Практические аспекты линейного программирования в финансовом анализе и планировании

       Содержание 

Введение                                                                                                                   3

1. Теоретические  основы линейного программирования  в финансовом анализе и планировании.                                                                                        6

2. Особенности принятия решений, основанных на линейном программировании                                                                                                10

3. Практические аспекты линейного программирования в финансовом анализе и планировании                                                                                       16

3.1.Выбор программ  капитальных вложений в условиях  ограниченности ресурсов                                                                                                                  16

3.2. Решение  задачи выбора инвестиционного  проекта                                    19

3.3. Максимизация  прибыли                                                                                 23

Заключение                                                                                                             27

Список использованных источников                                                                   29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Введение 

       В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных  аппаратов математической теории оптимального принятия решений, в том числе  и в финансовой математике. Для  решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов. В развитие и совершенствование этих систем вложен труд и талант многих математиков, аккумулирован опыт решения тысяч задач. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики.

      Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

• рационального использования сырья и материалов; задачи оптимального раскроя;
• оптимизации производственной программы предприятий;
• оптимального размещения и концентрации производства;
• составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;
• управления производственными запасами;
• и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

      Для большого количества практически интересных задач целевая функция выражается линейно – через характеристики плана, причем допустимые значения параметров подчинены линейным равенствам или неравенствам. Нахождение при данных условиях абсолютного экстремума целевой функции носит название линейного программирования.

      Первым  исследованием по линейному программированию является работа Л. В. Кантфовича “Математические  методы организации и планирования производства”, опубликованная в 1939 г. В нем дана постановка задач линейного  программирования, разработан метод разрешающих множителей решения задач линейного программирования и дано его теоретическое обоснование.

      Прямая  задача линейного программирования является математической формулировкой  проблемы составления такого плана  использования различных способов производства, который позволяет получить максимальное количество однородного продукта при имеющихся в наличии ресурсах.

      Математическое  программирование – это прикладная отрасль математики, которая является теоретической основой решения задач оптимального планирования.

      Существуют  следующие разделы математического  программирования: линейное, параметрическое, нелинейное и динамическое программирование. Наиболее разработанным и широко применяемым разделом математического  программирования является линейное программирование, целью которого служит отыскивание оптимума (max, min)заданной линейной функции при наличии ограничений в виде линейных уравнений или неравенств.

      Применение  методов линейного программирования актуально в сегодняшнее время, так как использование математических моделей является важным направлением совершенствования планирования и анализа деятельности компании. Представление данных в виде математической модели позволяет конкретизировать информацию, создавать и моделировать варианты, выбирать оптимальные решения.

      Целью данной работы является рассмотрение основ линейного программирования в финансовом анализе и планировании на примерах зарубежных предприятий.

      Исходя  из цели данной работы вытекает необходимость решения следующих задач:

• Рассмотреть теоретические особенности линейного программирования в финансовом анализе и планировании;
• Выявить особенности принятия решений, основанных на линейном программировании;
• Рассмотреть практические аспекты линейного программирования в финансовом анализе и планировании.

         Объектом исследования является  линейного программирования в  финансовом анализе и планировании. Предметом – его использование  в финансовом менеджменте. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       1. Теоретические основы линейного  программирования в  финансовом анализе и планировании 

       На  практике постоянно встречаются  такие ситуации, когда достичь  какого-то результата можно не одним, а многими различными способами. В подобной ситуации может оказаться и отдельно взятый человек, например, когда он решает вопрос о распределении своих расходов, и целое предприятие или даже отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода продукции, и, наконец народное хозяйство в целом. Естественно, при большом количестве решений должно быть выбрано наилучшее. 

       Успешность  решения подавляющего большинства  экономических задач зависит  от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. И от того, как будут распределены эти, как правило, ограниченные ресурсы, будет зависеть конечный результат деятельности.

       Суть  методов оптимизации (оптимального программирования) заключается в  том, чтобы, исходя из наличия определенных ресурсов, выбрать такой способ их использования (распределения), при котором будет обеспечен максимум или минимум интересующего показателя.

       Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей).

       Оптимальное программирование, таким образом, обеспечивает успешное решение целого ряда экстремальных задач производственного планирования. В области же макроэкономического анализа, прогнозирования и планирования оптимальное программирование позволяет выбрать вариант народнохозяйственного плана (программы развития), характеризующийся оптимальным соотношением потребления и сбережений (накоплений), оптимальной долей производственных капиталовложений в национальном доходе, оптимальным соотношением коэффициента роста и коэффициента рентабельности национальной экономики и т. д.

       Оптимальное программирование обеспечивает получение  практически ценных результатов, так как по своей природе оно вполне соответствует характеру исследуемых технико-экономических процессов и явлений. С математической и статистической точек зрения этот метод применим лишь к тем явлениям, которые выражаются положительными величинами и в своей совокупности образуют объединение взаимозависимых, но качественно различных величин. Этим условиям, как правило, отвечают величины, которыми характеризуются экономические явления. Перед исследователем экономики всегда имеется – некоторое множество разного рода положительных величин. Решая задачи оптимизации, экономист всегда имеет дело не с одной, а с несколькими взаимозависимыми величинами или факторами.

       Оптимальное программирование можно применять  лишь к таким задачам, при решении которых оптимальный результат достигается лишь в виде точно сформулированных целей и при вполне определенных ограничениях, обычно вытекающих из наличных средств (производственных мощностей, сырья, трудовых ресурсов и т. д.). В условия задачи обычно входит некоторая математически сформулированная система взаимозависимых факторов, ресурсы и условия, ограничивающие характер их использования.

       Задача  становится разрешимой при введении в нее определенных оценок как  для взаимозависимых факторов, так и для ожидаемых результатов. Следовательно, оптимальность результата задачи программирования имеет относительный характер. Этот результат оптимален только с точки зрения тех критериев, которыми он оценивается, и ограничений, введенных в задачу.

       Отталкиваясь  от вышесказанного, для любых задач  оптимального программирования характерны три следующих момента:

       1) наличие системы взаимозависимых факторов;

       2) строго определенный критерий  оценки оптимальности;

       3) точная формулировка условий,  ограничивающих использование наличных ресурсов или факторов.

       Из  многих возможных вариантов выбирается альтернативная комбинация, отвечающая всем условиям, введенным в задачу, и обеспечивающая минимальное или максимальное значение выбранного критерия оптимальности. Решение задачи достигается применением определенной математической процедуры, которая заключается в последовательном приближении рациональных вариантов, соответствующих выбранной комбинации факторов, к единственному оптимальному плану.

       В зависимости от характера функций-ограничений  и целевой функции различают разные виды математического программирования:

       1. линейное программирование –  функции линейны;

       2. нелинейного программирования –  хотя бы одна из этих функций  нелинейна;

       3. квадратичного программирования  – f(х) является квадратичной  функцией, ограничения линейны;

       4. сепарабельное программирование  – f(х) представляет собой сумму  функций, различных для каждой переменной, условия – ограничения могут быть как линейными, так и нелинейными;

       5. целочисленное (линейное или нелинейное) программирование – координаты искомой точки х являются только целыми числами;

       6. выпуклое программирование –  целевая функция – выпуклая, функции – ограничения – выпуклые, то есть рассматриваются выпуклые функции на выпуклых множествах и т. п.

       Наиболее  простым и часто встречающимся  является случай, когда эти функции линейны и каждая из них имеет вид:

       а1х1 + а2х2 + аnхn + b,                                                                        (1.1)

       то  есть имеет место задача линейного  программирования. Подсчитано, что  в настоящее время примерно 80-85% всех решаемых на практике задач оптимизации относятся к задачам линейного программирования.

       Сочетая в себе простоту и реалистичность исходных посылок, этот метод вместе с тем обладает огромным потенциалом в области определения наилучших с точки зрения избранного критерия планов.

