Поверхностные интегралы. Теорема Остроградского

Содержание 

Введение…………………………………………………………………………...3

§ 1. Поверхностные интегралы первого рода………………………………...…4

1. Определение поверхностного интеграла от скалярной функции……...4
2. Сведение поверхностного интеграла к двойному………………………5
3. Некоторые применения поверхностных интегралов I рода…………..11
4. Поверхностные интегралы от векторных функций…………………...14

§ 2. Поверхностные  интегралы второго рода………………………………….16

1. Сторона поверхности……………………………………………………16
2. Определение поверхностного интеграла второго рода……………….20
3. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу…………………………………………………………………24

§ 3. Формула Остроградского…………………………………………………..27 

1. Вывод формулы  Остроградского…………………………………….....27
2. Вычисление поверхностных интегралов с помощью формулы Остроградского. Представление объема пространственной области в виде поверхностного интеграла………………………………………...30

§ 4. Формула Стокса……………………………….…………………………….32 

1. Вывод формулы  Стокса…………………………………………………32

Заключение………………………………………………………………………36

Список использованной литературы…………………………………………...37 
 
 
 
 

Введение

     В разных физических вопросах часто встречаются функции, заданные на той или иной поверхности. Примерами таких функций могут служить плотность распределения зарядов на поверхности проводника, освещенность поверхности, скорость жидкости, протекающей через некоторую поверхность, и т. д. Моя курсовая работа посвящена изучению интегралов от функций на поверхности, так называемых поверхностных интегралов, и некоторым их применениям.

  Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. В частности, мы и здесь будем различать интегралы первого и второго рода.

   Вводя определение поверхностного интеграла, мы будем опираться на некоторые сведения о поверхностях, и в первую очередь на понятие площади кривой поверхности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 1. Поверхностные интегралы  первого рода 

1. Определение поверхностного  интеграла от скалярной  функции. Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности с кусочно-гладкой границей⁽¹⁾ L определена некоторая ограниченная функция . Разобьем поверхность кусочно-гладкими кривыми на части (рис. 1). Площадь каждой из них обозначим . Выбрав в каждой из этих частей произвольную точку , и составим сумму

которую мы будем называть интегральной суммой, отвечающей функции (при данном разбиении поверхности и данном выборе точек ).

     Введем следующее

Определение. Если при стремлении наибольшего из диаметров частей поверхности к нулю интегральные суммы Т стремятся к некоторому конечному пределу, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается символом

     Точку М поверхности можно

задать  декартовыми координатами

х, у, z. Поэтому функцию , определенную на , мы будем обозначать также , а соответствующий

                  Рис. 1                             поверхностный интеграл – символом 

При этом, однако, необходимо помнить, что переменные х, у и z не независимы, а связаны условием: точка (х, у, z) лежит на поверхности .

⁽¹⁾  Поверхность может быть, в частности, замкнутой. 

2. Сведение поверхностного  интеграла к двойному. Мы сформулировали определение поверхностного интеграла первого рода, теперь возникает вопрос об условиях его существования и о способах его фактического вычисления.

   Оба эти вопроса решаются легко, путем сведения поверхностного интеграла к двойному.

   Рассмотрим сначала простейший случай, когда поверхность задана уравнением в декартовых координатах.

Теорема 1. Пусть - гладкая поверхность, заданная уравнением , где - замкнутая ограниченная область, a- некоторая ограниченная функция, определенная на поверхности . Тогда справедливо равенство 
 

При этом поверхностный интеграл, стоящий слева, существует, если существует двойной интеграл, стоящий в правой части равенства (3). 

Доказательство. Разобьем поверхность кусочно-гладкими кривыми на частей . Спроектировав это разбиение на плоскость , мы получим разбиение области на квадрируемые части (рис .2). При этом диаметр каждого из элементов будет не больше, чем диаметр соответствующего элемента поверхности . Рассмотрим теперь интегральную сумму 

отвечающую поверхностному интегралу 
 
Площадь элемента можно                                                  Рис. 2             представить в виде  

где , и затем, воспользовавшись теоремой о среднем для двойного интеграла от непрерывной функции⁽²⁾, в виде 

где - некоторая точка, принадлежащая области , a - площадь этой области. Следовательно, интегральную сумму (4) можно переписать так:

Сравним её с  интегральной суммой 
 
 

отвечающей  двойному интегралу, стоящему в равенстве (3) справа (при том разбиении области D, которое отвечает данному разбиению поверхности 
).

