Построение периодических решений дифференциальных уравнений
ВВЕДЕНИЕ
Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели? С помощью производной. Поскольку производная является скоростью изменения функции - она может помочь отразить фактор времени в уравнении. То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение.
На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения.
Без решения дифференциальных уравнений не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д.
Ниже приведены примеры использования дифференциальных уравнений в медицине, экономике.
Медицина: медицинским работникам часто приходится производить различные математические вычисления, причем от правильности проведенных расчетов зависит здоровье, а иногда и жизнь человека. Например, дифференциальные уравнения используются в следующих медицинских приложениях:
- для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца, определения вязкости крови и других параметров гемодинамики;
- для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;
- для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.
Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата "искусственная почка", поскольку процесс гемодиализа (процесс очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений.
Экономика: простой пример решения дифференциального уравнения касательно экономики: пусть для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид MR=15−0,4q, где MR – маржинальная выручка фирмы, а q – объем продукции. Нужно найти общую выручку.
Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.
Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.
С математической точки задача свелась к решению дифференциального уравнения R′=15−0,4q при условии R(0)=0.
Проинтегрируем уравнение, взяв первообразную функцию от обеих частей, получим общее решение:
R(q)=∫(15−0,4q)dq=15q−0,2q2+C.
Чтобы найти константу C, вспомним условие R(0)=0. Подставим:
R(0)=0−0+C=0.
Значит C=0 и наша функция общей выручки принимает вид R(q)=15q−0,2q2. Задача решена.
Несколько десятков лет назад нелинейные уравнения мало кого интересовали. А сейчас они переживают взлет. Просто раньше такие уравнения не умели решать.
Теория дифференциальных уравнений является самым большим разделом математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи, и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Но для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической и т.д.) не следует существование решения соответствующей математической задачи.
Цель данной курсовой работы — построение периодических решений дифференциальных уравнений.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
- рассмотреть некоторые исторические и теоретические сведения о дифференциальных уравнениях;
- рассмотреть построение периодических решений дифференциальных уравнений;
- научиться определять периодические решения дифференциальных уравнений.
1 История возникновения
Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи [1].
Определяющее развитие на теорию дифференциальных уравнений оказало дифференциальное исчисление, созданное Готфрида Лейбница (1646-1716) и Исаака Ньютона (1643-1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.
Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинаковых степеней). Особое значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виет (1540—1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлора» все основные элементарные функции. Это, вместе с составленной им таблицей первообразных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часа». Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, поскольку он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее проводить с помощью кратных дифференцировок, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными была скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда [1].
Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае) [1].
Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой был тесно связан совсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).
Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас развивается активно и имеет важные применения теории дифференциальных уравнений в естествознании [1].
2 Дифференциальные уравнения - основные понятия
Дифференциальные
уравнения — это соотношение вида F(x1,x2,x3,..,y,y',y'',...y(
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной. ОДУ имеют вид (формула 2.1):
(2.1)
где y=y(x) — неизвестная функция (возможно,
Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде (формула 2.3):
... (2.3)
где — независимые переменные, а z=z( — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений [1].
Порядок дифференциального уравнения — это порядок старшей входящей в него производной [2].
Степень дифференциального уравнения — это показатель степени, в которую возведена производная наивысшего порядка [2].
Решение дифференциального уравнения — это функция y(x), определенная и достаточное число раз дифференцируемая в некоторой области, при подстановке которой в исходное уравнение получается тождество [2].
Интеграл дифференциального уравнения — это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид [2].
Решение дифференциального уравнения в квадратурах — это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них [2].
Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y(x,C1,C2,C3,...Cn), зависящее от n произвольных постоянных [2].
Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C1,C2,C3,...Cn) = 0 [2].
Частное решение дифференциального уравнения — это общее решение при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,...Cn [2].
Частный интеграл дифференциального уравнения — это общий интеграл при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,...Cn [2].
Периодическое решение обыкновенного дифференциального уравнения — решение, периодически зависящее от независимой переменной t. Для периодического решения x(t) (в случае системы х - вектор) имеется такое число , что х(t+T)=x(t) при всех t . Всевозможные такие Т называют периодами данного периодического решения; при этом из непрерывности x(t)следует, что либо x(t) не зависит от t, либо всевозможные периоды являются целочисленными кратными одного из них - минимального периода Т 0>0 [3].
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде. Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме (формула 2.2) [1]:
где функции определены и непрерывны в некоторой области .
Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных дифференциальных уравнений развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка (формула 2.4) [1]:
(2.4)
где pi(x) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами [1].
Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного
члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных
уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений
такого уравнения также будет его решением.
Все остальные линейные дифференциальные
уравнения называются неоднородными диффе
Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y [1].
3 Построение периодических
решений дифференциальных
Периодическое решение некоторого дифференциального уравнения целесообразно искать в виде суммы некоторого ряда Фурье (формула 3.1):
(3.1)
Заметим, что если уравнение (формула 3.2):
имеет периодическое решение x0(t) периода Т, то правая часть уравнения (формула 3.2) вдоль рассматриваемой интегральной кривой является периодической функцией периода Т по первому аргументу. Действительно, подставляя в уравнение (формула 3.2) периодическое решение х = х0 (t), получаем тождество (формула 3.3) [4,c. 143]:
(3.3)
Заменяя в этом тождестве t на (t + Т), мы в силу периодичности функции х0 (t) и ее производных не изменим левой части уравнения и не изменим аргументов правой части, начиная со второго, следовательно (формула 3.4):
(3.4)
Т. е. функция F вдоль интегральной кривой x = x0(t) имеет период Т по явно входящему аргументу t.