       Линейное  программирование – математический метод отыскания максимума или минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       2. Особенности принятия решений,  основанных на линейном программировании 

       Финансовое  планирование лежит в основе программы  развития современного предприятия. Во всем мире наблюдается тенденция роста применения при разработке стратегических планов расширения и модернизации производства компьютерных технологий, основанных на методах математического моделирования и оптимизации. Одним из распространенных методов оптимизации является метод линейного программирования, позволяющий успешно решать задачи максимизации прибыли предприятия, выбора инвестиционных проектов, финансового прогнозирования и планирования.

       Предлагается к рассмотрению модель финансового планирования, основанная на модели Карлетона (W.T. Carleton). Эта модель предназначена для долгосрочного планирования развития предприятия и прогнозирования результатов его деятельности. Результаты моделирования могут быть положены в основу принятия принципиальных финансовых решений о величине дивидендов, оборотного капитала, внешнего и внутреннего финансирования. В основе модели лежит модель потока дивидендов, учитывающая количество акций, сумму дивидендов и величину акционерного капитала

                                                                            (2.1)

       В уравнении (2.1) использованы обозначения: P0 и N0- суммарная стоимость акционерного капитала и общее число обыкновенных акций в стартовый период. Т – длительность прогнозного периода, t – текущий момент времени. Dt – сумма дивидендов, выплаченных предприятием за период от стартового до текущего момента времени, Nt – число размещенных обыкновенных акций в текущий момент времени. PT - совокупная рыночная стоимость акционерного капитала предприятия в конце прогнозного периода, NT – число размещенных обыкновенных акций за период прогноза. k – константа, характеризующая стоимость акционерного капитала в предположении постоянства рисков.

       Для нахождения оптимального решения используется классический метод математического программирования, в котором в качестве целевой функции принята функция

                                                                   (2.2)

       Предложенная  целевая функция максимизирует  приведенную стоимость акционерного капитала, который включает все будущие дивиденды и долговременные возможности финансового роста. Недостатком данной целевой функции является ее нелинейность, что не позволяет использовать для решения задачи относительно простые методы линейного программирования.

       Для линеаризации целевой функции предлагается использовать метод Ли (Lee C.F.) , позволяющий  заменить нелинейную функцию трехпериодной  линейной функцией вида

                                   (2.3)

       где D1, D2 – дивиденды за первый и второй периоды; DE1, DE2, DE3 – новая эмиссия акций за каждый из периодов; с – оценка части акционерного капитала, потерянной вследствие транзакционных издержек и недооценки акций; P3 – совокупная рыночная стоимость акционерного капитала в последний период.

       Указанная целевая функция может быть упрощена, если учесть, что величина совокупной рыночной стоимости акционерного капитала в конце прогнозного периода P3 полностью предопределена величиной дивидендов и эмиссиями акций, а значения параметров в начале прогнозного периода известны и постоянны. Это позволяет безболезненно убрать из целевой функции члены ,  и , наличие которых не влияет на результаты оптимизации.

       Таким образом, целевая функция может  быть сведена к виду

              (2.4)

       Следующим шагом в постановке задачи линейного программирования является формирование системы ограничений. В качестве таких ограничений в нашей задаче могут быть использованы ограничения, вытекающие из следующих аспектов финансового планирования:

       ·       требования к величине части дохода, которую можно использовать на выплаты дивидендов

       ·       ограничения на источники поступления  средств и их использование.

       ·       ограничения, связанные с выбранной  финансовой политикой предприятия.

       При формировании ограничений учитывается, что ограничение дохода по обыкновенным акциям определяется ограниченностью величины чистого дохода и той его доли, которая может быть разделена между акционерами. Таким образом, эти ограничения могут иметь вид , где   это чистый доход предприятия за i-й текущий период, а ai – доля чистого дохода, которая может быть израсходована на выплату дивидендов. С другой стороны, поскольку дивиденды объединяют все денежные выплаты акционерам, они не могут быть отрицательной величиной и система ограничений должна быть дополнена условиями .

