Построение РМ курса украинской валюты. Построение МОБ для Украины; МД – агрегирование первой, четвертой и седьмой отраслей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет»

Филиал в г. Братске

Факультет очного обучения

Кафедра прикладной информационных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

по  дисциплине: «Математическая экономика»

Тема: «Построение РМ курса украинской валюты. Построение МОБ для Украины; МД – агрегирование первой, четвертой и седьмой отраслей»

Братск-2012г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Для современного состояния  науки характерен переход к глобальному  рассмотрению экономических процессов, их корреляционному, регрессионному и  дисперсионному анализу.

Факторы, воздействующие на изучаемый процесс, делятся на две группы: определяющие уровень изучаемого процесса и второстепенные. Последние обычно имеют случайный характер и определяют индивидуальные особенности каждого объекта исследования. Взаимодействие главных и второстепенных факторов определяют колебания исследуемого процесса. В этом взаимодействии синтезируется как необходимое, типическое, определяющее закономерность изучаемого явления, так и случайное, характеризующее отклонение от этой закономерности.

Для достоверного отображения  объективно существующих в экономике процессов необходимо выявить существенные взаимосвязи и дать им количественную оценку. Этот подход требует определения причинных зависимостей. Под причинной зависимостью понимается связь между процессами, когда изменение одного из них является следствием изменения другого. При анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, изучающий их – регрессионным анализом.

1. Виды анализа

1.1. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ – это метод моделирования  измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений переменной отклика и объясняющей переменной. Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной. Параметры модели настраиваются таким образом, что модель наилучшим образом приближает данные. Критерием качества приближения или целевой функцией является среднеквадратичная ошибка: сумма квадратов разности значений модели и зависимой переменной для всех значений независимой переменной в качестве аргумента. Предполагается, что зависимая переменная есть сумма значений некоторой модели и случайной величины. Относительно характера распределения этой величины делаются предположения, называемые гипотезой порождения данных. Для подтверждения или опровержения этой гипотезы выполняются статистические тесты, называемые анализом остатков. При этом предполагается, что независимая переменная не содержит ошибок. Регрессионный анализ используется для прогноза, анализа временных рядов, тестирования гипотез и выявления скрытых взаимосвязей в данных.

Регрессия — зависимость математического ожидания случайной величины от одной или нескольких других случайных величин. Регрессионным анализом называется поиск такой функции, которая описывает эту зависимость. Регрессия может быть представлена в виде суммы не случайной и случайной составляющих.

В статистической литературе различают регрессию с участием одной свободной переменной и с несколькими свободными переменными — одномерную и многомерную регрессию. Предполагается, что мы используем несколько свободных переменных в случаях, когда свободная переменная является скаляром. Различают линейную и нелинейную регрессию. Если регрессионная модель не является линейной комбинацией функций от параметров, то говорят о нелинейной регрессии. Модель может быть произвольной суперпозицией функций из некоторого набора. Нелинейными моделями являются экспоненциальные, тригонометрические и другие, полагающие зависимость между параметрами и зависимой нелинейной переменной. Различают параметрическую и непараметрическую регрессию. Считается, что линейные модели являются параметрическими, а модели, включающие усреднение зависимой переменной по пространству свободной переменной — непараметрическими. Примером параметрической регрессионной модели может служить линейный предиктор или многослойный персептрон. Смешанная регрессионная модель является функцией радиального базиса. Непараметрическая модель — скользящее усреднение в окне некоторой ширины. Непараметрическая регрессия отличается от параметрической тем, что зависимая переменная зависит не от одного значения свободной переменной, а от некоторой заданной окрестности этого значения.

1.1.1. Регрессионные  модели

Целью регрессионного анализа  является создание математических моделей  экономических объектов или процессов  на основе наблюдаемых или статистических показателей.

Пусть есть два экономических  показателя X и Y, характеризующих некоторый экономический объект.

