Построение прогнозных экономико-математических моделей

МОСКОВСКИЙ  АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(государственный  технический университет)

МАИ

ИНСТИТУТ  МЕНЕДЖМЕНТА, ЭКОНОМИКИ  И ФИНАНСОВ 

Кафедра 505 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  дисциплине: «Технико-экономическое  прогнозирование  инноваций» 

на  тему: «Построение прогнозных экономико-математических моделей» 

Вариант 6 
 
 

                                          Выполнила студентка

                                                                группы: 15-505

                                                                 Торган Д.А.

                                                             Проверила: Мельникова Г. В. 
 
 

Москва 2011

Содержание

Общие сведения………………………………………………………………………….3

1. Постановка задачи…………………………………………………………………….5

2. Оценка взаимосвязи между функцией и аргументом………………………………6

3. Подбор вида аппроксимирующей зависимости и определение параметров аппроксимирующих зависимостей……………………………………………………..8

4. Оценка точности аппроксимации моделируемой связи……………………………9

5. Расчет доверительного интервала (ДИ)…………………………………………….12

6. Построение прогнозной модели…………………………………………………….13

7. Расчет прогнозных значений функции……………………………………………..14

8. Графическая интерпретация результатов расчетов и аппроксимирующей зависимости……………………………………………………………………………..16

Вывод……………………………………………………………………………………17

Приложения……………………………………………………………………………..18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Общие сведения 

      Статистические  методы прогнозирования основаны на выявлении внутренних закономерностей  развития объекта прогнозирования  и количественной оценке взаимосвязей его характеристик для получения прогноза.

      Областью  применения статистических методов  прогнозирования является, в основном, краткосрочное и частично среднесрочное  прогнозирование. Использование статистических методов прогнозирования требует  выполнения следующих условий:

1. характер развития объекта прогнозирования предполагается плавным, эволюционным, отсутствуют качественные скачки;
2. период ретроспекции значительно больше периода упреждения;
3. имеющаяся информация об объекте прогнозирования может быть формализована.

      Статистические  методы прогнозирования наиболее эффективно могут быть использованы на этапах эволюционного развития больших технических систем БТС в пределах теоретически достижимых значений параметров, ограниченных сущностью протекающих физических и экономических процессов в изучаемых системах.

      Статистические  методы прогнозирования преимущественно  используют объективную информацию об объекте прогноза, накопленную  на этапе ретроспекции.

      Смысл статистических методов прогнозирования  заключается в анализе ретроспективной  информации, в обработке этой информации методами математической статистики, в построении на этой основе количественной модели развития объекта и воспроизведения установленной закономерности на период упреждения.

      В основе утверждения о правомерности  продления установленной тенденции в будущее, т.е. экстраполяции, лежит принцип инерционности.

      Построение  статистических прогнозных моделей  является одним из важнейших этапов разработки статистических прогнозов. Статистическое моделирование в  прогнозировании играет важную роль не только как самостоятельная процедура построения прогнозов отдельных показателей, но и как составная часть более сложных комбинированных и комплексных методов и методик прогнозирования.

      Настоящая курсовая работа посвящена изучению одного из наиболее простых случаев в практике прогнозного экономико-математического моделирования – разработке прогнозных статистических однопараметрических моделей.

      Построение  таких моделей сводится к отысканию  и количественной оценке аппроксимирующей функции, наиболее адекватно и точно отражающей исследуемую закономерность y= f(x), и установлению для нее пределов экстраполяции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Постановка задачи 

      Постановка  задачи статистического прогнозирования, основанного на однопараметрических  моделях, выглядит следующим образом.

      Имеется:

      статистическая  выборка общим объемом n точек , которая характеризуется определенным набором значений исследуемого показателя З_i – затраты на создание БТС и соответствующими им значениями определяющего его фактора G_i – вес БТС.

      i – порядковый номер точек исходной выборки.

      Требуется:

1. Обосновать наличие и общий характер связи З= f(G).

2. Подобрать математическую форму зависимости З=f(G), адекватную существу изучаемой связи, и по значениям исходной выборки количественно оценить параметры этой зависимости таким образом, чтобы она наиболее точно описывала данную связь З= f(G), т.е. наиболее близко подходила к фактическим точкам исходной выборки.

3. Установить область использования модели, т.е. пределы её экстраполяции.
4. На основании  этого рассчитать прогнозное (интерполяционное и экстраполяционное) значения З_пр= f(G) от G_пр, соответствующего заданию.
5. Построить прогнозную модель затрат (З) на создание БТС в зависимости от веса (G) БТС и определить значения этих затрат для БТС весом: G₁ и G₂.

2. Оценка взаимосвязи между функцией и аргументом 

     Оценим взаимосвязь между показателем затрат на создание БТС и параметром ЛА.

      Оценка  взаимосвязи осуществляется с помощью  визуального метода (строится график зависимости затрат от параметра ЛА – см. рис. 2.1) и математического.