       Ограничения источников и возможностей использования  средств порождены взаимосвязью инвестиций, дивидендов, эмиссии новых  акций и облигаций, требующей  учета инвестированных или выплаченных  в виде дивидендов средств. К источникам средств могут быть отнесены привлечение средств за счет эмиссии новых акций и облигаций. Количественно они оцениваются изменением суммы акционерной собственности за вычетом нераспределенной прибыли. Обычно эта величина представляет собой средства, полученные от продажи новых обыкновенных акций. Это тоже неотрицательная величина, так как, несмотря на довольно распространенную практику скупки предприятием собственных акций на вторичном рынке, баланс от эмиссии акций обычно положительный. Поэтому в систему ограничений обязательно включаются условия . Ограничения сверху могут быть более разнообразными, но как минимум это ограничения, накладываемые величиной акционерной собственности. В качестве основных видов использования средств обычно рассматриваются дивиденды, чистые краткосрочные инвестиции и валовые долгосрочные инвестиции. Ограничения на дивиденды были рассмотрены выше. Что касается двух последних компонент, то они не включены в предлагаемую модель, так как она не предназначена для управления инвестиционной политикой предприятия. Процесс формирования ограничений первых двух типов практически одинаков для всех предприятий.

       Более индивидуальный характер носят ограничения, связанные с финансовой политикой  предприятия. Финансовая политика включает в себя установление максимальной величины «рычага», покрытие процентов и решения по дивидендной политике. Ограничения по выплате дивидендов в этом случае дополняются ограничениями, обеспечивающими предотвращение чрезмерного накопления денежных средств, ограничениями на минимальное значение роста дивидендов, ограничениями на коэффициенты выплаты дивидендов.

       Исходной  информацией для формирования ограничений  и целевой функции являются финансовая отчетность предприятия и прогностические  характеристики внешнего экономического окружения. Использование модели позволяет с достаточной степенью детализации принимать обоснованные финансовые решения о структуре капитала и дивидендах. 

      Исходные данные                    Модель                             Результаты

С сссссс          
 
 
 
 
 

                      Нет                                                       Да 
 

       Рис. 2.1. Блок-схема модели долгосрочного  планирования и прогнозирования  Карлетона.

       Схема говорит о том, что прежде, чем  переходить к реализации финансовых планов, их следует должным образом оценить. Если результаты неудовлетворительны, как модель, так и исходные данные следует пересмотреть и изменить.

       Результаты  моделирования представляют собой  принципиальные финансовые решения  о величине дивидендов, оборотного капитала, внешнего и внутренненго финансирования. Техника линейного программирования позволяет одновременно получить все эти решения.

       Модель  обеспечивает достаточную степень  детализации прогнозируемых позиций  балансового отчета и отчета о  доходах и расходах. Иными словами, в этих прогнозируемых отчетах выделен тот минимум показателей, на основании которого можно принимать обоснованные финансовые решения: об инвестициях, оборотных средствах, структуре капитала и дивидендах. Чрезмерная детализация результатов затруднила бы интерпретацию и снизила бы эффективность модели финансового планирования.

       Основное  различие между методом линейного  программирования и системой алгебраических уравнений заключается в том, что модель линейного программирования оптимизирует план, исходя из классической теории финансов, тогда как модель, использующая систему алгебраических уравнений, этого не делает. Правда, систему алгебраических уравнений легче использовать, особенно при проведении анализа чувствительности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       3. Практические аспекты линейного программирования в финансовом анализе и планировании

       3.1.Выбор  программ капитальных вложений  в условиях ограниченности ресурсов 

       Модели  линейного программирования кажутся  специально предназначенными для решения  задач формирования бюджетов капитальных затрат в условиях ограниченности ресурсов. Тогда почему они не находят всеобщего применения ни в теории, ни на практике? Одна из причин состоит в том, что их использование обходится недешево. Есть пример нефтяной компании, которая за один год израсходовала 4 млн.долл. на модель планирования инвестиций, основанную на интегральном программировании. Хотя собственно линейное программирование значительно дешевле в плане затрат компьютерного времени, его невозможно применять для анализа крупных неделимых проектов.

