Введение

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от geо - земля и metrein - измерять)- наука о пространстве, точнее - наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно. уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

Геометрические построения, решение некоторых геометрических задач при помощи вспомогательных инструментов (линейка, циркуль и т.п.), которые предполагаются абсолютно точными. В исследованиях по геометрическим построениям выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора инструментов, и указываются способы решения этих задач. Геометрические построения обычно разделяются на построения на плоскости и в пространстве. Отдельные задачи на геометрические построения на плоскости рассматривались ещё в древности (например, знаменитые задачи о трисекции угла, удвоении угла, квадратуре круга). Как и многие другие, они относятся к задачам на геометрические построения с помощью циркуля и линейки. Геометрические построения на плоскости имеют богатую историю. Теория этих построений разработана датским геометром Г. Мором (1672) и затем итальянским инженером Л. Маскерони (1797). Значительный вклад в теорию геометрических построений был сделан швейцарским учёным Я. Штейнером (1833). Лишь в 19 в. был выяснен круг задач, разрешимых с помощью указанных инструментов. В частности, отмеченные выше знаменитые задачи древности не разрешимы с помощью циркуля и линейки. 

 Геометрические построения на плоскости Лобачевского занимался сам Н. И. Лобачевский. Общая теория таких построений и построений на сфере была развита советским геометром Д. Д. Мордухай-Болтовским. 

Геометрические  построения. в пространстве связаны с методами начертательной геометрии. Теория геометрических построений представляет интерес лишь в части, связанной с практическими приложениями в начертательной геометрии.

Главные цели моей работы:

-изучить литературу;

-рассмотреть способ выполнения геометрических построений с помощью одной линейки;

-применить полученные знания при решении практических задач. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.Историческая справка

   Геометрические  задачи на построение с помощью  циркуля и линейки зародились  еще в древней Греции во  времена Евклида и Платона.  Еще в те времена, математики умели строить с помощью циркуля и линейки правильные треугольники, пятиугольники и квадраты.

  Более того, они умели с помощью циркуля  и линейки делить угол пополам,  поэтому они умели строить  и правильные 6-ти, 10-ти и 15-ти  угольники и все правильные n-угольники. Очень важно, что с помощью линейки проводятся только отрезки прямых, а длины отрезков измеряются с помощью циркуля, а не делений на линейке. Так, используя эти инструменты можно построить отрезок, длина которого выражается числом, полученным из 1 с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и извлечением квадратного корня. Т.е. вначале есть только отрезок, длина которого принимается за 1. Тогда можно построить отрезок, длина которого равна рациональному числу или квадратному корню из рационального числа. Далее, если отрезок длины a уже построен с помощью циркуля и линейки, то можно построить с помощью этих инструментов отрезок длины b, если число b выражается через а с помощью арифметических действий и квадратного корня. Говорят, что такое число выражается в квадратных радикалах.

 Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно построить отрезок, длина которого выражается в квадратных радикалах. Все это знали еще математики древней Греции. Задачу построения других правильных многоугольников (или доказательство невозможности таких построений) не могли решить в течение двух последующих тысячелетий, а решена она была немецким студентом филологического факультета Гёттингенского университета  Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году. В то время Гауссу было 18 лет, и он разрывался между занятиями филологией и математикой и не мог сделать окончательного выбора. Решение древней задачи помогло ему сделать окончательный выбор в пользу (и на пользу) математики. Страшно даже подумать, насколько бы затормозилось развитие математики останься Гаусс филологом. До сих пор математики всего мира называют Гаусса королем математики.

 Однако вернемся к обсуждаемой задаче. Сначала Гаусс доказал, что с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых выражаются в квадратных радикалах и только они. Гаусс использовал для решения задачи комплексные числа, в частности, корни из единицы. Так как корни из 1 делят окружность на равные дуги, то задача построения правильного n-угольника сводится к вопросу: при каких n корни n-ой степени из 1 выражаются в квадратных радикалах. Здесь имеются ввиду их действительные и мнимые части. Таким образом, геометрическая задача была сведена к чисто алгебраической.

 Обозначим через  длину стороны правильного n-угольника. Гаусс нашел способ, с помощью которого ему удалось выразить число в квадратных радикалах и тем самым доказать, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный n-угольник.

