как выражение для ∆, но разрываются контура через которые проходит пути Рi: 
 
 

        Запишем общее выражение передаточной функции и произведём её  преобразование: 
 

        Определим устойчивость системы по теореме Ляпунова.

Находим корни  характеристического уравнения 
 

        Система устойчива, так как все корни характеристического уравнения лежат

в левой полуплоскости. 

        2.4 Определение временных и частотных характеристик  по передаточной

Функции 

        Найдем переходную  функцию, она равна обратному преобразованию

Лапласа от , т.е.  .

     Рисунок 4-График переходного процесса

Определим прямые оценки качества:

h_max(t) =0.044

h_уст(t) =0.006

время согласования t₁ =0.003

время t_H =0.4

время переходного  процесса t_n =0.006

        Определим динамическую ошибку  системы или перерегулирование 

        Найдём весовую функцию, которая равна обратному преобразованию

Лапласа от  W(p), то есть

                                  Рисунок 5-График весовой функции 

Строим амплитудно-частотную  характеристику, заменив p jw: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Рисунок 6-График АЧХ

Определим косвенные  оценки качества:

1. максимальная амплитуда 0.0478
2. амплитуда при нулевой частоте 0.025
3. резонансная частота 1.51
4. показатель колебательности 1.912
5. полоса пропускания частот (.

Строим фазо-частотную  характеристику: 
 
 
 

      Рисунок 7-График ФЧХ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

        3 Формирование передаточной функции формирующего фильтра 

        3.1 Определение спектральной плотности по заданной корреляционной

функции

Дана корреляционная функция: 

Спектральная  плотность случайного сигнала равна: 
 
 
 

     Рисунок 8- График спектральной плотности 
 

  3.2 Получение передаточной функции формирующего фильтра 

Получаем два  квадрата модуля частотной характеристики: 
 
 
 

Находим корни  знаменателя: 
 
 
 
 

Находим корни  числителя:

Строим корни на комплексной плоскости:

Рисунок 9- Корни на комплексной плоскости

    Из  корней верхней полуплоскости формируем  выражение для передаточной функции  фильтра: 
 

Так как сомножитель  знаменателя  образуется из решения уравнения

, то его  можно заменить  непосредственно  этим уравнением. Получаем: 

Произведем замену : 
 
 

       3.3 Расчет качества системы в формирующем фильтре 

Найдем передаточную функцию в виде: 

        Определим устойчивость системы по теореме Ляпунова.

Находим корни  характеристического уравнения

=0 
 

  Два корня  характеристического уравнения  положительны, находятся в правой полуплоскости, следовательно, система  неустойчива.

        Найдем переходную  функцию: 

             Рисунок 10- График переходного процесса в формирующем фильтре 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Строим амплитудно-частотную  характеристику, заменив в передаточной функции p jw: 
 

     Рисунок 11- График АЧХ в формирующем фильтре 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                             ВЫВОД 

        В данной работе была получена  математическая модель в пространстве  состояний для объекта управления, представленного в виде электрической схемы. С помощью формулы Мейсона определили передаточную функцию системы. Провели анализ устойчивости по критерию Ляпунова. В ходе проверки на устойчивость было выяснено, что данная система устойчива, были определены прямые и косвенные оценки качества системы. Определили передаточную функцию формирующего фильтра. Сформировали систему последовательно соединенного объекта управления (ОУ) и фильтра, провели анализ на устойчивость полученной системы и выяснили, согласно критерию Ляпунова, что система расходящаяся. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

        СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 

  1. Ефремова Т.А., Власов В.В. Методические  указания к выполнению практической  работы «Построение математической  модели объекта в пространственном  состоянии и синтез формирующего  фильтра»-Балаково,2008

  2. Справочное пособие по теории  систем автоматического регулирования и управления под ред. Е.А.Санковского – Минск: Высшая школа, 1973.

  3. Брофеев Ю.И. Импульсная техника. -М.: Высшая школа, 1984.

  4. Р.Ли  Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М.: Наука, 1966.