       Вторая  причина заключается в том, что  использование любого сложного инструмента  долгосрочного планирования связано  с общей проблемой получения  приемлемых данных. Не стоит использовать такой дорогой метод применительно  к неважной базе данных. Кроме того, эти модели основаны на допущении о том, что известны все будущие инвестиционные возможности. В действительности инвестиционные идеи возникают непредсказуемо.

       Самые серьезные опасения касаются основной посылки об ограниченности капитала.  Большинство фирм не сталкиваются с проблемой нормирования капитала и способны получить очень крупные суммы денег на хороших условиях. Почему тогда президенты многих компаний обращают внимание своих подчиненных на ограниченность капитала? Если они правы, то рынок капиталов вовсе несовершенен. Как же они тогда собираются максимизировать чистую приведенную стоимость? Возникает предположение того, что, если капитал не ограничен, им нет необходимости использовать модель линейного программирования; если же капитал ограничен, они однозначно не должны ее применять. Рассмотрим проблему более внимательно.

       Мягкие  ограничения. Ограничения объема капитала многих фирм являются мягкими. Они возникают не в результате несовершенства рынков капитала. Напротив, это временные ограничения, которые вводятся руководством, чтобы облегчить финансовый контроль. Некоторые честолюбивые руководители подразделений фирм обычно преувеличивают свои инвестиционные возможности. Вместо того, чтобы определить действительно стоящие проекты, руководство компании может счесть более простой мерой установления лимита капитальных вложений для подразделений и таким образом заставить подразделения самим выбирать свои приоритеты. В таких случаях бюджетные ограничения являются грубыми, но эффективным средством предотвратить неверные прогнозы потоков денежных средств. В других случаях руководство может полагать, что слишком быстрый рост компании способен привести к непосильному напряжению самого руководства и организации в целом. Поскольку довольно трудно дать точную количественную оценку подобных ограничений, заменой им может служить лимитирование бюджета.

       Коль  скоро бюджетные ограничения  такого рода не имеют ничего общего с неэффективностью рынков капитала, то подразделения могут совершенно беспрепятственно использовать модели линейного программирования с целью максимизации чистой приведенной стоимости в условиях ограниченности бюджета. С другой стороны, нет смысла применять сложные процедуры отбора, если прогноз потоков денежных средств подразделения страдает серьезными неточностями.

       Даже  если капитал не нормируется, ограничения  могут распространяться и на другие ресурсы. Достаточное количество времени  на управление фирмой, квалифицированные кадры и даже оборудование с длительным сроком службы принадлежит к числу важных факторов, зачастую способных ограничить рост компании.

       Жесткие ограничения. Мягкие ограничения никогда  ничего не стоят фирме. Если ограничения  на капитал становятся невыносимыми – в том смысле, что приходится отказываться от проектов с положительными и высокими чистыми приведенными стоимостями, - тогда фирма привлекает больше денег и снимает мягкие ограничения.

       Жесткие нормы предполагают несовершенства рынка капиталов, но они необязательно означают, что мы не должны использовать чистую приведенную стоимость в качестве критерия при планировании капитальных вложений. Это зависит от типа несовершенства рынка.

       Корпорация  «Аквахозяйство Аризоны» (АХА) берет  столько кредитов, сколько позволяет банк, и, несмотря на это, компания пока еще имеет хорошие инвестиционные возможности. Подобная ситуация не означает жестких ограничений до тех пор, пока АХА может выпускать акции. Возможно, учредитель или акционер, владеющий контрольным пакетом акций, был бы против выпуска из-за боязни потерять контроль над фирмой; возможно, выпуск акций обошелся бы слишком дорого из-за бюрократических или законодательных сложностей.

       Это не делает принцип чистой приведенной  стоимости непригодным. Акционеры АХА могут брать и давать займы, продавать свои акции или покупать еще. Они имеют свободный доступ к рынку ценных бумаг. Тип портфеля не зависит от финансовых и инвестиционных решений АХА. Единственное, что АХА может делать для своих акционеров, - это сделать их богаче. Поэтому АХА следует инвестировать денежные средства в проекты, имеющие наибольшую совокупную чистую приведенную стоимость. 
 
 
 

       3.2. Решение задачи выбора инвестиционного проекта.