  Но Гаусс не был бы Гауссом, если бы он остановился на этом. Позднее он решил задачу полностью, выяснив при каких n задача построения правильного n-угольника может быть решена, а при каких нет. Чтобы понять этот результат нам понадобится одно определение.

  Гаусс очень ценил эту свою математическую работу и перед смертью просил высечь на своей могильной плите правильный 17-ти угольник. Увы, это не было сделано. Но в городе Брауншвейг стоит на 17-ти угольном постаменте памятник Карлу Фридриху Гауссу – королю математики. 
 
 
 
 
 

2.ПОСТРОЕНИЕ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ

а) Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

• Линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины.
• Циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.

Построение циркулем и линейкой занимает важное место  в школьном курсе геометрии. Среди  задач на построение отметим следующие:  
    а) деление отрезка пополам и построение серединного перпендикуляра к отрезку;  
    б) построение биссектрисы угла;  
    в) проведение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную данной прямой;  
    г) проведение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данной прямой;  
    д) построение касательной к окружности, проходящей через данную точку;  
    е) построение треугольника по его элементам;  
    ж) построение правильных многоугольников, вписанных и описанных около данной окружности и др.  
    Здесь мы рассмотрим вопрос о том, какие задачи на построение выполнимы с помощью циркуля и линейки, а какие - нет.  
    Построение циркулем и линейкой предполагает возможность выполнения следующих операций:  
    1. Проведение прямой через две данные точки.  
    2. Проведение окружности с центром в данной точке и данным радиусом.  
    В результате этих операций к точкам данной совокупности можно присоединять:  
    а) точку пересечения двух прямых, полученных в результате операции 1;  
    б) точки пересечения прямой и окружности, полученных в результате операций 1 и 2:  
    в) точки пересечения двух окружностей, полученных в результате операции 2.  
    Выясним, какие точки можно построить циркулем и линейкой, исходя из данной совокупности точек A₀, A₁, … .  
    С помощью циркуля и линейки построим оси координат так, чтобы A₀ было началом координат, а отрезок A₀A₁ – единичным отрезком на оси абсцисс.  
    Каждой точке A на плоскости можно сопоставить ее координаты (x, y). Ясно, что точку A можно построить тогда и только тогда, когда можно построить ее координаты.  
    Переходя от точек плоскости к их координатам, выясним, какие числа можно построить, исходя из данной совокупности действительных чисел.

     Для совокупности X действительных чисел обозначим через Q[X] числа, полученные из чисел совокупности X применением (возможно многократным) к ним операций сложения, вычитания, умножения и деления.

     Простым квадратичным расширением Q¹[X] множества Q[X] назовем совокупность чисел вида a + b , где a, b – произвольные числа множества Q[X], а c – некоторое фиксированное число множества Q[X] такое, что  не принадлежит Q[X]. Легко видеть, что Q[X] содержится в Q¹[X], и сумма, разность, произведение и частное чисел множества Q¹[X] снова принадлежит множеству Q¹[X]. Через Q²[X] обозначим простое квадратичное расширение множества Q¹[X], …, через Qⁿ⁺¹[X] обозначим простое квадратичное расширение множества Qⁿ[X]. Наконец, квадратичным расширением Q^*[X] множества Q[X] назовем объединение всех Qⁿ[X]. Квадратичное расширение Q*[X] можно рассматривать, как множество чисел, получаемых из чисел совокупности X, применением (возможно многократным) к ним операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. 

  Теорема 1. Число c можно построить исходя из данной совокупности X действительных чисел тогда и только тогда, когда оно выражается через них с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня, т.е. принадлежит квадратичному расширению Q^*[X].  
    Доказательство. Покажем достаточность. Если числа a и b можно построить, то можно построить и числа a + b, a – b, a b, a/b (рис. 1).