   Суммы (4') и (5) отличаются друг от друга только тем, что в (5) значения как функции , так и выражения , берутся в одной и той же точке , произвольно выбираемой внутри внутри элемента , а в (4’) значения берутся в точке , диктуемой нам теоремой о среднем и, хотя и принадлежащей тому же элементу но, вообще говоря, не совпадающей с точкой .

   Функция  непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна в замкнутой ограниченной области D, поэтому для каждого найдется такое , что 
 

как только максимум диаметров областей станет меньше, чем . Функция по условию ограничена, т.е. 

⁽²⁾ Поверхность мы считаем гладкой, следовательно, - непрерывная функция.

, поэтому из (6) следует оценка:  

где - площадь области .

   Теперь мы уже легко закончим  доказательство теоремы. Если  интеграл, стоящий в (3) справа, существует, то для всякого найдется такое , что для всякой суммы , отвечающей такому разбиению области , диаметры элементов которого меньше , выполнено неравенство 
 
 

   Пусть теперь , а - такое разбиение поверхности , что диаметры всех меньше, чем , и пусть - отвечающее ему разбиение области . Тогда диаметр каждого из меньше, чем , и, следовательно, выполнены неравенства (7) и (8). Из этих неравенств получаем, что 
 

для всякого  достаточно мелкого разбиения поверхности  . Но это и означает, что предел интегральных сумм Т существует и равен интегралу, стоящему в (3) справа. Теорема доказана.

Следствие. Если поверхность —гладкая, а функция f(x, у, z) непрерывна на ней, то интеграл  
 

существует.

   Действительно, в этом случае в равенстве (3) справа стоит интеграл от непрерывной функции. Он существует, а следовательно, существует и стоящий слева поверхностный интеграл. 

Замечание 1.  Так как 
 

то равенство (3) можно переписать так 

Переменив роли координат x,y и z можно в случае поверхности, заданной уравнением

,

получить равенство 

(где -проекция поверхности на плоскость yz), а в случае

поверхности 

-равенство 

(где -проекция поверхности на плоскость zx). 

Замечание 2. Если поверхность состоит из нескольких частей, каждая из которых может быть представлена уравнением вида

х=х(у, z), y = y(z, х) или z = z(x, у),

то для  сведения поверхностного интеграла, взятого  по такой поверхности, к двойному можно воспользоваться тем, что  поверхностный интеграл по равен сумме интегралов, взятых по составляющим эту поверхность частям, и затем применить формулы (9) к каждому из этих частичных интегралов в отдельности.

   Если поверхность задана параметрическим  уравнением, то рассуждения, не  отличающиеся сколько-нибудь существенно  от приведенных выше, приводят  к следующей теореме.

Теорема 2. Пусть — гладкая поверхность, заданная уравнением

r = r (u, v),

и f (x, у, z) - ограниченная функция, определенная на этой поверхности. Тогда справедливо равенство 

причем  поверхностный интеграл, стоящий  слева, существует,  если только существует двойной интеграл в правой части  равенства.

     Здесь D — область изменения параметров u и v, a , и - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Выражение представляет собой элемент площади поверхности, записанный в криволинейных координатах. Таким образом, формула (10) означает следующее: для того чтобы записать поверхностный интеграл 

в виде двойного, нужно подставить в него вместо декартовых координат х, у, z точек поверхности их выражения через криволинейные координаты u и v, а элемент площади тоже заменить его выражением через криволинейные координаты.

   Формула (3) и формулы (9), (9’) и (9’’) являются, очевидно, частными случаями общей формулы (10). Легко проверить, что все эти формулы остаются в силе, когда поверхность не гладкая, а кусочно-гладкая.

Пример 1. Вычислить 
 
где S - часть плоскости , расположенной в первой четверти (см. рис.3).

Решение: Запишем уравнение плоскости в виде . Находим . По формуле (9) имеем:

                                    Рис.3                                           Рис.4 

Пример 2. Вычислить 
 
где S-часть цилиндрической поверхности , отсеченной плоскостями z=0, z=2 (см. рис. 4).

Решение: Воспользуемся формулой (9’).  Поскольку 
, то 
 
где -прямоугольник . 

3. Некоторые применения  поверхностных интегралов  I рода. Поверхностные интегралы первого рода часто встречаются в физических задачах. С такими интегралами приходится иметь дело при изучении распределения масс по поверхности, например при нахождении координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей и т. п.

Площадь поверхности

Если  поверхность  задана уравнением а ее проекция на плоскость есть область в которой и - непрерывные функции, то ее площадь вычисляется по формуле

или

 
.

     Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы . Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения, находят приближенное значение искомой величины, переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности. 

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы  материальной поверхности есть . Для нахождения массы поверхности:

1. Разбиваем поверхность на частей S_i , i=1,2,…n,, площадь которой обозначим .

2. Берем  произвольную точку M_i(x_i,y_i,z_i) в каждой области . Предполагаем, что в пределах области плотность постоянна и равна значению ее в точке .

3. Масса области мало отличается от массы (x_i,y_i,z_i фиктивной однородной области с постоянной плотностью

(x_i,y_i,z_i).

4. Суммируя  по всей области, получаем:

 
.

5. За  точное значение массы материальной  поверхности  принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей , т.е.

 
,

т.е.

Моменты, центр тяжести поверхности

Статистические  моменты, координаты центра тяжести, моменты  инерции материальной поверхности  S находятся по соответствующим формулам:

 находятся  по соответствующим формулам: 
 
 
 
 
 

Пример  2. Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.

Решение: На рис.5 изображена полусфера радиуса R. Её уравнение

 - поверхностная плотность полусферы. 

                                                      Рис.5 
 
 

Переходим к полярным координатам: 

Внутренний  интеграл вычислен с помощью подстановки  
 

4. Поверхностные  интегралы от векторных функций.  Общее понятие поверхностного интеграла первого рода. Выше мы рассматривали поверхностные интегралы от скалярных функций. Это понятие легко переносится на векторные функции. Пусть

- некоторая векторная функция, заданная на поверхности . Определим интеграл от этой функции по поверхности , положив 
 
 

Мы назовем  его поверхностным интегралом первого  рода от векторной функции F. Значение такого интеграла представляет собой вектор. Вопросы об условиях существования поверхностного интеграла первого рода от векторной функции, о сведении его к двойному, о его свойствах и т. д. непосредственно сводятся к соответствующим вопросам для интегралов от скалярных функций P, Q и R – компонент вектора F.

Для иллюстрации этого понятия вычислим силу, с которой материальная поверхность притягивает материальную точку. Пусть - плотность распределения масс на поверхности и -масса, сосредоточенная в некоторой точке , не лежащей на этой поверхности. Элемент поверхности несет на себе элемент массы , а сила , с которой этот элемент притягивает точечную массу , равна

                 Рис.6                   по закону Ньютона

где - постоянная, зависящая от выбора единиц, а - вектор, соединяющий точки и (рис.6). Полная сила , с которой вся поверхность притягивает массу , равна сумме элементарных сил (13), т. е. поверхностному интегралу 

Таким образом (поскольку  

    Этот интеграл обязательно существует, если поверхность гладкая или кусочно-гладкая, а поверхностная плотность непрерывна на .

     В том понятии поверхностного интеграла, которое мы рассмотрели, было существенно, что каждый «интегральный элемент»  

зависел от величины элемента площади  и значения функции

(скалярной  или векторной) в данной точке, но не зависел от ориентации поверхностного элемента в пространстве. Именно так обстоит дело в тех физических задачах, которые мы рассматривали здесь: масса элемента материальной поверхности или сила, с которой этот элемент притягивает материальную точку, не будут меняться, если этот элемент поверхности мы каким-либо образом повернем. Однако существуют задачи другого типа, в которых ориентация элемента играет существенную роль. К ним относится, например, задача (которую мы рассмотрим ниже) о вычислении количества жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени, а также и ряд других. Этот второй круг задач приводит нас к другому понятию

поверхностного  интеграла, так называемому поверхностному интегралу второго рода. Ему будет посвящен следующий параграф. Как мы увидим ниже, поверхностные интегралы первого и второго рода связаны между собой простыми формулами.  
 
 
 

§ 2. Поверхностные интегралы  второго рода

1. Сторона поверхности. Для того чтобы определить поверхностный интеграл второго рода, нам нужно ввести сначала понятие стороны поверхности, аналогичное понятию ориентации кривой. Пусть - гладкая поверхность. Возьмем на некоторую внутреннюю точку , проведем через нее нормаль к и выберем на этой нормали одно из двух возможных направлений. Это можно сделать, фиксировав определенный единичный вектор , нормальный к в точке . Проведем теперь на поверхности через точку какой-либо замкнутый контур С, не имеющий общих точек с границей поверхности, и будем передвигать единичный вектор из точки вдоль С так, чтобы этот вектор все время оставался нормальным к и чтобы

его направление  менялось при этом передвижении непрерывно. Поскольку вектор все время остается нормальным к , то имеются две возможности: 1) при возвращении в точку вектор возвращается в первоначальное положение, 2) в результате обхода по контуру С вектор меняет свое направление на противоположное.

