Санкт-Петербургский  государственный технологический  институт

(технический  университет)

  Факультет  Информатики и Управления

Кафедра САПРиУ,

II курс, гр.823

Дисциплина: Организация ЭВМ и систем 
 
 
 

Пояснительная записка к курсовому проекту.

Тема: ‘Представление чисел с плавающей точкой’.  
 
 

Студент: Сопыгин А.И.

                                     Преподаватель: Гиляров В.Н.

Санкт-Петербург, 2003г.

Содержание 
 

   стр.

    Введение…...…………………………………………………………………………..3

    Аналитический обзор….…………………………………………………………….3

    Описание выбранной программы-эмулятора……………………………………8

    Практическая  разработка…………………………………………………………..9

    Описание  использованных средств вычислительной техники………………13

    Выводы……………………………………………………………………………………..13

    Использованная  литература………………………………………………………14

Введение.

    В ячейках памяти 5000-5003h хранится число с плавающей точкой в формате (1+8+23). Восьмиразрядный порядок имеет смещение p_см=128₁₀. Двоичная двадцатитрёхразрядная мантисса не содержит старшей единицы, получаемой в  результате нормализации.

   Требуется составить программу, расположенную в памяти с ячейки  4000₁₆, формирующую следующие четыре числа:

1. «Знак числа» в ячейке 6000₁₆ (однобайтное целое число «+» - 00 и «-» - 01),
2. «Знак порядка» в ячейке 6001₁₆ (однобайтное целое число «+» - 00 и «-» - 01),
3. Модуль порядка в ячейке 6002₁₆ (однобайтное целое число),
4. Мантисса как трёхбайтное целое число в ячейках 6003₁₆-6005₁₆.

Аналитический обзор.

    Системой  счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

    Существуют  позиционные и непозиционные  системы счисления.

    В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

    В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7∙10² + 5∙10¹ + 7∙10⁰ + 7∙10^-1 = 757,7.

    Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

    За  основание системы можно принять  любое натуральное число —  два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

    где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.  

    Десятичная  система счисления. Использует десять обычных цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Существует массовое заблуждение, будто именно десятичная система счисления является наиболее употребительным способом записи чисел. Между тем, более внимательный анализ правил чтения и записи чисел приводит к другому выводу: система счисления, которой мы обычно пользуемся, фактически является двойной, так как имеет основания – 10 и 1000. В частности, в русском языке известны названия только для первых семи разрядов десятичной системы счисления (1 – единица, 10 – десяток, 100 – сотня, 1000 – тысяча, 10000 – тьма, 100000 – легион, 1000000 – миллион), но предпоследние два из них (легион  и тьма) давно вышли из употребления, а соседние с ними (миллион и тысяча) – названия классов, а не только разрядов. Итак, фактически в русском языке остались лишь два самостоятельных названия для десятичных разрядов: десяток и сотня. В других языках – аналогичная ситуация.

    Двоичная система счисления. В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры – 0 и 1, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной части.

    Восьмеричная система счисления. Использует восемь цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования.

    Шестнадцатеричная система счисления. Использует шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем A=10, B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15 . Также использует символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров. С другой стороны, в некоторых языках сохранились и следы использования этой системы счисления в прошлом. Например, в романских языках (испанском, французском и др.) числительные от 11 до 16 образуются по одному правилу, а от 17 до 19 – по другому. А в русском языке известен пуд, равный 16 килограммам. 

    Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

    Например:

    Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

    Например,

    При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

    Примеры:

    При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. 

    Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

    Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆. 

    При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в pезультате, котоpое поместится в ячейку.

    Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

    Ответ: 0,35₁₀ = 0,01011₂ = 0,263₈ = 0,59₁₆. 

Представление данных с плавающей точкой.

    Для унификации формата представления  чисел с плавающей точкой Институтом инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE) разработан стандарт 754.

    Стандарт  специфицируется на два формата: 32-битовый – обычной точности представления и 64-битовый – удвоенной точности представления.

