Практическое применение модели Леонтьева

СОДЕРЖАНИЕ

1. Понятие  модели                                                                                       3

1.1. Понятие модели, их виды и сущность                                          3

2. Математическая  модель                                                               8

2.1. Общая структура межотраслевого баланса                               8

2.2. Статическая модель Леонтьева                                                  11                                

2.3. Модель равновесных цен                                                            18

2.4. Динамическая модель Леонтьева                                              19

3. Практическое  применение модели Леонтьева                        21

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ                                                                        27

1. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ

1.1. Понятие модели, их виды и сущность

Понятие модели возникло и существовало очень, очень давно.  В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Люди начали пользоваться математическими моделями еще до осознания математики как самостоятельной науки — достаточно вспомнить исчисление площадей в Древнем Египте. И. Кеплер и особенно И. Ньютон, применив математику к задачам естествознания и практики, заложили основы современного представления о математических моделях. В дальнейшем развитии науки и техники область применения математических моделей все более, расширялась, модели становились разнообразнее. Значительное усложнение математических моделей, потребность в существенном ускорении решения прикладных математических задач привели к необходимости появления принципиально новых вычислительных средств, и ЭВМ, проникшие сейчас в самые разнообразные области деятельности, были впервые созданы именно для «обслуживания» математических моделей. И сейчас роль ЭВМ при изучении и применении математики столь велика, что термин математическое моделирование часто применяется по отношению к области прикладной математики, включающей в себя как построение и исследование математических моделей, так и создание вычислительных алгоритмов и программ, реализующих эти алгоритмы на ЭВМ.

Подобие между моделируемым объектом и моделью  может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное  и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеют  одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При  выполнении объектом и моделью под  определенным воздействием сходных  функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно  изменяющимися состояниями объекта  и модели отмечается динамическое подобие, вероятностное подобие  при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели, а геометрическое подобие  при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

На сегодняшний  день общепризнанной единой классификации  моделей не существует. Однако из множества  моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы. Словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности. [1, С. 185]

Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой  и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат которого отложена цена (P1, P2), а на оси абсцисс величина спроса (Q1, Q2). Кривая (D) нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рисунок 1).

Рисунок. 1 Графическая модель спроса.

Физические, или вещественные, модели создаются  для конструирования пока еще  несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно  проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах. [2, С. 40]

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального  объекта или процесса с помощью  системы уравнений.

Необходимо  отметить, что опять же  единой классификации экономико-математических моделей сейчас не существует, выделяют более десяти основных признаков их классификации. Рассмотрим некоторые из них:

1. по общему целевому назначению:
1. теоретико-аналитические (используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов).
2. прикладные (применяемые в решении конкретных экономических задач).
2. по степени агрегирования объектов в моделировании:
1. макроэкономические (отражающие функционирование экономики как единого целого).
2. микроэкономические (модели, связанные, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы).
3. по конкретному предназначению  (т.е. по цели  создания и применения):
1. балансовые модели (выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования).
2. трендовые модели (в них развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) её основных показателей)
3. оптимизационные  (предназначены для выбора наилучшего варианта из определённого числа вариантов производства, распределения или потребления)
4. имитационные (предназначены для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) и др.
4. по типу информации:
1. аналитические (построенные на априорной информации).
2. идентифицируемые (построенные на апостериорной информации).
5. по учёту фактора времени:
1. статические  (в них все  зависимости отнесены к одному моменту времени).
2. динамические (описывают экономические системы в развитии).
6. по учёту фактора неопределённости:
1. детерминированные (если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями).
2. стохастические  (если при задании на входе модели определённой совокупности значений на её выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора).
7. по типу математического аппарата, используемого в модели:
1. матричные модели
2. модели линейного и нелинейного программирования
3. корреляционно-регрессионные модели
4. модели теории массового обслуживания
5. модели сетевого планирования и управления
6. модели теории игр и др.
8. по типу  подхода к изучаемым социально-экономическим системам:
1. дескриптивные (модели, предназначенные для описания и объяснения,  фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений).
2. нормативные  (при нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определённых критериев). 4[4, С. 215]

В данной курсовой работе будет рассмотрена экономико-математическая модель межотраслевого  баланса (МОБ) – так называемая таблица «затраты - выпуск». С учётом приведённых выше классификаций это прикладная, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, детерминированная, балансовая, матричная модель; при этом существуют как статические, так и динамические МОБ.

Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование  баланса между произведённым  отдельными экономическими объектами  количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. В  данном случае рассматривается система  экономических объектов, которые  выпускают некоторый продукт, часть  его потребляется другими объектами  системы, а другая часть выводиться за пределы системы в качестве её конечного продукта. [1, С. 185]

Балансовый  метод и создаваемые на его  основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций  в народном хозяйстве. Исходя из этого, они требуют пристально внимания со стороны науки.

2. Математическая модель

2.1. Общая структура межотраслевого баланса

Центральным элементом матричных моделей  является так называемый межотраслевой  баланс. Он представляет собой таблицу, характеризующую связи между  различными отраслями экономики  страны. Общая структура межотраслевого баланса представлена на рисунок 2.

Рисунок  2.  Общая структура межотраслевого баланса

Производственная  сфера экономики представлена в  балансе в виде совокупности n отраслей.

Баланс  состоит из четырех разделов (квадрантов).

Первый  квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь  содержится информация о межотраслевых  связях. Величина xij, находящаяся на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает, сколько продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины xij характеризуют межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной деятельностью.

В i-й  строке величины xi1, xi2, ..., xij, ..., xin описывают  распределение продукции i-й отрасли  как средства производства для других отраслей.

Величины x1j, x2j, ..., xij, ..., xnj j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива  и энергии на производственные нужды.

Таким образом, первый раздел баланса дает общую  картину распределения продукции  на текущее производственное потребление  всех n отраслей материального производства.

В зависимости  от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты: в натуральном  выражении, в денежном (стоимостном) выражении, в натурально-стоимостном, в трудовых измерителях. Мы рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной  продукции в некоторых фиксированных  ценах. Поскольку в этом случае величины xij отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать.

Величина   представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим отраслям.

Сумма по столбцу  характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца находится  величина  - так называемый промежуточный продукт экономики.

Второй  раздел посвящен конечному продукту. Столбец конечного продукта - (n+2)-й  столбец. Величина yi - потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие  производственные нужды. В конечную продукцию, как правило, включаются: накопление, возмещение выбытия основных средств, прирост запасов, личное потребление  населения, расходы на содержание государственного аппарата, здравоохранение, оборону  и т.д., а также сальдо экспорта и импорта.

Ко второму  разделу относится также столбец  валовых выпусков (Xi). В пределах первого и второго разделов справедливо  соотношение:

          Третий квадрант межотраслевого баланса отражает стоимостную структуру валового продукта отраслей. В (n+2)-й строке таблицы отражена условно чистая продукция (Vj), представляющая собой разницу между величиной валовой продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:

Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли. Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги.

Можно показать, что суммарный конечный продукт  равен суммарной условно чистой продукции:

Из соотношений (3.1) и (3.2):

Просуммируем первое равенство по i, а второе - по j:

Левые части  выражений равны, значит равны и  правые:

Разделим  обе части уравнения на , и получим

что и требовалось  доказать.

Таким образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе  он разбивается на величины yi, характеризующие  структуру потребления, то в третьем  разделе величины Vj показывают, в  каких отраслях произведена стоимость  конечного продукта.

Четвертый раздел располагается под вторым. Он характеризует перераспределительные  отношения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому  в пределах этого курса рассматриваться не будет.

Итак, рассмотренный  в данной курсовой работе межотраслевой баланс - это способ представления статистической информации об экономике страны. Он строится на основе агрегирования результатов деятельности отдельных предприятий. Такой баланс называют отчетным. [4, С. 215]

2.2. Статическая модель Леонтьева

Рассмотрим математическую модель Леонтьева, которую он создал в 1973 году, на примере статической модели, так как она является общей.