Рис. 2.1. Зависимость изменения затрат от параметра ЛА

      Математический  метод оценки взаимосвязи предполагает оценку связи исходя из двух предположения – о линейности взаимосвязи между функцией и аргументом.

     При предположении, что связь линейная оценивается коэффициент парной корреляции (r_yx):

                                       ,

где - среднеарифметические значения функции (Y) и аргумента (x);

n – размер статистической выборки (n=10)

 = (6+8+9+10+10+12+13+16+18+20)/10 = 12,2

 = (2+3+5+7+9+10+12+14+16+18)/10 = 9,6 

r_yx = (1/10)*[(6-12,2)(2-9,6)+(8-12,2)(3-9,6)+(9-12,2)(5-9,6)+(10-12,2)(7-9,6)+(10-12,2)(9-9,6)+(12-12,2)(10-9,6)+(13-12,2)(12-9,6)+(16-12,2)(14-9,6)+(18-12,2)(16-9,6)+(20-12,2)(18-9,6)]/ *

= 0,10*(217,8)/(4,3081*5,1614) = 0,9795 

r_yx = 0,9795

      Т.к. можно говорить о том, что связь существенна.

     Результаты  расчетов занесем в таблицу 2.1.

Таблица 2.1.

Показатель существенности  взаимосвязи параметров модели

3. Подбор вида аппроксимирующей  зависимости и  определение параметров  аппроксимирующих  зависимостей 

     При выполнении данной курсовой работы разнообразие возможных зависимостей ограничивается рассмотрением одной - использование для аппроксимации исходного статистического ряда линейной модели З=a+bG.

     Определим параметры аппроксимирующей зависимости.

     Значения  параметров аппроксимирующих зависимостей определяются с помощью метода наименьших квадратов (МНК) с использованием стандартных программ.

     Для расчета параметров линейной модели используем следующие формулы:

b=(96*122)-10*(2*6+3*8+5*9+7*10+9*10+10*12+12*13+14*16+16*18+18*20)/(96)² – 10*(2²+3²+5²+7²+9²+10²+12²+14²+16²+18²)=(11712-13890)/(9216-11880)=(-2178)/(-2664)=0,8176

b=0,8176

а=(122-0,8176*96)/10=4,3510

а=4,3510

     Результаты  занесем в табл. 3.1

     Таблица 3.1

     Значения  параметров аппроксимирующих зависимостей

4. Оценка точности  аппроксимации моделируемой  связи 

     Рассчитаем следующие показатели:

1. Относительная погрешность аппроксимации:

         ,

где Y_ci, Y_pi – статистическое и расчетное (в соответствии с аппроксимирующей зависимостью) значения функции.

y=4,3510+0,8176*Х

Y_p1=4,3510+0,8176*2=5,9862

Y_p2=4,3510+0,8176*3=6,8038

Y_p3=4,3510+0,8176*5=8,4390

Y_p4=4,3510+0,8176*7=10,0742

Y_p5=4,3510+0,8176*9=11,7094

Y_p6=4,3510+0,8176*10=12,5270

Y_p7=4,3510+0,8176*12=14,1622

Y_p8=4,3510+0,8176*14=15,7974

Y_p9=4,3510+0,8176*16=17,4326

Y_p10=4,3510+0,8176*18=19,0678

Е = **100%= /10*100% = 0,0617*100% = 6,1650%≈6%

Е = 6%

2. Среднее линейное отклонение:

b= = = 6,9460≈7

3. Среднеквадратичное отклонение:

σ= = =0,8680

σ=0,8680

4. Корреляционное отношение:

       ;

где k=n-p; p- число оцениваемых параметров зависимости. Для линейного представления уравнения регрессии число констант – p=2);

      k=10-2=8

      σ²_случ=(0,0138²+1,1962²+0,5610²+(-0,0742)²+(-1,7094)²+(-0,5270)²+(-1,1622)²+0,2026²+0,5674²+0,9322²)/8 = 7,5336/8 = 0,9417

      σ²_полн=((-6,2)²+(-4,2)²+(-3,2)²+(-2,2)²+(-2,2)²+(-0,2)²+0,8²+3,8²+5,8²+7,8²)/8 = 185,6/8 = 23,2

      R= = = = 0,9795

     Значения  R приближается к 1, что говорит о высокой тесноте связи.

      При малых статистических выборках (n 30) для повышения надежности корреляционного отношения производится его корректировка:

       = = 0,2137

      Высокое значение R_k (R_k 0,9) говорит о надежности рассчитанного ранее значения R.

 5. Расчетное значение t- критерия Стьюдента (t_p)

 t_p = = 0,6044/0,9543 = 0,6333

 t_p = 0,6333

     Сравним значение t_p с табличным значением t_T.

