Построение жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц. Жорданова нормальная форма матрицы
Введение
Для произвольной квадратной матрицы H над алгебраически замкнутым полем P всегда существует такая квадратная матрица C над P , что является жордановой матрицей.
Матрица , называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы и имеет вид:
Будут рассмотрены основные понятия и теоремы жордановой матрицы.
Целью курсовой работы является ознакомление с понятием жордановой формы матрицы, способами получения, построения жорданова базиса и жордановой матрицы и приведение жордановой матрицы к нормальной форме.
Данная курсовая работа содержит 3 параграфа.
В §1 рассматриваются пять пунктов. В п 1.1. приводится алгоритм нахождения собственного значения и собственного вектора оператора. Исходя из этого пункта, переходят к рассмотрению п 1.2., где даны понятия алгебраической и геометрической кратности собственного значения . Далее следует п 1.3.. В нем даны понятия жордановой формы матрицы и жорданова базиса. В пп 1.4. и 1.5. приведены алгоритмы нахождения жорданова базиса и жордановой формы.
В §2 рассматриваются 3 пункта. В первых двух пунктах (2.1. и 2.2.) раскрывается тема характеристической матрицы, которая используется при нахождении жордановой матрицы. В п 2.3. даются несколько свойств: количество и размер жордановых клеток (приведен пример).
В последнем §3 рассмотрены способы построения жорданова базиса, жордановой и трансформирующей матриц. В этих способах предложены 5 правил построения. П 3.4. посвящен приведению матрицы к жордановой нормальной форме. Дана теорема о приведении матрицы H в поле P к жордановой нормальной форме.
Приведенный материал иллюстрируется в решениях различных задач, которые даются в п 3.5. §3.
Для
данной курсовой работы были использованы
7 источников литературы.
§1.
Собственные векторы
и собственные значения
оператора. Жорданова
форма матрицы и жорданов
базис
1.1. Алгоритм нахождения собственного значения и собственного вектора оператора
Рассмотрим линейный оператор h в пространстве и пусть H – матрица этого оператора в некотором базисе , .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. называется характеристи-ческим многочленом матрицы (E – единичная матрица порядка n).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Вектор называется собственным вектором оператора h, если , а – собственным значением оператора h, соответствующим собственному вектору .
1)
Найдем все корни
2) подставим в систему
решим ее и найдем все собственные векторы, отвечающие собственному значению , затем подставим и так далее.
1.2. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Кратность корня в характеристическом многочлене называется алгебраической кратностью собственного значения .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Геометрической кратностью собственного значения называется размерность собственного подпространства оператора h
Утверждение. , где n – порядок матрицы оператора h. (см.[5], стр.3)
ТЕОРЕМА 1. Оператор h в базисе имеет диагональную матрицу H в том и только том случае, когда базисные векторы ( ) – собственные. (см.[5], стр.3)
1.3. Жорданова форма матрицы и жорданов базис
Жорданова матрица – квадратная блочно-диагональная матрица над полем P, с блоками вида
Блок называется жордановой клеткой с собственным значением .
Для произвольной квадратной матрицы над алгебраически замкнутым полем P всегда существует такая квадратная невырожденная матрица над P, что является жордановой матрицей (иначе говоря, сопряжена в P некоторой жордановой матрице).
Матрица , указанная выше, называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы . Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над P в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Жордановой клеткой порядка m, относящейся к числу , называется матрица порядка m, , имеющая вид:
Иными словами, на ее главной диагонали стоит одно и то же собственное значение из поля P; параллель, ближайшая к главной диагонали сверху, сплошь занята числом 1, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Так,
будут соответственно жордановыми клетками первого, второго и третьего порядков.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Жордановой матрицей порядка k называется матрица порядка k, имеющая вид
здесь вдоль главной диагонали идут жордановы клетки некоторых порядков, не обязательно различных, относящиеся к некоторым числам из поля P, также не обязательно различным; все места вне этих клеток заняты нулями. При этом , т.е. одна жорданова клетка порядка n принадлежит к числу жордановых матриц этого порядка, и, понятно, .
Ниже представлена жорданова матрица, состоящая из трех жордановых клеток:
- размер 1, отвечающая собственному значению ;
- размер 2, отвечающая собственному значению ;
- размер 3, отвечающая собственному значению .
Заметим, хотя это и не будет дальше использоваться, что строение жордановой матрицы можно было бы описать, не прибегая к понятию жордановой клетки. Очевидно, именно, что матрица будет жордановой матрицей тогда и только тогда, если она имеет вид
где , , – произвольные числа из поля P, а каждое , , равно единице или нулю, причем, если , то .
