Практическое применение интеграла Стилтьеса
Содержание
Введение
Глава I. Развитие понятия интеграла
Глава II. Интеграл Стилтьеса
2.1 Определение интеграла Стилтьеса
2.2 Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции.
2.3 Свойства интеграла Стилтьеса
2.4 Физическая интерпретация.
2.5 Интегрирующая функция ограниченной вариации.
2.6 Существование интеграла Стилтьеса.
2.7 Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса.
Глава III. Практическое применение интеграла Стилтьеса
3.1 Примеры.
Заключение
Список литературы
Введение
Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.
Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.
Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.
Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:
изучить литературу по теме работы;
отобрать из изученного материла необходимый;
привести примеры
Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.
Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления.
Третья глава посвящена прорешиванию примеров.
Глава I. Развитие понятия интеграла
Одной из первых проблем, решенных интегралом Стилтьеса, была проблема измерения моментов.
Представим себе, что на прямой, которую мы примем за ось абсцисс, распределена некоторая масса, и поставим себе задачей измерить моменты этой массы (момент статический, момент инерции или же моменты высших порядков) относительно начала координат. Если бы интересующая нас масса была вся сосредоточена в одной точке , то названные моменты были бы равны и т. д. Когда же массы распределены по различным точкам прямой, речь будет идти об определении приращений моментов при возрастании от определенного значения до определенного значения — приращений в интервале . Такое приращение момента мы будем обозначать через
Можно принять в качестве аксиом два свойства приращений моментов.
1°. Приращение момента
пропорционально приращению
Таким образом, если подразделить интервал точками деления
(1.1)
2°. Обозначим через массу, распределенную в интервале . Переместим всю эту массу в одну точку интервала ближайшую к началу координат. В этой точке любая из функций и т. д. достигает нижней грани m, тех значений, которые она принимает в интервале И после перемещения в эту точку всей массы мы получим момент во всяком случае не превосходящий первоначального момента (поскольку вся масса будет теперь ближе к началу координат, чем до перемещения). Наоборот, если переместить всю массу в одну точку интервала наиболее отдалённую от начала координат, где любая из функций и т. д. достигает верхней грани , ее значений на интервале то мы получим момент не меньший, чем первоначальный момент.
Таким образом:
Эти неравенства можно написать и в другой форме, в которой аналогия будет еще полнее. Обозначим через величину т. е. массу, распределенную на полупрямой от до включительно. (Если эта масса бесконечна, то вместо мы будем брать какое-нибудь значение , лежащее левее всех интересующих нас значений.) Так как
то
Теперь написанные выше неравенства могут быть переписаны так:
(1.2)
Далее возьмем любое подразделение интервала точками деления
и определим нижние и верхние грани значений функции на интервалах Составим суммы
и обозначим через верхнюю грань первых сумм и через — нижнюю грань вторых. Если и равны между собой, то их общее значение называется интегралом Стилтьеса функции с интегрирующей функцией , взятым в пределах от a до b, что обозначается так:
Обратимся к приращению момента . В силу (1.2):
и отсюда в силу (1.1):
Следовательно и
Таким образом если , то и приращение момента равно I, иначе говоря, равно написанному выше интегралу Стилтьеса.
Глава II. Интеграл Стилтьеса
Определение интеграла Стилтьеса
Интеграл Стилтьеса — это обобщение понятия интеграла Римана. Если мера Лебега и интеграл Лебега вводились для того, чтобы расширить класс измеримых множеств и класс интегрируемых функций, то введением интеграла Стилтьеса мы решаем другую задачу. Дело в том что на интеграл
можно посмотреть вот с какой стороны. При фиксированном отрезке интеграл — это число, которое ставится в соответствие каждой интегрируемой функции. Тем самым, интеграл Римана задает некоторую числовую функцию, определенную на множестве всех функций, интегрируемых на отрезке . Сузим класс функций и будем рассматривать непрерывные функции, определённые на отрезке . Множество всех таких функций принято обозначать символом , причем для каждой функции определяют величину называемую нормой функции f(x) в пространстве . Пусть , тогда, как мы знаем, — интегрируема но Риману на отрезке и
— линейная числовая функция, т.е. для любых и любых справедливо равенство
Напомним, что числовые функции, определенные на множестве, элементами которого являются функции, во избежание путаницы, называют функционалами. Более того, функционал I, ставящий всякой функции в соответствие число , называется линейным функционалом, если выполняются следующие свойства:
1°. Аддитивность:
2°. Однородность:
3°. Ограниченность: существует М > 0 такое, что для любой функции справедливо неравенство. Наименьшее из таких чисел M называется нормой линейного функционала и обозначается .