   Введем следующее

Определение. Гладкая поверхность называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали к поверхности (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением — функции, непрерывные в некоторой области D плоскости Оху и т. д.).

    Если же на поверхности существует замкнутый контур, при обходе по которому направление нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односторонней.

   Если поверхность двусторонняя, то в каждой ее точке можно выбрать единичный вектор нормали так, чтобы вектор зависел от точки М непрерывно. Для построения такой вектор-функции возьмем на некоторую начальную точку и выберем в этой точке один из двух возможных единичных нормальных векторов . После этого возьмем на произвольную точку М соединим ее с какой-либо кривой L, лежащей на , и перенесем вдоль L вектор из в М так, чтобы он все время оставался

нормальным  к поверхности и чтобы его направление при этом переносе менялось непрерывно. Вектор , полученный таким образом в точке М, не зависит от выбора кривой L, соединяющей точки и М. Если бы две разные кривые и приводили к разным результатам, то, соединив эти кривые в одну, мы получили бы на замкнутый путь С, при обходе по которому направление нормального вектора меняется на противоположное, т. е. эта поверхность не была бы двусторонней.

   Из сказанного ясно, что на двусторонней поверхности существуют две и только две такие функции , непрерывные на всей поверхности . Действительно, каждая такая функция полностью определяется выбором одного из двух возможных направлений нормали в одной точке. Мы будем называть каждую из этих двух функций «непрерывным полем нормалей» на . Ясно, что на односторонней поверхности нельзя построить ни одного непрерывного поля нормалей.

   Выбор на определенного непрерывного поля нормалей мы будем называть выбором стороны этой поверхности.

Примеры. 1) Простейший пример двусторонней поверхности – плоскость. Двусторонней поверхностью будет и любая часть плоскости, например круг.

2) Любая гладкая поверхность, определенная уравнением двусторонняя. Действительно, мы получим одну ее сторону (верхнюю), выбрав в каждой ее точке нормальный                Рис.7

вектор  так, чтобы он составлял с положительным  направлением оси  острый угол, а другую (нижнюю) сторону - при противоположной ориентации нормали (рис.7).

3) Всякая замкнутая поверхность, не имеющая самопересечений, - например сфера, эллипсоид и т. п., - двусторонняя. Направив в каждой точке замкнутой поверхности нормаль внутрь объема, ограниченного поверхностью, мы получим внутреннюю сторону поверхности, а направив нормаль наружу,

получим внешнюю сторону.

4) Простейшим примером односторонней поверхности может служить так называемый лист Мебиуса, изображенный на рис.8. Его можно получить, взяв полоску бумаги ABCD (рис. 9а) и склеив ее так, чтобы точка А совпала                

                 Рис.8                        с точкой С, а точка В - с точкой D, т. е. повернув перед склеиванием один ее край на 180° (рис.9б). Легко видеть, что при обходе листа Мёбиуса по его средней линии направление нормали к нему меняется на противоположное, т. е. эта поверхность действительно является односторонней.

Замечание 1. Двустороннюю поверхность называют также

ориентируемой, а выбор определенной ее стороны - ориентацией поверхности. Односторонние поверхности называют неориентируемыми.

 Мы  должны различать термины                             Рис.9

 «ориентируемая»  (сторону можно выбрать) и «ориентированная»  (сторона уже выбрана).

Замечание 2. В отличие от таких свойств, как, например, гладкость поверхности, которые могут иметь или не иметь места в отдельных точках (локальные свойства), ориентируемость (или неориентируемость) - это свойство, характеризующее всю поверхность в целом (глобальное свойство).                                           Действительно, на листе Мёбиуса или любой другой поверхности малая окрестность любой точки ориентируема. В каждой такой окрестности можно построить непрерывное поле нормалей, хотя на всем листе Мёбиуса такое

поле  построить нельзя. С понятием стороны  поверхности тесно связано понятие  ориентации ее границы, которое нам  понадобится ниже⁽³⁾.

Пусть - ориентированная поверхность, ограниченная одним или несколькими контурами. Определим ориентацию каждого контура L, входящего в состав границы поверхности , согласованную с ориентацией поверхности , по следующему правилу: направление обхода контура L мы считаем положительным (согласованным с ориентацией ), если наблюдатель, расположенный на поверхности так, что направление вектора