Построение моделей временных рядов

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 

Кафедра теории рынка 
 

Курсовая  работа

по дисциплине: Эконометрика

на тему «Построение моделей временных  рядов»

Вариант 16 
 
 
 
 

Выполнил: Атаманчук Я.П.

Группа: ФБЭ - 81

Проверил: Тимофеев В.С. 
 

Новосибирск 2011

Ситуация 9: “Загон для коз”. Робинзон живет на необитаемом острове и организует свой быт. Вот что пишет по этому поводу Д.Дефо: “Я задумал развести целое стадо коз, рассудив, что это единственный способ обеспечить себя мясом и молоком к тому времени, когда у меня выйдут порох и дробь. Единственным средством для этого было держать коз в загоне, огороженном прочным частоколом или плетнем так, чтобы козы не могли сломать его ни изнутри, на снаружи”. Сказано – сделано. И далее: “Я решил огородить кусок луга ярдов в полтораста длиной и сто шириной и на первый раз ограничиться этим… Этот участок я огораживал около трех месяцев, а затем перевел в этот загон всех своих коз”.

Однако  через некоторое время он заметил, что молока, которое он получал  со своего стада, стало не хватать  для всех нужд – ведь он потреблял  не только само молоко, но и получал  из него сыр, масло и т.д. Проведя  ревизию своего хозяйства, он выяснил, что объемы удоев стали уменьшаться  из-за ухудшения качества и особенно количества кормов, т.е. травы, которая  росла на участке, стало не хватать  для всего стада, которое поедало  ее, а времени вырасти для новой  травы не хватало. Он огородил новый  участок и перевел стадо туда, оставив старый участок для восстановления травяного покрова.

В нашем  распоряжении есть два временных  ряда: X₁ – месячный уровень осадков (в миллиметрах) и X₂ – среднемесячные удои молока (в галлонах), которые Робинзон составил за это время.

Цель: проведение эконометрического анализа заданных временных рядов для прогнозирования их значений. 

1. Построить графики временных рядов. Для  каждого временного ряда провести первичный  статистический анализ, включая:
• Вычисление среднего значения, дисперсии, меры разброса;
• Вычисление автоковариационной и автокорреляционной функций;
• Построение коррелограммы.

     Сделать выводы. 

На графике  временного ряда X1(t) прослеживаются периодически повторяющиеся изменения признака. Период составляет 12 месяцев. В среднем не наблюдается долгосрочных тенденций ни к увеличению, ни к уменьшению. Влияние всех компонент временного ряда на значения элементов ряда носит аддитивный характер.  

На графике  наблюдается долгосрочная тенденция  к уменьшению. Вместе с тем, происходят периодически повторяющиеся изменения  признака. Временной ряд имеет  сезонную и/или циклическую компоненту.

В момент времени (t=40), удои молока достигают наивысшего уровня. Это может объясняться наличием структурных изменений в этой точке. Очевидно, именно в этот момент Робинзон перевел свое стадо на новый участок.

Первичный статистический анализ: 

= ;

= ;

;  
 

Для временного ряда х₁(t):

E[X₁(t)] = = 30,3236;

D[X₁(t)] = = 17,6307; 
 

Средний месячный уровень осадков составляет около 30 мм. Отклонение от среднего составляет 4,1989 мм. 

Для временного ряда х₂(t):

E[X₁(t)] = = 7,0982;

D[X₁(t)] = = 2,32944; 
 

Среднемесячные  удои молока в среднем составляют около 7 галлонов. Отклонение от среднего равно 1,52625 галлона молока.

     Найдем  значения оценок автокорреляционной функции:

Рекомендуемое количество элементов автокорреляционной функции не должно превышать N/3 18,3.  

Для временного ряда х₁(t): 

Коррелограмма для временного ряда X1(t)

Коррелограмма показывает степень статистической взаимозависимости между элементами временного ряда.

Для стационарного  ряда, чем больше разнесены во времени  элементы временного ряда, тем слабее их взаимосвязь.

Исходя  из полученной коррелограммы можно сделать вывод о том, что временной ряд «Месячное количество осадков» не является стационарным.