Таким образом, интеграл Римана задает линейный функционал на пространстве . С помощью интеграла Римана на пространстве можно построить много других линейных функционалов. Например, для любой фиксированной интегрируемой по Риману функции на пространстве можно задать линейный функционал
Заметим, что, если функция такова, что для всякого справедливо равенство , то можно представить в виде
Для развития теории интегрирования и для некоторых ее приложений, например, для теории вероятностей, вариационного исчисления, теоретической механики, важно иметь ответ на вопрос: любой ли линейный функционал на пространстве можно представить в таком виде, т.е. всегда ли найдется такая функция ,что
Легко понять, что если мы имеем дело с обычным интегралом Римана, то ответ отрицательный, так как тогда, например, функционал, где — фиксированная точка отрезка (в частности ) в таком виде представить нельзя. Но можно расширить понятие интеграла Римана таким образом, что уже любой линейный функционал на пространстве можно будет представить в виде
Расширение понятия интеграла
Римана в указанном направлении
и достигается введением
Определение. Функция называется функцией с ограниченным изменением или, что то же самое, функцией ограниченной вариации на отрезке , если существует вещественное число такое, что для любого разбиения Т : выполняется неравенство
Величина, равная , называется полным изменением или полной вариацией функции на отрезке
Отметим следующие свойства функций с ограниченным изменением на отрезке.
1°. Сумма двух функций с ограниченным изменением есть функция с ограниченным изменением.
Действительно, пусть . Тогда для любого разбиения Т отрезка справедливо неравенство . Отсюда следует, что полное изменение функции не превосходит суммы полных изменений функций и
2°. Ограниченная монотонная функция на отрезке — функция с ограниченным изменением.
Рассмотрим только случай неубывающей функции на отрезке Имеем
3°. Пусть и функция имеет ограниченное изменение на отрезке , тогда имеет место равенство
Возьмем любые разбиения и отрезков [а, с] и [с, b] и положим Тогда Так как
то, переходя в предыдущем равенстве к супремумам по разбиениям и , получим
Возьмем теперь любое разбиение отрезка и добавим к нему точку . Получим разбиения отрезка и отрезка . Тогда
Переходя в этом неравенстве к супремумам по всем разбиениям , получим
Вместе с ранее доказанным противоположный неравенством это дает
4°. Каждая функция с ограниченным изменением на отрезке может быть представлена как разность двух ограниченных монотонно возрастающих функций
Положим . Тогда функция не убывает и неотрицательна на отрезке . Далее, положим При x1 >x2 имеем
так как
5°. Функция с конечным числом максимумов к минимумов на отрезке является функцией с ограниченным изменением.
Пусть отрезки , задают участки монотонности функции на отрезке . Тогда
, где
Пример. Найти полное изменение функции при
Разобьем отрезок на отрезки монотонности функции . Тогда согласно свойствам 5° и 3° будем иметь:
Пусть — непрерывная функция и — функция с ограниченным изменением на отрезке , и пусть - размеченное разбиение отрезка и — соответствующее ему неразмеченное разбиение. Пусть, кроме того,
Тогда называется интегральной суммой Стилтьеса. Если существует предел
то функция называется интегрируемой по функции на отрезке , а величина — интегралом Стилтьеса от функции по функции (или относительно функции в обозначается так:
Этот предел можно рассматривать как предел по базе В, окончаниями которой служат множества, состоящие из размеченных разбиении с диаметром . Следовательно, предел единственен.
Докажем теперь одно достаточное
условие существования
Теорема. 1) (достаточное условие интегрируемости) Пусть функция имеет ограниченное изменение на отрезке . Тогда для существования интеграла Стилтьеса достаточно, чтобы функция была непрерывной на .