Далее, если число  c > 0 можно построить, то можно построить и число  (рис. 2). Следовательно, любое число, получающееся из чисел данной совокупности с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня, можно построить. Для краткости, будем в дальнейшем называть такие операции квадратичными.  
    Покажем необходимость, а именно, что получающиеся при построении с помощью циркуля и линейки действительные числа, выражаются через данные числа с помощью квадратичных операций.  
    1. Пусть точка A(x, y) получена как пересечение двух прямых, проходящих через точки A₁(x₁, y₁), A₂(x₂, y₂) и A₃(x₃, y₃), A₄(x₄, y₄), координаты которых принадлежат данной совокупности.  
    Тогда координаты точки A удовлетворяют системе линейных уравнений

Переобозначив коэффициенты, перепишем эту систему в виде

Откуда

Следовательно, координаты x и y выражаются через координаты точек A₁, A₂, A₃ и A₄ с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, входящих в квадратичные операции.  
    2. Пусть точка A(x, y) получена как пересечение прямой, проходящей через данные точки A₁(x₁, y₁), A(x₂, y₂), и окружности с центром в данной точке A(x₃, y₃) и радиусом r. При этом координаты данных точек и радиус принадлежат данной совокупности.  
    Тогда координаты точки A удовлетворяют системе уравнений

Переобозначив коэффициенты, перепишем эту систему  в виде

Выразим x или y из первого уравнения и подставим во второе. Получим квадратное уравнение, коэффициенты которого выражаются через координаты данных точек с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления. Тогда корни этого уравнения выражаются с помощью этих же операций и операции извлечения квадратного корня, т. е. квадратичных операций.  
    3. Пусть точка A(x, y) получена как пересечение двух окружностей, проходящей через данные точки A₁(x₁, y₁), A(x₂, y₂), и данными радиусами r₁, r₂. При этом координаты данных точек и радиусы принадлежат данной совокупности.  
    Тогда координаты точки A удовлетворяют системе уравнений

Вычтем из первого  уравнения второе. Получим линейное уравнение

2(x₂ – x₁)x + 2(y₂ – y₁)y = r₁² – r₂² – x₁² – y₁² + x₂² + y₂².

Добавим к нему второе уравнение. Получим систему, аналогичную системе из второго  случая. Поэтому ее решения выражаются через числа данной совокупности с помощью квадратичных операций. Что и завершает доказательство.  
  б)  Рассмотрим некоторые классические задачи на построение.  
    I. Задача удвоения куба. Она состоит в построении куба, имеющего объем вдвое больший данного. Точнее, для данного единичного отрезка требуется построить ребро куба, имеющего объем, равный двум.  
    Длина ребра искомого куба является действительным корнем кубического уравнения x³– 2 = 0. Поэтому для ответа на вопрос: можно или нельзя выполнить построение циркулем и линейкой, нужно ответить на вопрос: выражается или нет число  с помощью квадратичных операций, применяемых к числу 1.  
    II. Задача о трисекции угла состоит в делении произвольного угла на три равные части.  
    Конечно, некоторые углы, например, угол, равный 90 можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки. Рассмотрим вопрос о возможности такого деления произвольного угла  .  
    Используя тригонометрические формулы, нетрудно получить уравнение   Следовательно, число  является корнем уравнения

4x³ – 3x – cos = 0.

В частности, если  = 60 получаем уравнение 8x³ – 6x – 1 = 0, которое заменой 2x на y можно привести к виду y³ – 3y – 1 = 0.  
    Таким образом, ответ на вопрос о возможности деления угла в 60 на три равные части сводится к  вопросу о возможности выражения действительного корня этого уравнения с помощью квадратичных операций, применяемых к числу 1.  
    Эти две задачи приводят к необходимости исследования корней кубического уравнения.  
   

  Теорема 2. Если уравнение x³ + px² + qx + r = 0 с коэффициентами из поля Q  не имеет корней в поле P. то оно не имеет корней и в его простом квадратичном расширении.  
     Доказательство. Пусть число a + b является корнем данного уравнения, где a, b, c принадлежат P,  не принадлежит P. Заметим, что a + b является корнем квадратного уравнения (x –(a + b ))(x – (a – b )) = 0, которое можно переписать в виде x² + Ax + B = 0, где A и B принадлежат P.  
    Разделим исходное уравнение на полученное квадратное уравнение с остатком. Получим равенство  x³ + px² + qx + r =( x² + Ax + B)(x + p – A) + Cx + D,

в котором все  коэффициенты принадлежат P. Так как число a + b является корнем кубического и квадратного уравнения то должно выполняться равенство C(a + b ) + D = 0, из которого следует, что a + b принадлежит P. Значит, b = 0 и a является корнем данного уравнения. Противоречие. 
    Следствие. Если уравнение x³ + px² + qx + r = 0 с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, то его корни не выражаются с помощью квадратичных операций, применяемых к числу 1.  
    Заметим, что всякий рациональный корень уравнения x³ + px² + qx + r = 0 с целыми коэффициентами является целым числом и делителем свободного члена.  
    Действительно, пусть  (m и n взаимно просты) является корнем кубического уравнения. Тогда имеет место равенство

