Потоки платежей. 2
Финансовая математика
«
Потоки платежей »
Содержание:
I. Введение
II. Финансовые ренты и их классификация
III. Формулы наращенной суммы
IV. Формулы современной величины
V. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты
VI. Определение параметров финансовой ренты
VIII.
Список литературы
- Введение
Очень часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетным счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления — положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.
Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей.
Например,
наращенная сумма может представлять
собой итоговый размер формируемого
инвестиционного или какого-либо другого
фонда или общую сумму задолженности.
Современная величина может характеризовать
приведенную прибыль или приведенные
издержки.
II.
Финансовые ренты и
их классификация
Поток
платежей, все члены которого положительные,
а временные интервалы
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты — величина каждого отдельного платежа, период ренты — временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты — время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка — ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.
Виды финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным признаками. Рассмотрим их.
В зависимости от продолжительности периода ренты делят на годовые и p - срочные, где р — число выплат в году.
По числу начислений процентов различают ренты с начислением 1 раз в году, раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.
По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.
По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.
По числу членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные, и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты выступают, например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.
В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту времени ренты подразделяются на немедленные и отложенные, или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.
Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются конце каждого периода, то такие ренты называются обычными, или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.
Анализ
потоков платежей в большинстве
случаев предполагает расчет наращенной
суммы или современной величины ренты.
III.
Формулы наращенной
суммы
Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R руб., сложные проценты начисляются 1 раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины ,так как на сумму R проценты начислялись в течение n — 1 года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической профессии
,
в которой первый член равен R, знаменатель (1 + i), число членов n. Как известно из школьного курса алгебры, эта сумма равна
(1.)
где
— коэффициент наращения ренты.
Он
зависит только от срока ренты n и уровня
процентной ставки i. Поэтому его значения
могут быть представлены в таблице с двумя
входами.
Задача 1. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение. По формуле (1.) находим
млн. руб.
Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают 1 раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m.
где j — номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
, ,..., R.
Если рассмотрим эту последовательность справа налево, то увидим, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1 + j/m)m, а число членов равно n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты:
Задача 2. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые ежеквартально (m= 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение.
По формуле (3.) находим
млн. руб.
Рента р-срочная, m = 1. Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются 1 раз в конце года. Если R — годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке:
у которой первый член R/p, знаменатель (1 + i)l/p, общее число членов nр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической профессии:
(4.)
где
—
коэффициент наращения p-
Задача 3. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн. руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые в конце года начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение.
По формуле (4.) находим
S=
(10/4) [(1 + 0,1)3 - 1]/[(1 + 0,1)1/4 - 1] = 34,317
млн. руб.
Рента р-срочная, р = m. В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают по времени. Таким образом, число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = m. Тогда для получения наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
Различие
будет лишь в том, что все параметры
теперь характеризуют ставку и платеж
за период, а не за год.
Таким образом, получаем
Задача
4. В течение трех лет на расчетный
счет в конце каждого квартала поступают
платежи равными долями из расчета 10 млн
руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал),
на которые ежеквартально начисляются
проценты по сложной ставке 10% годовых.
Требуется определить сумму на расчетном
счете к концу указанного срока.
Решение.
По формуле (6.) находим
S
= 10 [(1 + 0,1/4)3*4 — 1] /0,1 = 34,489 млн. руб.
Рента р-срочная, p 1, m 1. Это самый общий случай р-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем возможно р m.
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
.
Второй член ренты к концу срока возрастет до
и т.д.
Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель — (1 + j/m)m/p, число членов — np.
В результате получаем наращенную сумму
(7.)
Следует отметить, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая лишь соответствующие значения р и m.
Задача 5. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р = 4) равными долями из расчета 10 млн. руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые ежемесячно (т = 12) начисляются проценты по сложной ставке 10% годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение. По формуле (2.64) находим
S=
(10/4) [(1 + 0,10/4)3*4- 1]/[(1 + 0,10/4)12/4-1]
= 34,5296 млн. руб.
IV.
Формулы современной
величины
Обычная годовая рента. Пусть размер годового платежа равен R, процентная ставка i, проценты начисляются 1 раз в конце года, срок ренты n. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна
Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна R 2 и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: R , R 2, R 3,..., , сумма которой
где
—
коэффициент приведения ренты.
Как видим, этот коэффициент зависит только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим с помощью компьютера.
Задача
6. В течение трех лет на расчетный
счет в конце каждого года поступает по
10 млн руб. Ежегодное дисконтирование
производится по сложной ставке 10% годовых.
Определить современную стоимость ренты.
Решение. По формуле (9.) находим
= 24,868 млн руб.
Рента р-срочная, p 1, m 1. Рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем пункте, позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений р и m:
от
которой нетрудно перейти к частным случаям
при различных р и m.
V.
Зависимость между современной
величиной и наращенной
суммой ренты
Пусть А — современная величина годовой ренты постнумерандо, a S — ее наращенная стоимость к концу срока n, р = 1, m= 1.
Покажем, что наращение процентов на сумму А за n лет дает сумму, равную S:
(12.) Отсюда же следует, что дисконтирование S дает А:
(13.)
а
коэффициенты дисконтирования и
наращения ренты связаны
VI.
Определение параметров
финансовой ренты
Иногда при разработке контрактов возникает необходимость определить по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальные параметры ренты: R, n, i, р, m. Такие параметры, как m и р, обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i. Два из них задаются, а третей рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров пока не будет достигнуто согласие сторон.
Определение размера ежегодной суммы платежа R. В зависимости от того, какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана — S или А, возможны два следующих варианта расчета:
R=S/sni
или
R=A/ani.
Определение срока постоянной ренты. Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Разрешая исходные формулы для S и А относительно срока n, получаем соответствующие выражения:
и
;
и
.
Последнее выражение для n, очевидно, имеет смысл только при R >Ai.
Определение ставки процентов. Для того чтобы найти ставку i, будем рассматривать выражения для S или А из (18) как нелинейные уравнения относительно неизвестной i (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо), которые эквиваленты двум другим:
или
(19.)
В этих уравнениях единственным неизвестным является проектная ставка i.
Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: линейной интерполяции, Ньютона—Рафсона и др. Мы рассмотрим только первый из них.
Прежде всего нужно найти с помощью прикидочных расчетов нижнюю и верхнюю оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (18) различных числовых значений i и сравнения результата с правой частью выражения. Далее корректировка нижнего значения ставки производится по следующей интерполяционной формуле:
в
которой
и
- значения коэффициента наращения
(или коэффициента приведения) ренты для
процентных ставок
и
соответственно. Полученное значение
ставки проверяют, подставляя его в левую
часть исходного уравнения и сравнивая
результат с правой частью. Если достигнутая
точность недостаточна, повторно применяют
формулу (20), заменив в ней значение одной
из приближенных оценок ставки на более
точное, найденное на предыдущей итерации,
и соответствующее ей значение коэффициента
наращения (или приведения).
VII. Список литературы
- Лукашин Ю.П «Финансовая математика» 2003г
- Криничанский К.В. Финансовая математика. 2011г
- В. И. Малыхин ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