2) Пусть функция имеет ограниченное изменение на отрезке . Тогда интеграл Стилтьеса
является линейным функционалом в пространстве .
Основные свойства интеграла Стилтьеса
1°. Если функции дифференцируема, то имеет место равенство
где последний интеграл понимается как интеграл Римана
2°. Свойство линейности:
3°. При имеем
(свойство аддитивности).
4°. Если интегрируемы по Риману, то имеет место следующее правило интегрирования по частям:
где последний интеграл понимается как интеграл Римана.
5°. Если монотонно возрастает на отрезке на этом отрезке, то
Приведем примеры вычислении интегралов Стилтьеса.
- Пусть — дробная часть числа, т.е. где — целая часть числа . Найти значение интеграла .
Имеем:
- Пусть
Вычислить интеграл .
Имеем:
Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции
Теорема 1. Если непрерывна на конечном промежутке и — неубывающая ограниченная функция, то интеграл Стилтьеса от по на промежутке существует.
Принимая во внимание неравенство и , можем написать
(2.1)
Пусть — заданное положительное число. В силу равномерной непрерывности , на промежутке существует такое положительное число , что , если наибольшая из разностей не превышает . При этом неравенство (1) дает нам , и, следовательно при беспредельном измельчании промежутков. Совершенно так же можно показать, что , и, следовательно, . Бесконечность промежутка интегрирования не играет существенной роли в случае интеграла Стилтьеса. Надо только выяснить, что мы понимаем под беспредельным измельчанием частичных промежутков при разбиении бесконечного промежутка на части. Рассмотрим, например, промежуток . Мы будем говорить, что для последовательности разбиений этого промежутка на конечное число частичных промежутков эти последние беспредельно измельчаются, если при любом заданном положительном наибольшая из разностей для тех промежутков , которые имеют общие точки с стремится к нулю. Если непрерывна в промежутке и строго возрастает, т.е. при , то замена переменной преобразует промежуток в конечный промежуток , причем и . Разбиения с беспредельным измельчанием частичных промежутков для сводятся к обычным разбиениям с беспредельным измельчанием частичных промежутков для конечного промежутка .
Если, например, непрерывна в замкнутом промежутке , a ограничена и не убывает, то интеграл по-прежнему существует. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно, например, ввести вместо новую переменную . Полагая мы выразим интеграл по бесконечному промежутку через интеграл по конечному промежутку ;
причем непрерывна и ограничена и не убывает в промежутке .
Укажем один практически важный случай видоизменения основной теоремы существования интеграла Стилтьеса:
Теорема 2. Если непрерывна внутри промежутка интегрирования и ограничена, а неубывающая функция непрерывна на концах промежутка, то интегрируема по
Положим, что промежутком интегрирования является бесконечный промежуток .Оценим слагаемые, стоящие в правой части формулы (2.1). В силу ограниченности мы имеем , где — определенное положительное число, и, следовательно, . Те слагаемые суммы (2.1), которые соответствуют промежуткам , не имеющим общих точек дадут сумму, не большую, чем
(2.2)
В силу предположенной непрерывности , в точках можно выбрать настолько большим, чтобы выражение (2.2) было меньше любого заданного положительного . Фиксируем таким образом и рассмотрим остальные слагаемые суммы (2.1). Соответствующие им промежутки , или целиком укладываются в , или крайние два из них могут выходить из , причем длина выходящих частей не больше , где — наибольшая из разностей для промежутков, имеющих общие точки с . При беспредельном измельчании частичных промежутков это число стремится к нулю, и, начиная с некоторого этапа подразделения, оно будет во всяком случае меньше единицы. Таким образом, все промежутки , которые мы сейчас рассматриваем, начиная с некоторого этапа подразделения, будут принадлежать промежутку на котором функция равномерно непрерывна. В силу этого для всех достаточно малых значений будем иметь , и при этом для тех слагаемых суммы (2.1), которые соответствуют промежуткам , имеющим общие точки с , мы будем иметь оценку
и сумма этих слагаемых будет не больше, чем
откуда, ввиду произвольности , и следует, что , и теорема доказана.