Статистические  межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и  потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.

При построении модели делают следующие предположения:

1. все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая отрасль производит один продукт;
2. в каждой отрасли имеется единственная технология производства;
3. нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции;
4. не допускается замещение одного сырья другим.

В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти  предположения тем более неверны  для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение  и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для  составления планов выпуска продукции.

Введем  следующие обозначения:

-  общий (валовой) объем продукции  i–й отрасли (i = 1,2,…,n);

- объем продукции i-й отрасли,  потребляемой j-й отраслью в процессе  производства (i,j = 1,2,…,,n);

- объем конечного продукта i-й  отрасли для непроизводственного  потребления. При этом величина xij может быть представлена следующим образом:

      Величина aij называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты aij считаются в межотраслевой модели постоянными.

Подставляя  выражение (3.3) в формулу (3.1), получим:

Это соотношение  можно записать в матричном виде:

где X = (x1, x2, ..., xn) - вектор валовых выпусков;

Y = (y1, y2, ..., yn) - вектор конечного продукта;

- матрица  коэффициентов прямых материальных  затрат.

Уравнение (3.4) называется моделью Леонтьева. Интерпретируя  выражение АХ как затраты, эту  систему часто называют моделью  «затраты выпуск».

Коэффициенты  прямых материальных затрат являются основными параметрами статической  межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1. Статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей;
2. Нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

Выражение (3.4) принято называть балансом распределения  продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры  экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав  конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые  выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (3.4):

где E - единичная  матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и  не будут ли получены отрицательные  значения выпуска по отраслям.

Установим некоторые свойства коэффициентов  прямых материальных затрат.

1. Неотрицательность, то есть aij ≥ 0,   , . Это утверждение следует из неотрицательности величин xij и положительности валовых выпусков Xj.
2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, то есть .

Докажем это утверждение.

Для любой  отрасли условно чистая продукция  есть величина положительная, поскольку  включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. Vj>0. Поэтому, используя соотношение (3.2), можно  записать:

из соотношения (3.3):

откуда, безусловно, следует:

таким образом, утверждение доказано.

Можно показать, что при выполнении этих двух условий  матрица B = (E - A)-1 существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что  в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

Перепишем формулу (3.5):

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы bij называют коэффициентами полных материальных затрат.   

Коэффициент bij показывает, каков должен быть валовый  выпуск i-й отрасли для того, чтобы  обеспечить выпуск единицы конечного  продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

Умножим обе  части на (E - A):

Доказано.

Из соотношения (3.7) следует bij ≥ aij,   , . Таким образом, коэффициент полных материальных затрат bij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат aij, рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения (3.7) для диагональных элементов матрицы B следует:

.

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере который изображен на рисунке 3 : пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб.

Рисунок 3  Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат

Полные  затраты на изготовление хлеба для данного примера складываются из прямых затрат (мука, электроэнергия, оборудование), и косвенных затрат всех уровней, к примеру, чтобы изготовить муку -  нужно зерно, электроэнергия и т.д. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.

Покажем только что изученную модель на примере 1. [7, С. 301]

Пример 1. В таблице 1 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.

Нужно вычислить  необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохраниться на прежнем уровне.

Таблица 1

Имеем x1=100, x2=150, x11=7, x12=21, x21=12, x22=15, y1=72, y2=123. По формуле (3.3) находим коэффициенты прямых затрат: a11=0,07; a12=0,14; a21=0,12; a22=0,10, то есть матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: max{0,07+0,12;0,14+0,10}=max{0,19;0,24}= 0,24<1. Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле . Найдем матрицу полных затрат :

Так как |E-A|=0,8202≠0, то отсюда следует:

По условию  вектор конечного продукта Тогда по формуле (4) получаем вектор валового выпуска:

То есть валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а машиностроительной – до 160,5 усл. ед. [9, С. 168]

2.3. Модель равновесных цен

Рассмотрим  теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как  и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х₁р₁ = х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n) + V₁.