или m³ + pm²n + qmn² + rn³ = 0.  
    Из последнего равенства следует, что r  делится на m и m делится на n. Но m и n взаимно просты, значит n = 1.  
    Полученные выше уравнения x³ – 2 = 0 и y³ – 3y – 1 = 0, как легко видеть, не имеют рациональных корней и, следовательно, их корни не выражаются с помощью квадратичных операций. Поэтому, задачи об удвоении куба и трисекции угла неразрешимы.  
    Рассмотрим еще примеры неразрешимых задач на построение циркулем и линейкой.

 
    III. Задача о квадратуре круга состоит в построении квадрата, равновеликого данному кругу.  
    Она неразрешима с помощью циркуля и линейки, так как сводится к построению числа  , которое не только не выражается с помощью квадратичных операций, но является трансцендентным ( не алгебраическим) числом.  
    IV. Задача о построении правильных многоугольников, вписанных в единичную окружность.  
    Пусть дана окружность единичного радиуса. С помощью циркуля и линейки можно вписать в эту окружность правильные треугольник, шестиугольник и т. д. 3 2ⁿ-угольник (рис. 3).  
    Аналогично, в единичную окружность можно вписать правильные 2 2ⁿ-угольники (рис. 4), правильные 5 2ⁿ-угольники (рис. 5).

Полностью вопрос о возможности построений правильных многоугольников с помощью циркуля  и линейки был исследован Гауссом. А именно, он доказал, что правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n представимо в виде произведения степени двойки и различных простых чисел Ферма, т.е. простых чисел вида  . В частности, из этого следует, что правильный семиугольник нельзя построить циркулем и линейкой. Докажем это отдельно с использованием комплексных чисел.  
    Вершины правильного семиугольника в комплексной плоскости, вписанного в единичную окружность, являются корнями уравнения z⁷ - 1 = 0. Один из корней есть z = 1, а остальные удовлетворяют уравнению z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0. Деля на z³, получим уравнение

Простые алгебраические преобразования приводят  его к виду

Положив теперь z + 1/z=t, окончательно приходим к уравнению

t³ + t² - 2t - 1 = 0 (*).

Так как комплексное  число z представляется в виде z = cos + i sin , то 1/z = cos - i sin и, следовательно, t = 2cos является действительным числом.  
    Как легко видеть, уравнение (*) не имеет рациональных корней и, следовательно, его корни не выражаются с помощью квадратичных операций.  
   Таким образом, задача построения правильного семиугольника циркулем и линейкой неразрешима. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических инструментов 

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией.

Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Это понятие  принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В интересах  логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии).

Эти требования обычно не формулируются в пределах школьного курса геометрии, но они  подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собою разумеющееся. Общие аксиомы конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты многовековой чертежной практики и составляют логическую основу конструктивной геометрии.

Рассмотрим эти  общие аксиомы теории геометрии.

I. Каждая данная  фигура построена, т.е. если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то под этим подразумевается, что она уже изображена, начерчена, по-другому говоря, построена.

2. Если даны две фигуры, то построено:

а) их объединение

б) пересечение (если оно непустое)

в) разность (если она не равна пустому множеству)

3. Если дана  некоторая фигура, то можно построить  точку:

а) принадлежащую  данной фигуре

б) не принадлежащую  ей.

Замечание. Аксиомы За и 3б дают возможность построить новые точки, но этим точкам не приписывают никаких свойств. Для построения новых точек, обладающих определенными свойствами, пользуются математическими инструментами: линейкой, циркулем, углом и т.д. Свойства указанных математических инструментов описываются с помощью соответствующих аксиом. При этом следует четко видеть разницу между математическим инструментом конструктивной геометрии и их физическим олицетворением.

Аксиома линейки. Линейка (односторонняя) позволяет построить прямую, проходящую через две данные точки.

Аксиома циркуля. Циркуль позволяет построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным длине данного отрезка.