Элементы  временного ряда являются взаимосвязанными, что говорит о наличии сезонной компоненты.Анализ автокорреляционной функции позволяет предположить, что наиболее тесным образом связаны элементы ряда, разнесенные на 6, 12, 18 и т.д. месяцев.

Наиболее  высоким для временного ряда осадков  оказался коэффициент корреляции 12-го порядка, это значит, что временной  ряд содержит циклические колебания  в 12 месяцев. 

Для временного ряда х₂(t): 

Коррелограмма для временного ряда X2(t)

Исходя  из полученной коррелограммы можно сделать вывод о том, что временной ряд «Среднемесячные удои молока» не является стационарным.

Элементы  временного ряда являются взаимосвязанными, что говорит о наличии сезонной компоненты. Ряд среднемесячных удоев молока имеет тенденцию к снижению, т.к. максимальное значение принимает коэффициент автокорреляции 1-ого порядка. 

2. Построить модель временного ряда. Для этого:
• Записать основное разложение временного ряда и проверить гипотезу о наличии неслучайных компонент в этом разложении;
• Построить модели для неслучайных компонент, присутствие которых в разложении было доказано. При построении модели в качестве возможных регрессоров рассмотреть следующие функции:

t², t, , , , ,

• Привести несколько вариантов функции тренда, и обосновать выбор наилучшей;
• С помощью критерия Дарбина – Уотсона проверить остатки на автокорреляцию;
• Если на графике временного ряда продолжительно наблюдаются структурные изменения, то выдвинуть соответствующую гипотезу и проверить с помощью теста Чоу и подхода Гуйарати.

     Сделать выводы. 

По графикам временных рядов видно, что амплитуда  колебаний примерно одинакова, следовательно, в качестве моделей выберем аддитивные. 

Тогда получим разложение следующего вида:

X(t) = T(t) + S(t) + C(t) + ε (t)

T (t) – неслучайная, монотонная функция тренда

S (t) – неслуяайная периодическая функция с периодом, кратным «сезону»

С (t) – неслучайная периодическая функция

ε (t) – случайная составляющая 

Для выявления  факта наличия/отсутствия неслучайной  составляющей проверим гипотезу:

Н₀: E[X(t)] = const – ряд стационарный

Н₁: E[X(t)] ≠ const. 
 

     Временной ряд X₁ (t) 

Критерий  серий. 

X_med =   
 
 

Х_med = 31;   V(N) = 27;    τ(N) = 4

Условия:     τ(N) ≥ 1,43Ln(N+1);      V(N) ≤ 0,5(N+2-1,96),

Если выполняется  хотя бы одно условие, то гипотеза отвергается. 

τ(N) < 5,756; V(N) > 21,298 , следовательно гипотеза не отвергается, а значит, неслучайные компоненты могут не присутствовать. 

Критерий  «восходящих» и «нисходящих» серий 

“+”: x(t+1) – x(t) >0  
“-”: x(t+1) – x(t) < 0 

V(N) = 36; τ(N) = 3

Условия: V(N) < ; τ(N) ≥ τ0 (N), 

Если выполняется  хотя бы одно условие, то гипотеза  отвергается. 

(N) =     (55)=6 

V(N) > 30,306;    τ(N) < 6 => гипотеза не отвергается , следовательно неслучайные компоненты могут и не присутствовать. 

Критерий  Фостера-Стьюарта 

m_t =  

l_t =  

d_t = m_t – l_t , r_t = m_t + l_t ; 

D = = -2 

R = = 10 

t_D = , t_R =  , 

= = 2,6775

= = 2,1423

= 2 = 3.6227

t_D = -0.747;  t_R = 1.32146 

| t_D | < 2,0057

| t_R| < 2.0057, следовательно, гипотеза не отвергается, а значит в структуре временного ряда отсутствуют трендовые компоненты. 
 
 

     Временной ряд X₂ (t) 

Критерий  серий. 

X_med =   
 
 

Х_med = 6,8; V(N) = 20; τ(N) = 7

Условия: τ(N) ≥ 1,43Ln(N+1); V(N) ≤ 0,5(N+2-1,96), 

Если выполняется  хотя бы одно условие, то гипотеза отвергается.