Будем называть X – входным (экзогенным или объясняющим) показателем, Y – выходным (эндогенным или объясняемым) показателем.

Пусть известны пары таких  показателей (Y,X).

Задачей регрессионного анализа является определение с  установленной точностью или вероятностью подобных пар, не вошедших в исходный наблюдаемый набор.

Временными рядами называют пары показателей (Y_i,X_i), i=1..n, если они получены для одних и тех же экономических величин в разные моменты времени.

Пространственными наблюдениями называют пары показателей (Y_i,X_i), i=1..n, если они получены в один и тот же момент времени для разных экономических объектов.

Данные или показатели в математической экономике принято  задавать в форме таблицы (рис.1) или  графически, в форме корреляционных полей (рис.2).

Рис.1 Таблица показателей

Рис.2 Корреляционное поле

1.1.2. Связь между  показателями в регрессионной  модели

При построении математической модели экономического процесса можно выделить два подхода.

Согласно первому в качестве модели принимается некоторая однозначная  математическая функция. Однако в силу того, что экономические процессы в значительной мере зависят от трудноучитываемых  вероятностных факторов, такое моделирование неудовлетворительно.

Более эффективным оказываются  вероятностные или стохастические модели вида

Y_i = f(X_i) + U_i

где f(X_i) – однозначная функция,

U_i – случайная функция для характеристики неучтенных факторов. Обычно в качестве функции берут случайную величину с математическим ожиданием равным 0 и некоторой постоянной величиной дисперсии.

1.1.3. Линейная  регрессионная модель

Пусть экономический  объект характеризуется двумя показателями X и Y. Они принимают значения x₁, x₂ … x_n; y₁, y₂ … y_n и могут быть сгруппированы в пары (x₁, y₁)… (x_n, y_n).

Линейная модель исходит  из предположения, что значения X и Y связаны линейной функцией:

Построить линейную регрессионную  модель – означает определить коэффициенты ρ и β таким образом, чтобы получающаяся прямая в каком-то смысле проходила на наименьшем удалении от точек наблюдения.

Для того, чтобы удовлетворить условию  максимальной адекватности модели, используем метод наименьших квадратов (МНК).

Пусть - модельная прямая, x_i – значения точек наблюдения.

МНК требует, чтобы разность между  модельными точками и точками  наблюдений удовлетворяла условию

Станем находить коэффициенты ρ и β, пользуясь условием минимальности предыдущего выражения.

1.1.4. Оценка адекватности  модели

Построенная модель опирается  на статистические данные и по своей  природе является вероятностной, поэтому для того, чтобы оценить степень сбываемости прогнозов на основе этой модели, нужно исключить вероятностные характеристики.

Выборочный коэффициент корреляции служит для оценки связи между  случайными величинами. Он вычисляется  по формуле

где – выборочный корреляционный момент,

 – среднеквадратичные дисперсии.

Выборочный коэффициент  корреляции γ принимает значения в интервале (0;1). Чем ближе его значение к 1, тем более адекватной является построенная модель.

Вероятность расхождения  прогноза, сделанного с помощью модели, и измерения реальной величины составляет

1.2 Корреляционный анализ

Метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов корреляции между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков для установления между ними статистических взаимосвязей.

Цель корреляционного анализа — обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют. В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной А, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Б.

Применение возможно в случае наличия достаточного количества случаев для изучения: для конкретного  вида коэффициента корреляции составляет от 25 до 100 пар наблюдений. Второе ограничение вытекает из гипотезы корреляционного анализа, в которую заложена линейная зависимость переменных. Во многих случаях, когда достоверно известно, что зависимость существует, корреляционный анализ может не дать результатов просто ввиду того, что зависимость не является линейной. Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, какая из переменных предшествует или является причиной изменений, или что переменные вообще причинно связаны между собой, например, ввиду действия третьего фактора.

Данный метод обработки  статистических данных весьма популярен  в экономике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие.

Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной  математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.

