Построение семейства графиков функций вида Y=F(X)

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Курский  государственный  университет» 
 
 
 

Факультет Физико-математический

Направление подготовки 010400 Прикладная математика и информатика

Кафедра Методики преподавания информатики и информационных технологий 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 
 
 

по дисциплине «Языки программирования и методы трансляции» 
 
 
 

Построение  семейства графиков функций вида Y=F(X) 
 
 
 

Оценка ________________ 
 
 
 
 
 
 

КУРСК

2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..3

Глава 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ……………………………………….....5

   1.1 Декартовая система координат………………………………………......9

   1.2 Полярная система координат…………..………………………………..11

   1.3 Связь между полярной и декартовой  системами координат………….21

Глава 2. СТРУКТУРНОЕ ОПИСАНИЕ РАЗРАБОТКИ………………………….23

Глава 3. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ…………….………………………32

Глава 4. ОПИСАНИЕ ПРИЕМОВ РАБОТЫ С ПРОГРАММОЙ………………..36

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………..40

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………..41

ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………….......42 

ВВЕДЕНИЕ

     В последнее время резко возрос интерес к программированию. Это  связано с развитием и внедрением в повседневную жизнь информационно-коммуникационных технологий. Если человек имеет дело с компьютером, то рано или поздно у него возникает желание, а иногда и необходимость, программировать.

          Среди пользователей персональных компьютеров в настоящее время наиболее популярно семейство операционных систем Windows и, естественно, что тот, кто собирается программировать, стремится писать программы, которые будут работать в этих системах. Несколько лет назад рядовому программисту оставалось только мечтать о создании собственных программ, работающих в среде Windows, т. к. единственным средством разработки был Borland C++ for Windows, явно ориентированный на профессионалов, обладающих серьезными знаниями и опытом.

     Бурное  развитие вычислительной техники, потребность в эффективных средствах разработки программного обеспечения привели к появлению систем программирования, ориентированных на так называемую "быструю разработку", среди которых можно выделить Borland Delphi и Microsoft Visual Basic. В основе систем быстрой разработки (RAD-систем, Rapid Application Development — среда быстрой разработки приложений) лежит технология визуального проектирования и событийного программирования, суть которой заключается в том, что среда разработки берет на себя большую часть рутинной работы, оставляй программисту работу по конструированию диалоговых окон и функций обработки событий. Производительность программиста при использовании RAD-систем - фантастическая!

     Delphi — это среда быстрой разработки, в которой в качестве языка программирования используется язык Delphi. Язык Delphi — строго типизированный объектно-ориентированный язык, в основе которого лежит хорошо знакомый программистам Object Pascal.

     Цель  работы: Построить семейство графиков 5 функций, заданных аналитически и определенных на известном интервале изменения аргумента [a,b] для декартовой и полярной систем координат.

       Задачи работы:

           1. Изучить теоретический материал по теме работы и особенности применения на практике полученных теоретических знаний.

        2. Решить прикладную задачу из конкретной предметной области, создав программный продукт в одной из объектно-ориентированных инструментальных сред.

             3. Описать основные приёмы работы с созданным программным средством (сеанс работы).

Глава 1.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

     Координаты (от лат. co - совместно и ordinatus - упорядоченный, определенный), числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке.  
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья - осью апликат.  
Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую. В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 - 1650) впервые введшего координаты в геометрию.  
          Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени - Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.  
После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.  
          Философские взгляды Декарта не соответствовали требованиям католической церкви. Поэтому он переселился в Голландию, где прожил 20 лет, с 1629 по 1649 г., но из-за гонений протестантской церкви в 1649 г. переехал в Стокгольм. Но суровый северный климат Швеции оказался для Декарта губительным, и он умер от простуды в 1650 г.  
            Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. В основе его философии лежал материализм. Самым известным трудом Декарта является его "Геометрия". Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.  
            В пространстве аналогом полярных координат служат цилиндрические координаты и сферические координаты. На поверхностях определяются криволинейные координаты (напр., географические координаты - долгота и широта на сфере).  
Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую. В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 - 1650) впервые введшего координаты в геометрию.  
                 Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени - Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.  
После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.  
           Философские взгляды Декарта не соответствовали требованиям католической церкви. Поэтому он переселился в Голландию, где прожил 20 лет, с 1629 по 1649 г., но из-за гонений протестантской церкви в 1649 г. переехал в Стокгольм. Но суровый северный климат Швеции оказался для Декарта губительным, и он умер от простуды в 1650 г.  
Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. В основе его философии лежал материализм. Самым известным трудом Декарта является его "Геометрия". Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.  
              Криволинейные координаты - координаты точки на плоскости, на поверхности или в пространстве, отличные от прямолинейных (декартовых) координат. На плоскости (поверхности) криволинейные координаты определяются при помощи таких двух семейств кривых (координатных линий), что любая кривая одного семейства пересекает любую кривую другого семейства не более чем в одной точке; координатами этой системы считаются соответствующие значения параметров семейств.  
Криволинейные координаты впервые использовал Я. Бернулли (1691). С именем К. Гаусса связаны криволинейные координаты на поверхности. Криволинейные координаты в пространстве и название " криволинейные координаты" впервые ввел Г. Ламе (1833).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  1.1 Декартовая система координат

                   Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

     Если  в качестве координатных осей берутся  прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

     В элементарной математике чаще всего  рассматривается двухмерная или  трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

     В двухмерной системе координат все  точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость. 
 