    В первом формате поле порядка занимает 8 бит, во втором – 11 бит. Стандарт регламентирует использование числа 2 в качестве неявно заданного значения основания  характеристики. Помимо основных, в стандарте предусмотрены два расширенных варианта форматов обычной и удвоенной точности, конкретная спецификация которых зависит от реализации вычислительной системы. Расширенные форматы позволяют включать дополнительные биты и в поле порядка (расширение диапазона представления) и в поле мантиссы (повышение точности представления). Расширенные форматы предназначаются для промежуточных вычислений. За счёт повышения точности снижается  вероятность появления слишком больших ошибок округления, а при расширении диапазона снижается вероятность появления ошибки переполнения, которая, как правило, приводит к аварийному завершению программы. Ещё одно достоинство расширенного формата обычной точности состоит в том, что он позволяет использовать некоторые свойства формата с удвоенной точностью, но при этом не требует соответствующего увеличения времени выполнения арифметических операций. 

Параметры форматов, регламентированные стандартом IEEE 754.

    Не  все двоичные комбинации в форматах, регламентированных стандартом, интерпретируются обычным способом. Крайние значения порядка – все нули (значение 0) и все единицы (значение 255 в формате обычной точности и 2047 в формате удвоенной точности) – представляют особые величины. Стандартом предусматривается представление в заданном формате следующих классов величин.

• При значениях кода в поле порядка в интервале от 1 до 254 в формате обычной точности и от 1 до 2046 в формате удвоенной точности представляются нормализованные вещественные числа. Используется смещённый формат представления порядка и, следовательно, интервал возможных значений порядка простирается от -126 до +127 в формате обычной точности и от -1022 до +1023 – формате удвоенной точности. Нормализованная мантисса  включает бит, равный 1, слева от разделительной точки, который не хранится в поле мантиссы. Следовательно, в формате обычной точности представляется 24-разрядная мантисса, а в формате удвоенной точности – 53-разрядная.
• Нулевое значение в поле порядка совместно с нулевым значением в поле мантиссы представляет значение +0 или -0  в зависимости от кода в бите знака мантиссы.
• Заполнение поля порядка кодом 1 совместно с нулевым значением в поле мантиссы представляет значение +∞ и -∞ в зависимости от кода в бите знака мантиссы. Таким образом, формат позволяет представить на ограниченной разрядной сетке неограниченно большую числовую величину. Пользователь должен решить, трактовать ли переполнение как ошибку или обрабатывать в программе бесконечно большие величины.
• Нулевое значение в поле порядка совместно с ненулевым значением в поле мантиссы представляет ненормализованные числа. В этом случае считается, что неявный старший разряд мантиссы равен 0, и значение порядка равно – 126 в формате обычной точности или -1022 – в формате удвоенной точности. Код в знаковом бите мантиссы по-прежнему определяет знак числа.
• Заполнение поля порядка кодом 1 совместно с ненулевым кодом в поле мантиссы представляет так называемые необычные числовые величины (значения типа NaN – Not a Number). Включение в регламентируемые стандартом форматы возможности представлять подобные величины позволяет программисту сигнализировать посредством результата арифметической операции о различных исключительных ситуациях.

Представление величин в формате с плавающей точкой в соответствии со стандартом IEEE 754.

Описание выбранной программы-эмулятора.

    Для решения поставленной задачи воспользуемся эмулятором Смирнова.

Основной  причиной выбора этого эмулятора  было то, что из-за некорректного отображения обоих эмуляторов на ПК с процессором Intel Pentium–IV их размеры окон эмуляторов превышают разрешение монитора пользователя и работа с ними просто невозможна. К тому же у эмулятора Дёмина-Пушкина как бы «срезается» правая часть главного окна программы, и доступ к кнопкам становится невозможен.  

Отображение эмуляторов Дёмина-Пушкина  и Смирнова на ПК с процессором  P-IV.

    Однако, из-за того, что эмулятор Смирнова состоит из нескольких окон, «привязанных» друг к другу, и на них доступны все необходимые кнопки управления, то, отменив привязку и удалив окно клавиатуры, можно более-менее комфортно работать с эмулятором. 

Работа  с Эмулятором Смирнова. 
 
 
 
 
 
 

Практическая  разработка программы.

    Для решения поставленной задачи необходимо представить число с плавающей точкой в виде четырёх байт, хранящихся в обратном порядке.

    В 4-м байте, хранящемся по адресу 5003h, находится бит знака числа и 6 бит смещённого порядка числа, а последний (младший) бит смещённого порядка хранится в предыдущем, третьем байте, располагающемся в ячейке 5002h.

