Преобразование Фурье. Интегрирование обобщённых функций

Федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тюменский Государственный  Университет

Институт  Математики Естественных Наук и Информационных Технологий

Кафедра Математики и Информатики

Курсовая  работа

по дисциплине

«Математический анализ»

на тему

Преобразование  Фурье.

Интегрирование  обобщённых функций.

Выполнил:  
студент 303-2 гр.  
Савчук А.В.

Проверила:  
к. ф.-м. н., доцент

кафедры МиИ

Салтанова Т. В. 

Тюмень 2011 

Оглавление

Введение. 3

Глава 1. Преобразование Фурье. 4

1.1. Применения преобразования Фурье. 4

1.2. Разновидности преобразования Фурье. 5

1.2.1. Многомерное преобразование Фурье. 5

1.2.2. Ряды Фурье. 5

1.2.3. Дискретное преобразование Фурье. 6

1.2.4. Оконное преобразование Фурье. 7

1.3. Таблица важных преобразований Фурье. 8

Глава 2. Дифференцирование и интегрирование обобщённых функций. 10

2.1. Основные определения. 10

2.2. Пример. 12

Заключение. 13

Список использованной литературы. 14

Введение.

Преобразование Фурье вычисляется  всякий раз, когда мы слышим звук. Ухо  автоматически выполняет вычисление, проделать которое наш сознательный ум способен лишь после нескольких лет обучения математике. Наш орган слуха строит преобразование, представляя звук — колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдых средах — в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты. Мозг превращает эту информацию в воспринимаемый звук.

Аналогичные операции можно производить  с помощью математических методов  над звуковыми волнами или  практически над любыми другими  колебательными процессами — от световых волн и океанских приливов до циклов солнечной активности. Пользуясь  этими математическими приёмами, можно раскладывать функции, представляя  колебательные процессы в виде набора синусоидальных составляющих — волнообразных  кривых, переходящих от максимума  к минимуму, затем опять к максимуму, подобно океанской волне. Преобразование Фурье — это функция, описывающая  амплитуду и фазу каждой синусоиды, соответствующей определённой частоте. (Амплитуда представляет высоту кривой, а фаза — начальную точку синусоиды.)

Цель данной курсовой работы выяснить, что такое преобразование Фурье, рассмотреть основные виды преобразований Фурье, интегрирование обобщённых функций.

Глава 1. Преобразование Фурье.

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция  описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции  на элементарные составляющие — гармонические  колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:

1.1. Применения преобразования Фурье.

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в  физике, теории чисел, комбинаторике, обработке  сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
• Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, Шаблон:Lang-en FFT).

1.2. Разновидности преобразования Фурье.

1.2.1. Многомерное преобразование Фурье.

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве , определяется формулой

Здесь ω и x — векторы пространства , — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой

Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции f в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида с амплитудами , частотами ω и фазовыми сдвигами arg соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания  преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и  в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

 .

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

.

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

•  Более обще, если — обратимое линейное отображение, то

1.2.2. Ряды Фурье.

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для 2π-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

Разложение в ряд Фурье применимо  также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции  могут быть периодически продолжены на всю прямую. Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в  смысле обобщённых функций. Для любой 2π-периодической функции имеем

Иными словами, преобразование Фурье  периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в  целых точках, и равно нулю вне их.

1.2.3. Дискретное преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье  — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и  в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке  сигналов и в других ситуациях, где  необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших  чисел.

Пусть — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен Выберем какие-нибудь n точек на комплексной плоскости. Теперь многочлену f(t) мы можем сопоставить новый набор из n чисел: Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел существует единственный многочлен f(t) степени не выше n − 1 с такими значениями в соответственно.

Набор и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора В качестве точек обычно выбирают корни n-й степени из единицы:

Такой выбор продиктован тем, что  в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также  тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей  длины n напрямую требует порядка операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за O(n*log n) операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка n операций.

1.2.4. Оконное преобразование Фурье.

где даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала f(t) в окрестности времени t.

Классическое преобразование Фурье  имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования  переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение  частот, в то время как требуется  сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так  называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать  некоторую оконную функцию W, эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных  цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов окон. Применение окон принципиально необходимо, поскольку  в реальных приборах исследуется  всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала  вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков  на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра  используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём  сигнал заданной длительности разбивается  на ряд интервалов с помощью скользящего  окна того или иного типа. Это  позволяет получать, исследовать  и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать  их поведение во времени. Спектрограмма  строится в трёх координатах —  частота, время и амплитуда. При  этом амплитуда задаётся цветом или  оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы  спектра называют анализаторами  спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен ГГц.

Указанные методы спектрального анализа  реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

1.3. Таблица важных преобразований Фурье.

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье F(ω) и G(ω) обозначают фурье компоненты функций f(t) и g(t), соответственно. f и g должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

Глава 2. Дифференцирование и интегрирование обобщённых функций.

2.1. Основные определения.

Обобщенной функцией мы будем называть каждый линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве К. Известно, что операция дифференцирования не всегда выполнима для обычных функций: существует большое количество функций, не имеющих производных в обычном смысле слова. В противоположность этому мы покажем, что обобщенные функции имеют производные (и притом всех порядков), которые представляют собой также обобщенные функции. Для того чтобы подойти к определению производной обобщенной функции, рассмотрим вначале случай обычных функций одного переменного. Если функция f(х) непрерывна и обладает непрерывной производной (в обычном смысле), то мы можем построить функционал   Интегрируя по частям и учитывая, что функция обращается в нуль вне некоторого отрезка [а, b] мы получаем:

Это равенство мы и положим в основу общего определения производной от обобщенной функции. Пусть f — произвольный линейный непрерывный функционал на основном пространстве К. Тогда функционал g, заданный формулой мы будем называть производной от функционала f и обозначать через или ,

Определение производной обобщенной функции f можно записать очень наглядной формулой:

Чтобы убедиться в корректности определения  производной, покажем, что функционал g также является линейным непрерывным функционалом на основном пространстве К.

Проверим  это утверждение.

Во-первых, функционал g определен на всех функциях , поскольку вместе с есть основная функция. Очевидно, что функционал g линеен. Остается проверить, что он непрерывен.

Пусть дана последовательность основных функций  , стремящаяся к нулю в пространстве К. Тогда, согласно определению сходимости в пространстве К, последовательность производных также стремится к нулю в пространстве К. Поэтому, в силу непрерывности функционала f, 

 что и требуется.

Итак, каждая обобщенная функция f имеет производную. Легко проверить, что выполняются обычные правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, и постоянный множитель выносится за знак производной. Для произведения бесконечно дифференцируемой функции а(х) на обобщенную функцию f остается справедливой классическая формула дифференцирования

Действительно, мы имеем:

что и требуется.

Переходим теперь к случаю нескольких независимых переменных. В этом случае мы можем определить для каждой обобщенной функции f её частные производные по каждому из независимых переменных по формулам вида

Так же, как и выше, легко проверяется  корректность этого определения: если функционал f регулярен и соответствующая функция непрерывна и обладает непрерывной производной по переменному , то интегрирование по частям, как и выше, приводит нас к выводу, что функционал — есть функционал типа функции

Поскольку результат дифференцирования  обобщенной функции есть снова обобщенная функция, мы можем продолжать дифференцирование и определить производные и т.д. любого порядка.

Таким образом, все обобщенные функции  бесконечно дифференцируемы. В частности, каждая локально интегрируемая функция  имеет производные в обобщенном смысле всех порядков. (При этом, если функция f имеет обычную производную, то определяемый последней функционал не обязан совпадать с производной от f в смысле обобщенных функций.)

Смешанные производные обобщенных функций не зависят от порядка  дифференцирования: так, например, .

2.2. Пример.

Рассмотрим функцию 

Отвечающий  ей функционал будем также обозначать через .

Согласно  общей формуле , функционал действует на основную функцию так:

таким образом, в силу определения дельта-функции, .

Аналогично, как легко проверить, .

Заключение.

Преобразование Фурье стало  мощным инструментом, применяемым в  различных научных областях. В  некоторых случаях его можно  использовать как средство решения  сложных уравнений, описывающих  динамические процессы, которые возникают  под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях  оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном  сигнале, благодаря чему можно правильно  интерпретировать экспериментальные  наблюдения в астрономии, медицине и химии.

В наше время изучение преобразования Фурье главным образом сводится к поиску эффективных способов перехода от функций к их преобразованному виду и обратно.

Список использованной литературы.

1. Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики. Под ред. проф. В. П. Дьяконова — М: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248.
2. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними/ Обобщенные функции, выпуск 1 – М.: Гос. изд-во физико-мат. лит-ры. – 1959 г. – 470 с.
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Фурье.