     1.2 Полярная система  координат

     Понятие угла и радиуса были известны ещё  в первом тысячелетии до н. э. Греческий астроном Гиппарх (190—120 гг до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

     В IX веке персидский математик Хабас аль-Хасиб аль-Марвази применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку. Персидский географ Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы.

     Существуют  разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полную историю  возникновения и исследования описаны в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат». Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавельери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спирали Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

     В книге «Методы флукций» (написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

     Введение  термина «полярные координаты»  приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Графическое представление

     Точка в полярной системе координат.

     Каждая  точка в полярной системе координат  может быть определена двумя полярными  координатами, что обычно называются r (радиальная координата) и (угловая координата, полярный угол, азимут, иногда пишут θ или t). Координата r соответствует расстоянию до полюса, а координата равна углу в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называется полярной осью).

     Например, точка с координатами будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами будет нарисована на том же месте, поскольку отрицательное расстояние изображается в положительную в противоположном направлении (на 180°).

     Одной из важных особенностей полярной системы  координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для  определения азимута точки нужно  повернуть полярную ось так, чтобы  он указывал на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка может быть представлена в виде или , где n — произвольное целое число.

     Для обозначения полюса используют координаты . Независимо от координаты точка с нулевым расстоянием от полюса всегда находиться на нём. Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до неотрицательных значений , а угол к интервалу или (в радианах или ).

     Углы  в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах, при этом . Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики, и почти во всех разделах математики используют радианы.

Уравнение кривых в полярных координатах

     Благодаря радиальной природе полярной системы  координат, некоторые кривые могут  быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

     Окружность

     Круг, заданный уравнением .

     Общее уравнение окружности с центром  в ( ) и радиусом a имеет вид:

     Это уравнение может быть упрощено для  частных случаев, например

     является  уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом a.

     Прямая

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

где θ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где m — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую в точке определяется уравнением

     Полярная роза

     Полярная роза задана уравнением .

     Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

     для произвольной постоянной θ₀ (включая 0). Если k — целое число, то это уравнение будет определять розу с k лепестками для нечётных k, либо с 2k лепестками для чётных k. Если k — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a определяет длину лепестков.

     Если  считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном  k мы будем иметь k - лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус - это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным. 

     Спираль Архимеда

     Одна  из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для .

     Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

     Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметра b — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для а другую для . Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением. 

     Конические сечения

     Эллипс.

Коническое сечение, один из полюсов которого находится  в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

где e — эксцентриситет, а  — фокальный параметр. Если e > 1, это уравнение определяет гиперболу; если e = 1, то параболу; если e < 1, то эллипс. Отдельным случаем является e = 0, определяющее круг с радиусом .

Применение

     Полярная  система координат двумерная  и поэтому может применяться  только в тех случаях, когда местонахождение  точки определяется на плоскости, или  для случая однородности свойств  системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.

     Позиционирование и навигация

     Полярную  систему координат часто применяют  в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу. Так, самолёт, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолёт, летящий 5 единиц в направлении 90 (центр управления полётами назовёт его найн-зиро).

     Моделирование

     Фронт мощности звуковой волны промышленного  громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах.

     Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы  координат совпадает с центром  симметрии. В качестве примера можно  привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.

     Трёхмерное  моделирование звука динамиков  может использоваться для прогнозирования  их эффективности. Необходимо сделать  несколько диаграмм в полярных координатах  для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность.

     1.3 Связь между полярной и декартовой  системами координат

     Пару  полярных координат r и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

     в то время как две декартовы  координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r:

     r² = y² + x² (по теореме Пифагора).

     Для определения угловой координаты следует принять во внимание два следующие соображения:

• Для , может быть произвольным действительным числом.
• Для , чтобы получить уникальное значение , следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал или .

     Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями (arctg обозначает обратную функцию к тангенсу):

     Для вычисления в интервале , можно воспользоваться такими уравнениями:

     Учитывая, что для вычисления полярного  угла не достаточно знать отношение  y к x, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя. В языках программирования, поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты x.