τ(N) > 5,756; V(N) < 21,298 , следовательно гипотеза отвергается, а значит неслучайные компоненты присутствуют. 

Критерий  «восходящих» и «нисходящих» серий 

“+”: x(t+1) – x(t) >0  
“-”: x(t+1) – x(t) < 0 

V(N) = 35; τ(N) = 3

Условия: V(N) < ; τ(N) ≥ τ0 (N),

Если выполняется  хотя бы одно условие, то гипотеза  отвергается. 

(N) =     (55)=6 

V(N) > 30,306; τ(N) < 6 => гипотеза не отвергается , следовательно неслучайные компоненты могут и не присутствовать. 

Критерий  Фостера-Стьюарта 

m_t =  

l_t =  

d_t = m_t – l_t , r_t = m_t + l_t ; 

D = = -8

R = = 12 

t_D = , t_R =  , 

= = 2,6775

= = 2,1423 

= 2 = 7,169

t_D = -2,98785;  t_R = 2,25504 

| t_D | > 2,0057

| t_R| > 2.0057, следовательно, гипотеза отвергается, а значит в структуре временного ряда присутствуют трендовые компоненты.

В силу того, что критерий «восходящих» и «нисходящих» серий говорит о возможном отсутствии неслучайных компонент во временном ряде Х2, проведем еще одну проверку ряда на наличие неслучайной компоненты при помощи критерия Аббе.

Критерий  Аббе 

Данный  критерий служит для выявления систематического смещения значений временного ряда. Для  проверки гипотезы Н₀ необходимо вычислить статистику вида

,

где

Гипотеза  Н₀ отвергается с вероятностью ошибки 0,05, если выполняется условие

,

Где - квантиль стандартного нормального распределения для доверительной вероятности . 

Для модели времянного ряда X2: 

= 2,32944; 

,

,

 – неравенство выполняется, следовательно гипотеза Н₀ отвергается, а значит делаем вывод о наличии в структуре временного ряда Х2 неслучайных, зависящих от времени компонент. 
 

     Проверив  данные временные ряды на наличие  неслучайной компоненты можно сделать  следующие выводы:

     При проверке гипотезы о наличии неслучайных  компонент во временном ряду месячного  уровня осадков получились, что  по критерию серий и критерию восходящих и нисходящих серий, критерию Фостера-Cтьюарта неслучайная компонента в модели отсутствует.

     При проверке гипотезы о наличии неслучайных  компонент во временном ряду среднемесячного  удоя молока получились, что  по критерию серий и по критерию Аббе неслучайная компонента в модели присутствует. По критерию восходящих и нисходящих серий неслучайная компонента может и не присутствовать. Критерий Фостера-Стьюарта показывает наличие трендовой компоненты. В целом мы можем сделать вывод о присутствии неслучайной компоненты во временном ряду среднемесячного удоя молока.

Временной ряд X1(t) 

Шаг 1. Произведем выравнивание исходного временного ряда методом скользящей средней. Найдем годовую добычу дичи Робинзоном, после чего найдем скользящие средние. Для приведения в соответствие с фактическими моментами времени, найдем центрированные скользящие средние. 

Шаг 2. Оценим сезонные компоненты как разность между фактическими элементами ряда и центрированными скользящими средними.

Скорректированные оценки сезонной компоненты определяются путем вычитания из средней оценки сезонной компоненты для месяца корректирующего  коэффициента. 

k =  _0,010475 

Шаг 3. Устраним сезонную компоненту S из исходных уравнений ряда и получим выровненные данные T+ =X(t)-S

T=X(t) -S

     После исключения сезонной компоненты из временного ряда можно говорить об отсутствии трендовой компоненты в разложении временного ряда. 

Временной ряд X2(t) 

Шаг 1. Произведем выравнивание исходного временного ряда методом скользящей средней. Найдем годовую добычу дичи Робинзоном, после чего найдем скользящие средние. Для приведения в соответствие с фактическими моментами времени, найдем центрированные скользящие средние.