Диагональные матрицы являются частным случаем жордановых матриц: это будут в точности те жордановы матрицы, у которых все жордановы клетки имеют порядок 1.
ТЕОРЕМА 2. Для произвольного оператора h : существует базис пространства , в котором матрица оператора имеет клеточно-диагональный вид, причем на главной диагонали стоят жордановы клетки вида (4). (см.[5], стр. 4)
Этот базис называется жордановым, а данный канонический вид матрицы называется жордановой формой.
Замечание. Жорданова форма определяется однозначно с точностью до порядка клеток (каждой клетке с соответствует один собственный вектор).
1.4. Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки
Рассмотрим
поэтому
Во втором столбце матрицы находится вектор , разложенный по этому же базису и так далее.
Таким образом, собственный вектор находим как решение системы , присоединенный вектор – как решение системы . Очевидно, что
Продолжая аналогичные рассуждения, для вектора получим .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Вектор называется присоединенным вектором высоты k.
Жорданов базис состоит из собственных и присоединенных к ним векторов.
Утверждение. Алгебраическая кратность собственного значения равна сумме размеров жордановых клеток с этим собственным значением. (см.[5], стр.5)
Утверждение. Геометрическая кратность собственного значения равна числу клеток в жордановой форме с собственным значением или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению .(см.[5], стр.5)
1.5. Алгоритм нахождения жордановой формы и жорданова базиса для матрицы 3-го порядка
Пусть дана матрица 3-го порядка. Надо найти жорданову форму и жорданов базис.
- Пусть характеристический многочлен матрицы H имеет вид
, где ( ). (11)
Тогда жорданова форма матрицы имеет вид .
- Пусть характеристический многочлен матрицы H имеет вид
где ( ). Возможны два случая:
а) , поэтому и, жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением :
б) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит одну жорданову клетку с собственным значением : .
Возможны два
а) , поэтому и, следовательно, жорданова форма содержит две жордановы клетки с собственным значением : ;
б)
, поэтому
и, следовательно, жорданова форма
содержит одну жорданову клетку с собственным
значением
:
.
§2.
Канонический вид
для характеристической
матрицы. Свойства жордановой
матрицы
2.1. Канонический вид для характеристической матрицы
Нашей ближайшей целью является разыскание канонического вида для характеристической матрицы произвольной жордановой матрицы порядка n. Найдем сначала канонический вид для характеристической матрицы
одной жордановой клетки (4) порядка m. Вычисляя определитель этой матрицы и вспоминая, что старший коэффициент многочлена должен равняться 1, получаем, что
С другой стороны, среди миноров (m–1)-го порядка матрицы (14) имеется минор, равный единице, а именно тот, который получается после вычеркивания первого столбца и последней строки этой матрицы. Поэтому
. (16)
Отсюда следует, что каноническим видом для матрицы (14) служит следующая -матрица порядка m:
Докажем теперь следующую лемму:
ЛЕММА 1. Если многочлены из кольца P[ ] попарно взаимно просты, то имеет место следующая эквивалентность:
Доказательство. Достаточно, очевидно, рассмотреть случай t=2. Так как многочлены и взаимно просты, то в кольце P[ ] существуют такие многочлены и , что
Поэтому
,
2.2. Характеристическая матрица
Перейдем теперь к рассмотрению характеристической матрицы
(20)
для жордановой матрицы вида (20); здесь , , есть единичная матрица того же порядка, что и клетка . Пусть жордановы клетки матрицы относятся к следующим различным числам: , где . Пусть, далее к числу , относится жордановых клеток, , и пусть порядки этих клеток, расположенные в невозрастающем порядке, будут
Применяя элементарные преобразования к тем строкам и столбцам матрицы (20), которые проходят через клетку этой матрицы, мы не будем затрагивать, очевидно, других диагональных клеток. Отсюда следует, что в матрице (20) можно при помощи элементарных преобразований заменить каждую клетку , , соответствующей клетки вида (17). Иными словами, матрица эквивалентна диагональной матрице, на диагонали которой стоят, помимо некоторого числа единиц, также следующие многочлены, соответствующие всем жордановым клеткам матрицы :
Мы не указываем при этом те места на диагонали, на которых стоят многочлены (22), так как в любой диагональной -матрице диагональные элементы можно произвольно переставлять при помощи перестановок строк и одноименных столбцов. Это замечание следует учитывать и в дальнейшем.