Физическая интерпретация
Дадим физическую интерпретацию функции и интеграла Стилтьеса. Предположим, что на промежутке распределена материя, и пусть — масса, находящаяся на промежутке , и — масса, находящаяся в точке , если такая сосредоточенная масса существует. В противном случае полагаем . Разность дает массу, содержащуюся на промежутке . При стремлении положительного числа к нулю промежуток сжимается, и любая точка выйдет из промежутка при достаточно малом , так как левый конец не принадлежит этому промежутку. Функция является возрастающей функцией (масса — положительна), и, в силу сказанного выше, естественно подчинить функцию , характеризующую распределение масс, условию или , т. е. функция должна быть непрерывна справа во всех точках разрыва непрерывности, кроме . Не имеет смысла говорить о непрерывности на правом конце промежутка, ибо при функция не определена. Внутри промежутка сосредоточенные массы имеются в точках разрыва непрерывности , и величина сосредоточенной массы определяется разностью . Тоже и для правого конца промежутка. Общее количество материи на промежутке равно . Все сказанное годится как для конечного, так и для бесконечного промежутка. Характерным в предыдущих рассуждениях был тот факт, что мы не пользовались понятием плотности распределения. Центр тяжести распределенной материи будет определяться формулой
Эта формула годится для конечного промежутка. В случае бесконечного промежутка интегрируемая функция перестает быть ограниченной, и надо использовать определение несобственного интеграла.
В теории вероятностей функция выражает обычно вероятность распределения некоторой случайной величины, а именно равно вероятности того, что случайная величина принадлежит промежутку . При этом, как и выше, непрерывна справа. Понятие интеграла Стилтьеса от непрерывной функции непосредственно распространяется, как мы увидим, на тот случай, когда есть разность двух неубывающих функций: . Легко дать физическую интерпретацию в этом случае. Положим, что на промежутке распределены положительные и отрицательные заряды. При этом определяет общий положительный заряд на промежутке , а — общий отрицательный заряд на этом промежутке.
Интегрирующая функция ограниченной вариации
Если — непрерывная функция на и — ограниченной вариации, то, пользуясь представлением в виде разности двух возрастающих функций, можем написать
Суммы, стоящие справа, имеют определенный предел при беспредельном измельчании промежутков, и, следовательно, то же можно утверждать и относительно суммы, стоящей слева, т. е. непрерывная функция интегрируема по функции ограниченной вариации. Предельный переход в формуле (2.3) дает;
Укажем на те изменения, которые надо внести в формулировку свойств интеграла Стилтьеса, если есть функция ограниченной вариации.
Мы имеем
Если . Предельный переход дает
Если — ограниченной вариации, то и их линейная комбинация есть также функция ограниченной вариации.
Рассмотрим интеграл Стилтьеса с переменным верхним пределом для того случая, когда непрерывна и — ограниченной вариации:
Покажем, что функция есть функция ограниченной вариации. Составим для сумму :
Применяя формулу (2.5), получим
откуда и следует наше утверждение. В тех точках, где непрерывна, и функция непрерывна, и из неравенства
непосредственно вытекает, что в этих точках и непрерывна. Докажем еще следующее утверждение: если и непрерывны на и — ограниченной вариации, то имеет место формула
Существование интеграла Стилтьеса
До сих пор мы рассматривали интеграл Стилтьеса от непрерывной функции по функции ограниченной вариации . Из формулы интегрирования по частям следует, что функция ограниченной вариации интегрируема по непрерывной функции . Ниже мы укажем некоторые простые условия, касающиеся существования интеграла Стилтьеса в других случаях. Будем предполагать, что и ограничены на конечном промежутке и — неубывающая функция. Поскольку в дальнейшем мы будем пользоваться интегралом Стилтьеса лишь в случае непрерывности , приведем указанные ниже результаты без доказательства.
I. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо, чтобы была непрерывна во всех точках разрыва .
Если выполнено указанное
необходимое условие
II. Для интегрируемости по необходимо и достаточно выполнение следующего условия: при любом заданном положительном можно покрыть точки разрыва непрерывности конечным или счетным множеством промежутков (которые могут и перекрываться) так, что имеет место неравенство
Положим теперь, что — функция ограниченной вариации. Пусть
имеется каноническое разбиение этой функции и какое-либо другое разбиение. Составим разность для
Мы видели выше, что
и, следовательно, если при
беспредельном измельчании
.