Следовательно, если правая часть уравнения (формула 3.2) при любом выборе x0(t) не является периодической функцией по первому аргументу, то не существует и периодических решений. Если функция F не зависит явно от t, т. е. является постоянной по отношению к аргументу t, то F можно рассматривать как периодическую по t функцию любого периода и поэтому не исключена возможность существования периодических решений какого угодно периода.
Пусть, например, требуется найти периодические решения уравнения (формула 3.5):
Для существования периодического решения необходимо предположить, что f является периодической функцией. Без существенного ограничения общности можно считать, что f(t) — периодическая функция периода , так как если бы функция f(t) имела период Т, то после преобразования независимого переменного t правая часть стала бы функцией периода по новому независимому переменному .
Предположим, что функция f(t), кроме того, непрерывна и разложима в ряд Фурье (формула 3.6):
(3.6)
Периодическое решение ищем в виде (формула 3.7):
(3.7)
Дифференцируя ряд (формула 3.7) почленно два раза и подставляя в уравнение (3.5), получим (формула 3.8):
-
Откуда, если а не равно целому числу, определяем коэффициенты ряда (формула 3.9):
(3.9)
Следовательно, уравнению (формула 3.5) формально удовлетворяет ряд (формула 3.10):
Очевидно, что ряд (формула 3.10) сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, так как ряд (формула 3.6), в силу непрерывности функций f(t), сходится равномерно, а коэффициенты ряда (формула 3.11):
-
составленного из вторых производных от членов ряда (формула 3.10), отличаются от коэффициентов и ряда (формула 3.6) лишь не зависящим от t, монотонно стремящимся к 1 при множителем . Следовательно, ряд (формула 3.11) сходится равномерно, а значит, ряд (формула 3.10) можно было дифференцировать почленно два раза. Итак, ряд (формула 3.10) не только формально удовлетворяет уравнению (формула 3.5), но его сумма x(t) существует и является периодическим решением уравнения (формула 3.5) [4,c.145].
Если а мало отличается от целого числа n и , то наступает явление резонанса, заключающееся в резком возрастании при приближении а к n хотя бы одного из коэффициентов .
Если же a = n и хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, то периодических решений не существует, так как резонирующим слагаемым в правой части уравнения (формула 3.5) согласно принципу суперпозиции соответствует в общем решении уравнения (формула 3.5) непериодическое слагаемое вида тогда как остальные слагаемые в общем решении уравнения будут периодическими функциями. Следовательно, при a = n периодическое решение уравнения (формула 3.5) существует лишь в случае отсутствия в правой части резонирующих членов т. е. в случае (формула 3.12):
(3.12)
В последнем случае, т. е. при a = n, , периодическое решение уравнения (формула 3.5) существует, причем при коэффициенты определяются по формулам (формула 3.9), а коэффициенты и остаются произвольными, так как является при произвольных и решением соответствующего однородного уравнения [4,c.146].
4 Примеры определения
Пример 1:
Определить периодическое решение уравнения .
Решение:
Ищем решение в виде ряда .
Имеем a=4=22, a0=0, ak=0, bk= .
Функция f(t)= не содержит члена ), значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формуле 3.9 находим коэффициенты:
А0=Аk=0, B1=0, Bk= .
Все периодические решения задаются формулой 4.1:
,
где — произвольные постоянные.
Пример 2:
Определить периодическое решение уравнения .
Решение:
Имеем a=1.
Проверим выполнимость условий по формуле 3.12:
Условия существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения есть (формула 4.2):
которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого
Пример 3:
Найти периодическое решение уравнения
.
Решение:
Функция f(t) — периодическая с периодом . Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале ( :
Решение данного уравнения ищем в виде (формула 4.3):
Имеем a=-1, a0= , a2k-1=0, a2k= , bk= .
По формуле 3.9 находим коэффициенты:
А0= , А2k-1= , А2k= , Bk= .
Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида (формула 4.4):
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе выполнения курсовой работы была достигнута поставленная цель: построение периодических решений дифференциальных уравнений. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
- рассмотрены некоторые исторические и теоретические сведения о дифференциальных уравнениях;
- рассмотрено построение периодических решений дифференциальных уравнений;
- рассмотрены примеры определения периодических решений дифференциальных уравнений.
Список использованных литературных источников:
- Сайт Википедия. Дифференциальное уравнение: [электронный ресурс], URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Дифференциальное_ уравнение.
- Сайт Дифференциальные уравнения,
основные определения: [электронный ресурс], URL: http://1cov-edu.ru/
differentsialnie_uravneniya/. - Сайт Периодическое решение: [электронный ресурс], URL: http://dic.academic.ru/dic.
nsf/eng_rus/ 215660/периодическое. - Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление;- М.: НАУКА - Главная редакция физико-математической литературы, 1969. - 424с.