Чем в  большей мере расчетное значение t_p выше табличного значения t_T, тем более тесная взаимосвязь между функцией и аргументом.

      Табличные значения t_T – критерия Стьюдента представлены в приложении 2. Его значение зависит от размера статистической выборки (n) и принимаемой доверительной вероятности (P_α).

      Т.к. n=10, а К=n-p, то К=10-2=8

     Выберем уровень доверительной вероятности  равным 2,307

     Результаты  расчетов п. 4 заносятся в табл. 4.1

     Таблица 4.1

Статистические  показатели надежности (точности) аппроксимации

По данным произведенного расчета предпочтительно использование линейной модели. 
 
 

5. Расчет доверительного  интервала (ДИ)

= 0,6675

     Доверительный интервал (ДИ) для прогнозных значений функции должен учитывать неопределенность, связанную с положением тренда и  возможностью отклонения от этого тренда. То есть необходима корректировка ДИ в зависимости от размера статистической выборки (n) и интервала упреждения (L).

,

 где  k^* - функция длины статистического ряда (n) и периода упреждения (L).

Период  упреждения равен:

L=G₂-X_max=20-18=2

k = = =1,2697

=0,8475 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Построение прогнозной модели

k^*

З=4,3510+0,8176*G±2,307* *1,2697

З_экс=4,3510+0,8176*G±0,8475

З₁=0,8176*G+5,1985

З₂=0,8176*G+3,5035

З=4,3510+0,8176*G±2,307*

З_инт=4,3510+0,8176*G±0,6675

З₁=0,8176*G+5,0185

З₂=0,8176*G+3,6835

Рис. 6.1 Прогнозная модель

7. Расчет прогнозных значений функции

      Рассчитаем прогнозные (наиболее вероятное, минимальное или максимальное) значения затрат в зависимости от заданных (в соответствии с вариантом Задания) значений G.

      При этом для расчета интерполяционных прогнозных значений затрат

(прогнозное  значение G находится в пределах диапазона изменения статистических значений аргумента) используем модель:

З=4,3510+0,8176*G±0,6675

З=4,3510+0,8176*6±0,6675          (G=6)

З_min=4,3510+0,8176*6-0,6675=3,6835+4,9056=8,5891

З_max=4,3510+0,8176*6+0,6675=5,0185+4,9056=9,9241

З_нв=4,3510+0,8176*6=9,2566

      Для расчета экстраполяционных значений затрат (при выходе значений G за пределы статистической совокупности) используются модель:

З=4,3510+0,8176*G±0,8475

З=4,3510+0,8176*20±0,8475          (G=20)

З_min=4,3510+0,8176*20-0,8475=3,5035+16,3520=19,8555

З_max=4,3510+0,8176*20+0,8475=5,1985+16,3520=21,5505

З_нв=4,3510+0,8176*20=20,7030

      Результаты  расчетов заносятся в табл. 7.1.

      Таблица 7.1

Прогнозные  значения функции

8. Графическая интерпретация результатов расчетов и аппроксимирующей зависимости

      Дадим графическое представление исходной статистической зависимости, аппроксимирующей зависимости с изображением доверительного интервала, прогнозных (интерполяционных и экстраполяционных) значений функции: наиболее вероятного, минимального и максимального (рис.8.1).

      Рис. 8.1 Зависимость изменения затрат от параметра ЛА 
 

      Вывод

     Рассмотренная методология анализа параметров G – параметр производственного процесса и З – связанная с G затраты на создание БТС позволяет получить достаточно обширную аналитическую информацию. Такая информация крайне необходима для организации планирования и управления на всех уровнях производства. Без этой информации нельзя также решать задачу по повышению рентабельности предприятия или организации.

     Целью курсовой работы было изучить данные показатели и их взаимосвязь. Был  проведен анализ, по итогам которого были определены прогнозные значения затрат для БТС весом G₁ и G₂.

     Были построены прогнозные модели затрат (З) на создание БТС в зависимости от веса (G) и определены значения этих затрат для БТС весом: G1 и G2

З=4,3510+0,8176*G±0,6675

З=4,3510+0,8176*G±0,8475

Прогнозные  значения затрат для БТС весом G1=6т  составит З_min=8,5891

 млн.д.е., З_max=9,9241 млн.д.е., З_нв=9,2566 млн.д.е.

весом G2=20 т составит З_min=19,8555 млн.д.е., З_max=21,5505 млн.д.е., З_нв=20,7030 млн.д.е.

     Так же были определены доверительные интервалы, в пределах которых изменяется экстраполирующая и интерполирующая функции и данный динамический ряд, которые оказались равными ДИ=0,6675 и ДИ^*=0,8475 
 
 
 
 
 
 
 

      Приложение 1

      Задание

      Построить прогнозную модель затрат (З) на создание БТС в зависимости от веса (G) БТС и определить значения этих затрат для БТС весом: G₁ и G₂.