III. Интегрируемость по и равносильна интегрируемости по полной вариации
Это утверждение, как и утверждение I, доказывается просто. Значительно более сложным является доказательство утверждения II.
Геометрическая
иллюстрация интеграла
Рассмотрим интеграл
(2.9)
предполагая функцию непрерывной интеграл положительной, а - лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).
Система параметрических уравнений
(2.10)
выражает некоторую кривую , вообще говоря, разрывную (рис). Если при некотором функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно интеграл то же предельное значение , равное . Дополним кривую всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек
и
отвечающие всем скачкам функции (см. рис). Таким образом, составится уже непрерывная кривая . Покажем, что интеграл (2.9) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой , осью и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .
С этой целью разложим промежуток на части точками
и в соответствии с этим промежуток на оси - на части точками
Введя наименьшее и наибольшее значения и функции в -м промежутке , составим нижнюю интеграл верхнюю суммы Стилтьеса-Дарбу
Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.
Так как при стремлении к 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (2.10), то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служит действительно интеграл (2.9).
Глава III. Практическое применение интеграла Стилтьеса
Примеры
I. Вычислить по формуле интегралы:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
Вычислить по формуле
(3.1)
( - точки разрыва функции и её производной )
интегралы:
а) где
б) где
Решение:
а) Функция имеет скачок 1 при и скачок - 2 при ; в остальных точках . Поэтому
б) Скачок 1 при и - 2 при (значение функции при не влияет на результат); в прочих точках .
Имеем:
Вычислить по формуле (3.1) интегралы:
а) б) в)
где
Решение:
Функция имеет скачки, равные 1, при и . Производная
Поэтому
а)
Аналогично,
б)
в)
II. Предположим, что вдоль отрезка оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке ; сверх того, положим, . Очевидно, - монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.
Разобьем промежуток на части точками
На отрезке при содержится, очевидно, масса . Точно так же на отрезке содержится масса . Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение
При стремлении к 0 всех , в пределе придем к точному результату:
. (3.2)
Можно было бы здесь сначала установить "элементарный" статический момент , отвечающий отрезку оси от до , а затем "просуммировать" эти элементы.
Аналогично для момента инерции тех же масс относительно начал найдем формулу
(3.3)
Важно подчеркнуть, что интеграл
Стилтьеса дал возможность
Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность ; кроме них пусть в точках расположены сосредоточенные массы . Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную
В каждой же точке функция испытывает скачок, равный именно массе , в этой точке сосредоточенной.
Если теперь разложить интеграл (3.2) по формуле (3.1), то получим
Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором - статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится для интеграла (3.3).
а) Составить выражение и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке .
Решение:
В промежутке имеем:
б) То же самое - для такого распределения: массы величины 2 при и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке .
Решение:
В промежутке имеем
Заключение
Интеграл, который мы рассмотрели в данной работе, был введен Стилтьесом. Новое понятие ему было нужно в разрабатывавшейся им теории цепных дробей; он ввел его и применил в интересовавших его вопросах. Разработка же выпала на доли других математиков, таких, как Кёниг, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, Г.Ф. Вороной, Рисс, Гильберт, Хеллингер.
Совершенно необозримо поле приложений различных типов интеграла Стилтьеса. Разумеется, та исходная проблема, из которой родилось само понятие интеграла Стилтьеса, проблема моментов, не перестала быть связанной с этим понятием. После работ Стилтьеса, Маркова, Юнга и других ученых, поток применений интеграла Стилтьеса вырос в трудно обозримый комплекс. Применения интеграла Стилтьеса в настоящее время уже настолько проникли в некоторые области математики, физики и квантовой механики, что достаточно серьезное изучение этих областей без интеграла Стилтьеса немыслимо и активно применяется в теории вероятностей, теории функций, а так же в функциональном анализе. В данной курсовой работе было приведено компактное понятие интеграла Стилтьеса, изучена соответствующая литература, проведён анализ основной проблемы интеграла Стилтьеса, а именно проблема измерения моментов, прорешаны примеры.