Аксиомы двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет: а) выполнить любое построение, выполнимое линейкой;

б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной  прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от нее  на расстоянии h, где h - фиксированный  элемент для данной двусторонней линейки (ширина);

в) если построены  две точки А и В, то установить, будет ли АВ > h, и если AB > h, то построить 2 пары параллельных прямых, проходящих соответственно через А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h , 

Аксиомы угла. Угол позволяет: а) сделать все построения, выполнимые линейкой; б) через данную точку плоскости провести под углом α к некоторой данной прямой; в) если построены отрезок АВ и фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом α, и если такая существует, то построить ее.

4. Геометрические построения одной линейкой.

Геодезисты  в своей работе тесно связаны  с геометрическими построениями и измерениями, причём в практике геодезических работ приходится пользоваться почти исключительно проведением прямых линий.

  В связи с этим внимание математиков  ещё в XVII в. было привлечено к изучению геометрических построений, производимых исключительно линейкой. Такого рода построения рассматривал упоминавшийся уже нами Мор (в не дошедшей до нас книге „Euclides curiosus", о которой упоминается в переписке некоторых математиков того времени). Ряд задач на построение с линейкой рассматривали: И. Ламберт (в 1744), Бриан-шон (1783—1864), написавший книгу „Приложения теории трансверсалей" (1818), предназначенную для лиц, занимающихся землемерными работами, Понселе (1788—1867) в связи с его исследованиями по проективной геометрии.

  Наиболее  полные исследования в этой области  произведены швейцарским геометром Я. Штейнером (1796—1863), который изложил их в известном сочинении „Геометрические построения, производимые с помощью прямой линии и неподвижного круга" (1833).

    Пользуясь только линейкой, можно решить очень ограниченный круг геометрических задач на построение. Нельзя, например, пользуясь исключительно линейкой, разделить отрезок пополам или провести параллель к данной прямой. Однако эти задачи легко можно решить исключительно линейкой, если на плоскости дана некоторая вспомогательная фигура. Рассмотрим некоторые построения этого рода. Для этого нам понадобится одно вспомогательное предложение.

Лемма о трапеции:

  Прямая, соединяющая точку  пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолженных её боковых сторон, делит оба основания трапеции пополам. 

Доказательство. Пусть АВСD (рис. 225) —данная трапеция, АВ и СD — её основания, О — точка пересечения диагоналей, Р — точка пересечения продолженных боковых сторон, М и N—точки пересечения прямой ОР с основаниями трапеции. Из подобия треугольников АОМ и CОN следует, что АМ:СN=ОМ:ОN, а из подобия треугольников ВОМ и DОN следует, что ВМ : DN = ОМ : ОN. Из двух последних пропорций следует:

АМ*DN = СN*ВМ. (1)

Из  подобия  треугольников  АРМ  и DРN следует, что АМ : DN = РМ : РN, а из подобия   треугольников   ВРМ и СРN вытекает, что ВМ : СN = РМ : РN. Из этих двух пропорций заключаем, что

АM*СN=DN*ВМ. (2)

Из  соотношений (1) и (2) заключаем, что  АМ² = ВМ², откуда АМ = ВМ. Теперь уже не составляет труда убедиться, что DN = СN.

Решим теперь несколько  задач, пользуясь  исключительно линейкой.

Задача 1. Даны две параллельные прямые а и Ь и на одной из них, например а, отрезок АВ. Построить середину этого отрезка.

Решение:

Изберём произвольную точку Р, лежащую вне полосы, ограниченной заданными прямыми (рис. 226). Проведём прямые РА и РВ и отметим точки D и С их пересечения с прямой Ь. Пусть О — точка пересечения прямых АС и ВD. Тогда, согласно предыдущей лемме, прямая РО пересечёт отрезок АВ в его середине М.

Задача 2. Зная середину М данного отрезка АВ, провести через данную точку С прямую, параллельную АВ.

Решение:

  Изберём на прямой ВС, вне отрезка ВС, произвольную точку Р (рис. 227) и соединим эту точку с точками А и М. Пусть О — точка пересечения прямых РМ и АС, D — точка пересечения прямых АР и 0В. Тогда прямая СD искомая. Доказательство проводится на основании леммы о трапеции по методу „от противного". 
 

Задача 3. Через центр данного параллелограмма провести прямую параллельно его стороне.