1.3 Дисперсионный  анализ

От латинского Dispersio –  рассеивание / на английском Analysis Of Variance – ANOVA, применяется для исследования влияния одной или нескольких качественных переменных на одну зависимую количественную переменную.

В основе дисперсионного анализа лежит  предположение о том, что одни переменные могут рассматриваться  как причины (факторы, независимые переменные), а другие как следствия (зависимые переменные). Независимые переменные называют иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте исследователь имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат.

Основной целью дисперсионного анализа, является исследование значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Разделение общей дисперсии на несколько источников, позволяет сравнить дисперсию, вызванную различием между группами, с дисперсией, вызванной внутригрупповой изменчивостью. При истинности нулевой гипотезы о равенстве средних в нескольких группах наблюдений, выбранных из генеральной совокупности, оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии. Если вы просто сравниваете средние в двух выборках, дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный t-критерий для независимых выборок.

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении  общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компоненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и проверке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуемый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловлена действием регулируемых факторов.

Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок, которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными. По количеству выявляемых регулируемых факторов дисперсионный анализ может быть однофакторным, двухфакторным и многофакторным.

Дисперсионный анализ относится  к группе параметрических методов  и поэтому его следует применять  только тогда, когда доказано, что распределение является нормальным. Дисперсионный анализ используют, если зависимая переменная измеряется в шкале отношений, интервалов или порядка, а влияющие переменные имеют нечисловую природу.

2. Построение регрессионной  модели курса украинской валюты

2.1. Задание

Найти, пользуясь поисковыми системами, данные о динамике курса  доллара США к рублю за заданный период: 60 торговых сессий, начало периода 15.08.2007г.

Построить линейную регрессионную  модель.

Дать прогноз динамике курса валют на последующий за выборочный период длительностью 10 торговых сессий.

Сравнить прогнозные значения и значения реальной выборки  за указанные 10 торговых сессий. Сделать  вывод об адекватности модели.

2.2. Сбор и  обработка данных

Динамика курса валюты Украинская гривна к рублю

Таблица 1.

Для проведения дальнейших расчетов построим промежуточную таблицу 2.

Таблица 2

Промежуточная таблица

2.3. Построение линейной  регрессионной модели

В общем виде линейная регрессионная модель имеет вид:

Коэффициенты ρ и  β находят как решение системы  уравнений:

Для рассматриваемого примера  система уравнений будет иметь  вид (таблица 2):

Результаты расчета:

Проверим с помощью  ЛИНЕЙН функции:

 ЛИНЕЙН(B4:B47)

 ЛИНЕЙН(D4:D47)

Тогда линейная регрессионная модель представляется в виде:

y = -0,051x + 51,54

R² = 0,877

C помощью средств MS Excel на графике изображено корреляционное поле и регрессионная модель.

Рис.3 Корреляционное поле и регрессионная модель

2.4. Оценка адекватности  модели

Выборочный коэффициент корреляции служит для оценки адекватности построенной модели. Он вычисляется по формуле:

Где – выборочный корреляционный момент,

 – среднеквадратичные дисперсии.

Для проведения дальнейших расчетов заполнила промежуточную  таблицу 3.

Таблица 3

Промежуточная таблица

Подставив значения из таблицы 3 в вышеприведенные формулы, получили выборочный коэффициент корреляции. Результат расчета:

γ = 0,93238

Следовательно, вероятность  расхождения прогноза, сделанного, с помощью построенной линейной регрессионной модели и измерения реальной величины составляет 16,65%.

3. Построение  межотраслевого баланса для Украинской  валюты

3.1. Задание

Построить модель межотраслевого баланса Леонтьева и провести агрегирование первой, четвертой и седьмой отрасли с использованием матрицы деформации.

3.2. Построение  учебной таблицы межотраслевого  баланса

Для того, чтобы построить  модель межотраслевого баланса нам необходимо 8 отраслей. Использовалась компания «Apple».

http://www.apple.com/ru