    Следовательно, сначала необходимо загрузить в  аккумулятор третий байт числа, а затем, сдвинув байт, записать в аккумулятор 4-й байт числа, содержащий бит знака числа. При этом младший бит смещённого порядка будет располагаться в результате сдвига во флажковом регистре в бите, отвечающем за переполнение.

    Сдвинув 4-й байт числа, скопированный в  аккумулятор, в аккумуляторе мы получим значение смещённого порядка, а во флажке CY – бит знака числа. В зависимости от состояния CY в ячейку 6000h записываем 0h (знак числа – «+») или 1h (знак числа – «-»).

    Далее необходимо получить значение порядка  числа. Так как смещённый порядок  в нашем случае равен 128₁₀ и порядок числа лежит на отрезке [-128; 127], то из полученного значения в аккумуляторе необходимо вычесть это смещение, равно 80₁₆. Однако, если порядок отрицателен, мы не получим нужного нам значения в результате заёма в аккумуляторе при вычитании (значение CY равно 1).

    Например:

–

    То  есть полученное значение даже больше возможного!

    Следовательно, если после вычитания значение CY равно 1, необходимо записать в ячейку 6001h значение 1h (знак порядка – «-») из числа 80h вычесть значение смещённого порядка:

–

    Таким образом, после получения смещённого порядка в аккумуляторе после  второго сдвига необходимо сохранить это значение для последующих вычислений, например, в регистре B.

    После определения знака числа, знака порядка числа и значения самого порядка, сохраняемого в ячейке по адресу 6002h, необходимо проверить, нужно ли восстанавливать старшую единицу мантиссы в третьем байте числа. Если число больше, чем 80h, то старшую единицу восстанавливать не надо, иначе – нужно прибавить к этому байту значение 80h (восстановление старшей единицы). Полученное значение сохраняем по адресу 6005h, а второй и первый байты числа необходимо сохранить по адресу 6004h и 6003h, так как мантисса числа должна храниться в обратном порядке. 

    Перед началом выполнения алгоритма в  ячейки 6000h и 6001h записываются значения 00h для того, чтобы упростить алгоритм программы.

    Для организации диалога с пользователем  внесём в память необходимые строковые  константы, которые будем использовать при вводе и выводе данных. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Блок-схема  программы.

Листинг программы. 

Контрольный пример.

    Для проверки правильности работы программы  приведём контрольный пример.

    В диалоге ввода числа наберём  константу 79A35E71. Представим это шестнадцатеричное число в двоичном виде:

    Содержимое  памяти:  01111001b 10100011b 01011110b 01110001b

    Ячейка  памяти:                   5000h         5001h       5002h        5003h

    Так как число хранится в обратном порядке, то бит, отвечающий за знак числа  – старший бит в ячейке 5003h. Это «0», следовательно, знак числа – «+».

    Следующие семь бит и старший бит в ячейке 5002h составляют значение смещённого порядка. В данном случае это 11100010b. При вычитании из этого значения порядка смещения мы получим: – = 01100010b=62h. Знак порядка числа – «+».

      В ячейке 5002h хранится первый байт мантиссы числа. Так как его старший бит не содержит старшей единицы, необходимо восстановить её. При этом мы получим значение 11011110b=DEh.

    Два оставшихся байта должны быть скопированы  без изменения. 

    В результате выполнения программы получим следующий результат:

    Содержимое  памяти:       00h      00h      62h     79h     A3h     DEh

    Ячейка  памяти:           6000h  6001h  6002h 6003h  6004h  6005h 

    Чего  и следовало ожидать. Следовательно, программа работает верно. 

Использованные  средства вычислительной техники.

    При разработке программы был использован  персональный компьютер со следующими техническими характеристиками. 

    Процессор: Intel Pentium IV, 1.5 GHz.

    Оперативная память: 256 MB.

    Жёсткий диск: 40GB.

    Видеокарта: 1024x768, 32-Bit Color, Radeon 7500/7500LE.

    Операционная  система: Windows Millennium Edition. 

Выводы  по работе.

    В результате разработки создана программа, позволяющая наиболее быстро решить поставленную задачу. Данный алгоритм преобразования числа с плавающей точкой, по моему мнению, является самым быстрым в работе, несмотря на то, что дополнительно используется регистр B. Единственным недостатком программы можно считать большой размер текстовых констант, использованных в программе. Однако использование диалога значительно упрощает работу с программой, она становится понятной на интуитивном уровне, а анализ результата на ошибки происходит гораздо быстрее.