Разделив  это равенство на х₁ получаем:

р₁ = а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n + v₁,

где v₁ = V₁/х₁ – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р₂ = а₁₂ р₁ + а₂₂ р₂ + … + а_n2 р_n + v₂,

р_n = а_1n р₁ + а_2n р₂ + … + а_nn р_n + v_n.

Найденные равенства могут быть записаны в  матричной форме следующим образом:

р = А^Тр + v,

где v = (v₁, v₂, …, v_n)^Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^Т. [10, С. 200]

4. Динамическая модель Леонтьева

Рассмотрим  модель Леонтьева во времени. Предположим, что из выпуска каждой отрасли  предназначенной для потребления  выделяются инвестиции на развитие каждой отрасли. Статический межотраслевой баланс Леонтьева: приравниваем чистый выпуск отраслей конечному спросу на продукцию отраслей.

где   тогда:

- вектор-столбец годовых валовых  выпусков отраслей;

 тогда 

- вектор-столбец  годового конечного спроса на  продукцию отраслей;

  - матрица прямых затрат, каждый элемент которой aij показывает, сколько единиц продукта i необходимо для производства единицы j-го продукта. При этом предполагается, что a_ij не зависят от времени и масштаба производства.

Если  теперь вектор конечных продуктов y_t в каждый год t, представить в виде двух векторов: инвестиционных товаров (продуктов) и потребительских товаров, то получим модель динамического межотраслевого баланса:

где - матрица приростных фондоемкостей, каждый элемент которой b_ij показывает, сколько единиц продукта i необходимо произвести для увеличения годового производства j-го продукта на единицу;

c_t – вектор-столбец конечного (непроизводственного) потребления.

С экономической  точки зрения соотношение  показывает разделение вектора валовых выпусков (а следовательно, и каждый его компоненты) на три части:

1. - текущее производственное потребление, включая амортизацию;
2. - капитальные затраты на расширенное производство;
3. - конечное (непроизводственное) потребление.

Динамическая  модель межотраслевого баланса характеризует  производственные связи народного  хозяйства на ряд лет, отражает процесс  воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются  два типа расчетов: первый тип, когда  по заданному уровню конечного потребления  рассчитывается сбалансированный объем  производства и распределения продукции. Второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.[9, С. 45]

3. Практическое применение модели Леонтьева

Практическое  применение метода «затраты - выпуск» достаточно широко. В США после Второй мировой войны под руководством Леонтьева составлена матричная таблица включающая 400 отраслей экономики США. Результаты экономического анализа были использованы для прогнозирования занятости населения в послевоенный период. Модели Леонтьева позволили смягчить топливный кризис 1970 года, продовольственный 1972-74 годов, экологический конца 70-х начала 80-х годов.

Леонтьев  экстраполировал методику на группу стран отдельных континентов  и в конечном итоге на мировое  хозяйство. Если Маркс делил экономику  на два сектора производство средств  производства и средств потребления, то Леонтьев увеличил количество отраслей до произвольной величины, для которой  можно собрать данные. Метод наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия. Он способствовал  усовершенствованию математического  аппарата путем определения новых  коэффициентов, пригодных для создания динамических моделей реальной экономики, обеспечил совершенствование системы  национальных счетов.

Первоначальным  моментом применения метода «затраты - выпуск» является изучение структуры, которая представляется в виде вектора структурных коэффициентов. Его содержание представляет количественные связи между затратами на производство и результатом работы каждого конкретного сектора. Связи представляют собой статистические данные экономики за конкретный период в материально-вещественном выражении. В качестве примера используем приведенный самим Леонтьевым упрощенный трехсекторный баланс, который состоит из сельского хозяйства, промышленности и домашнего хозяйства. Всю продукцию сельского хозяйства предлагается привести к зерну, промышленности к ткани, а домашнее хозяйство человеко-годам труда. [11, С. 298]