Пусть q – наибольшее среди чисел , . Обозначим через произведение многочленов, стоящих в -м столбце таблицы (22), , т.е.
если при этом в -м столбце имеются пустые места – для некоторых J может оказаться, что , – то соответствующие множители в (23) считаем равными единице. Так как числа по условию различные, то степени линейных двучленов, стоящие в -м столбце таблицы (22), попарно взаимно просты. Поэтому, на основании доказанной выше леммы, они при помощи элементарных преобразований могут быть заменены в рассматриваемой диагональной матрице их произведением и некоторым числом единиц.
Проделав это для
, мы получим, что
Это и будет искомый канонический вид матрицы . Действительно, старшие коэффициенты всех многочленов, стоящих в (24) на главной диагонали, равны единице и каждый из этих многочленов нацело делится на предыдущий ввиду условия (21).
Пример 1. Пусть
Для этой жордановой матрицы 9-го порядка таблица многочленов (22) имеет вид
, , , , . (25)
Поэтому
инвариантными множителями
в то время как
Теперь, когда мы научились по виду данной жордановой матрицы сразу писать канонический вид ее характеристической матрицы, может быть доказана следующая теорема:
ТЕОРЕМА 3. Две жордановы матрицы тогда и только тогда подобны, если они состоят из одних и тех же жордановых клеток, т.е. отличаются, быть может, лишь расположением этих клеток вдоль главной диагонали.
Доказательство. В самом деле, таблица многочленов (22) полностью определялась набором жордановых клеток жордановой матрицы и в ней никак не отражалось расположение жордановых клеток вдоль главной диагонали этой матрицы. Отсюда следует, что если жордановы матрицы и обладают одним и тем же набором жордановых клеток, то им соответствует одна и та же таблица многочленов (22), а поэтому одни и те же многочлены (23). Таким образом, характеристические матрицы и обладают одинаковыми инвариантными множителями, т.е. эквивалентны, а поэтому сами матрицы и подобны.
Обратно, если жордановы матрицы и подобны, то их характеристические матрицы обладают одинаковыми инвариантными множителями. Пусть многочлены (23) для будут те из этих инвариантных множителей, которые отличны от единицы. Однако по многочленам (23) восстанавливается таблица многочленов (22). Именно, многочлены (23) разлагаются в произведение степеней линейных множителей, так как этим свойством обладают, как уже доказано, инвариантные множители характеристической матрицы для тех максимальных степеней линейных множителей, на которые разлагаются многочлены (23). Наконец, по таблице (22) восстанавливаются жордановы клетки исходных жордановых матриц: каждому многочлену из таблицы (22) соответствует жорданова клетка порядка , относящаяся к числу . Эти доказано, что матрица и состоят из одних и тех же жордановых клеток и отличаются, быть может, лишь расположением.
Из этой теоремы следует, в частности, что жорданова матрица, подобная диагональной матрице, сама диагональна и что две диагональные матрицы тогда и только тогда подобны, если получаются друг из друга перестановкой чисел, стоящих на главной диагонали.
2.3.Свойства
- Количество и размер жордановых клеток. Количество жордановых клеток порядка с собственным значением в жордановой форме матрицы можно вычислить по формуле
, (27)
где E - единичная матрица того же порядка что и , - ранг матрицы , а , по определению, равен порядку .
Пусть H – матрица, которую нужно привести к жордановой форме, ( ) – собственные значения этой матрицы.
Количество жордановых клеток размера P, отвечающих собственному значению , определяется следующим образом:
, , , (29) где , - кратность корня .
Пример 2. Пусть дана матрица преобразования:
Найдем количество и размер жордановых клеток, соответствующих каждому значению этого преобразования.
Как искать собственные значения, было подробно рассказано в первом пункте. Поэтому опустим все расчеты, а сразу укажем собственные числа матрицы H: кратности и кратности .
Используя соотношения (28) и (29), найдем количество и размер жордановых клеток, соответствующих , .
.
Очевидно, что и, соответственно, , .
Количество жордановых клеток размера 1 будет равно: .
Ясно, что других клеток для собственного значения нет. Таким образом, для , мы имеем единственную жорданову клетку вида .
Далее аналогичным образом определяем клетки для второго собственного значения кратности .
Очевидно, что и, соответственно, .
Далее:
то есть и, соответственно, .
Теперь можно определить количество и размер жордановых клеток для второго собственного значения:
- размера 1: ;
- размера 2: .
Таким образом, для мы получили одну клетку размера 2:
