Приклади неперервних недиференційовних функцій
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ім. ВОЛОДИМИРА ДАЛЯ
Кафедра "Прикладна математика"
КУРСОВА РОБОТА
на тему:
"Приклади неперервних і ніде не диференційовних функцій"
Виконав студент групи МТ - 201 |
Тубольцев Михайло Володимирович |
Перевірив |
к.т.н, доц. Кучма Володимир .Якович |
Робота захищена "___" __________ 2012 р.
з оцінкою "_____________"
Луганськ, 2012
ВСТУП
Больцано спростував
загальноприйняту думку, сформульовану
в 1806 р. Ампером, що безперервні функції
мають лише, можливо, ізольовані особливості.
У геометричному плані це означає,
що всяка безперервна крива
Застосуванні до побудови функції Больцано метод накопичення особливостей полягає в наступному. Будується -отрезок прямої між точками, наприклад А(0, 0) і В(a, h). Потім будується -ломаная ACDEB, де C( a 4, − h 4 ), D( a 2, 0 ), E( 3a 4, h 2 ) . вийде повторенням попередньої операції на кожному з вказаних чотирьох відрізків. n— Кратне повторення цієї операції дає ламану . Функція Больцано в точках виду x= ka 4 n(0 < k < 4n, k — ціле, визначається як співпадаюча з . На множині {x}, відмінних від , .
Функція Больцано безперервна, але не має кінцевої похідної ні в одній точці. Насправді, коливання на відрізках буде . Проте коливання для будь-якого відрізку , оскільки всередину цього відрізку потрапить хоч один проміжок з числа отриманих при діленні проміжку на рівних частин. Тому завжди можна вибрати таке , щоб одночасно , і |. Дійсно, нехай на сегменті найбільше і найменше значення будуть: і . .
Тому матиме місце хоч би одно з нерівностей : . Нехай, наприклад, . Тоді на відрізку знайдеться таке, що , і тому і одночасно . У такому разі і у відрізку не має кінцевої похідної.
Крива Больцано була знайдена в усякому разі до 1830 р. Проте довгий час вважалося, що перші приклади безперервної функції, що не диференціюється, дали в 1875 р.:
а) Вейерштрас (0 < a < 1, b — ціле непарне число, ab > 1 + 3π/2)
б) Дарбу .
ПРИКЛАДИ БЕЗПЕРЕРВНИХ НЕДИФЕРЕНЦІЙОВАНИХ ФУНКЦІЙ
Існує багато простих
прикладів безперервних
Далі, методом, який називається згущуванням особливостей можна будує функції, що не диференціюються на усюди щільній множині, наприклад на множемтве раціональних точок. Нехай - послідовність, що складається з усіх раціональних чисел, ув'язнених між 0 і 1. Покладемо
,
Де - функція, що має вказану особливість при а коефіцієнт досить швидко прагне до нуля. Функція має цю особливість до кожної раціональної точки. Наприклад, функція неприрывна, оскільки ряд рівномірно сходиться. Але вона не дифференцируема ні в якій раціональній точці. Дійсно
І при перший член прагне до деякої межі, другий член прагне до якщо і до якщо а третій член за абсолютною величиною не перевершує
.
Отже, похідній не існує.
Щоб отримати функцію, що ніде не диференціюється, треба застосувати зовсім інші методи. Перший приклад такої функції був вказаний Вейерштрасом.
Функція Вейерштраса
Ця функція визначається поруч
,
Де а - непарне натуральне число. Ряд рівномірно сходиться у будь-якому інтервалі, так що функція усюди безперервна. З іншого боку, якщо то ряд, який виходить при почленному диференціюванні цього ряду, розходиться. Саме по собі це не доводить, що функція не дифференцируема, проте це вказує на таку можливість. Ми покажемо, що якщо то функція не має кінцевої похідної ні при якому значенні .
Ми можемо написати:
.
Оскільки
,
Те
.
Тепер ми оцінимо знизу надавши спеціальне значення. Саме де - ціле число і і ми вважаємо
.
Ясно, що і
.
Оскільки - непарне число, з цього виходить, що
.
Далі
.
Отже
.
Усі члени цього ряду позитивні, так що, відкидаючи усі члени, окрім першого, ми отримуємо оцінку
.
Таким чином
.
Якщо те число, що стоїть в дужках, позитивно, і якщо то і права частина прагне до нескінченності. Отже, відношення набуває значень, скільки завгодно великих за абсолютною величиною, і кінцевою похідною не існує.
Графік цієї функції можна описати
як що складається з нескінченного
числа нескінченно малої
Графік функції Вейерштраса на інтервалі [− 2, 2]. Цей графік має фрактальний характер, демонструючи самоподобие: збільшувана область(у червоному крузі) подібна до усього графіку.
Функція Ван-дер Вардена
Функція подібна до функції Вейерштраса, але результат виходить зовсім іншим шляхом.
Нехай - відстань між точкою і найближчою до неї точкою виду де - ціле число. Функція
Безперервна, але не дифференцируема.
Кожна з функцій безперервна, і так що ряд рівномірно сходиться. Отже, функція безперервна.
Нехай - довільне число з інтервалу(0, 1). Представимо десятковим дробом і покладемо якщо q- й десятковий знак цього дробу є 4 або 9, і у інших випадках. Якщо то і мають одно і те ж найближче число виду і лежать по одну сторону від нього; якщо ж то числа і що відповідають числам і відрізняються один від одного на . Ці правила можна перевірити на простих прикладах, таких, як чи .
З викладеного виходить, що
Таким чином
,
Де - ціле число, парне або непарно разом з . Отже, відношення не може прагнути до кінцевої межі, коли
СНІЖИНКА КОХА
Ця фігура — один з перших досліджених ученими фракталів. Вона виходить з трьох копій кривої Коха, яка уперше з'явилася в статті шведського математика Хельге фон Коха в 1904 році. Ця крива була придумана як приклад безперервної лінії, до якої не можна провести дотичну ні в одній точці. Лінії з такою властивістю були відомі і раніше(Карл Вейерштрас побудував свій приклад ще в 1872 році), але крива Коха чудова простотою своєї конструкції. Не випадково його стаття називається «Про безперервну криву без дотичних, яка виникає з елементарної геометрії».
Малюнок відмінно показує, як по кроках будується крива Коха. Перша ітерація — просто початковий відрізок. Потім він ділиться на три рівні частини, центральна добудовується до правильного трикутника і потім викидається. Виходить друга ітерація — ламана лінія, що складається з чотирьох відрізків. До кожного з них застосовується така ж операція, і виходить четвертий крок побудови. Продовжуючи в тому ж дусі, можна отримувати усі нові і нові лінії(усі вони будуть ламаними). А то, що вийде в межі(це вже буде уявний об'єкт), і називається кривою Коха.
Основні властивості кривої Коха
- Вона безперервна, але ніде не дифференцируема. Грубо кажучи, саме для цього вона і була придумана — як приклад такого роду математичних «потворок».
- Має нескінченну довжину. Нехай довжина початкового відрізку дорівнює 1. На кожному кроці побудови ми замінюємо кожну із складових лінію відрізків на ламану, яка в разу довше. Значить, і довжина усією ламаною на кожному кроці множиться на : довжина лінії з номером n рівна . Тому граничній лінії нічого не залишається, окрім як бути нескінченно довгою.
- Сніжинка Коха обмежує кінцеву площу.
І це при тому, що її периметр нескінченний.
Ця властивість може здатися
парадоксальним, але воно очевидне -
сніжинка повністю поміщається
у круг, тому її площа свідомо
обмежена. Площа можна
порахувати, і для цього навіть не
треба особливих знань — формули
площі трикутника і суми
геометричній прогресії
проходять в школі. Для зацікавлених
обчислення приведене нижче.
Нехай сторона початкового
ПРО ОДИН КЛАС БЕЗПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ, ЩО НІДЕ НЕ ДИФЕРЕНЦІЮЮТЬСЯ
Вступ. Розглянемо побудовані ніде безперервні функції, що не диференціюються такі, що для майже усіх(відносно міри Лебега) виконано співвідношення
, (1)
Де . Майже усі(як у сенсі категорії, так і в сенсі міри Вінера) безперервні речові функції на відрізку мають цю властивість. Побудуємо клас прикладів безперервних комплекснозначных функцій на відрізку, аналогічною властивістю, що володіє, і показано, що майже усі(також в обох сенсах) безперервні комплексні функції на відрізку цієї властивості не мають. Отримані результати, близькі до остаточних, про поведінку в околиці нуля модулів безперервності таких функцій.
1. Одновимірний випадок
Введемо спершу декілька позначень: - безліч усіх безперервних речових функцій на відрізку [a, b]. Усюди далі . Символом позначимо міру Лебега в R, а символом -меру Вінера в . Міра - це бролевская міра на Банаховому просторі така, що
,
Де В- Борелева підмножина . Підмножина А топологічного простору Х називатимемо масивним, якщо Х\А- безліч першої категорії.
Для введемо позначення:
- G(f) - множина усіх для яких виконується співвідношення(1);
- ;
Теорема 1. А) Множина масивно в (причому -множество типу у ).
В) .
Доказ. Оскільки безліч функцій, що ніде не диференціюються, масивна в нам досить показати, що масивно в . Доведемо, що множина є об'єднанням рахункового числа замкнутих ніде не щільних в множин. Помітимо, що оскільки всяка безперервна функція разом з будь-якими двома своїми значеннями набуває і усіх проміжних значень, то
, (2)
де
;
;
;
.
З визначення великої кількості і співвідношення(2) витікає, що
, де ,
, ,
, ,
, ,
, .
Нам досить показати, що множини є замкнутими і ніде не щільними в . Для цього, у свою чергу, досить перевірити, що замкнутими і ніде не щільними в являються множини Доведемо останнє твердження для (для доказ абсолютно аналогічно). Перевіримо спершу замкнутість . Нехай і послідовність рівномірно сходиться до функції . В силу визначення великої кількості . Нехай . Безпосередньо перевіряється, що і . Отже тобто замкнуто. Залишилося показати, що множина ніде не щільно.
Оскільки замкнуто, досить довести, що усюди щільно в . Нехай . Покладемо .
При цьому легко бачити, що . Отже при досить великих М. Тепер в силу довільності і щільність у маємо, що щільно в . Перша частина теореми доведена.
Оскільки майже все відносно міри Вінера безперервні функції ніде не дифференцируемы, замість рівності досить перевірити рівність . Розглянемо відображення визначуване рівністю
Те, що функція Борелева, перевіряється без (зусиль для цього досить так само, як при доказі першої частини теореми, перевірити, що множина являється безліччю типу ). Отже, до функції можна застосувати теорему Фубини :
. (3)
Але в силу(2) і закону повторного логарифма для вінерівського процесу, з якого виходить, що для будь-кого .
;
Права частина рівності(3) рівно . Значить рівна і ліва частина цієї рівності, звідки в силу тієї ж теореми Фубини витікає, що для майже усіх в сенсі міри Вінера функцій рівність виконується для майже усіх t в сенсі міри Лебега. Але виконання цієї рівності для майже усіх t і означає приналежність функції f безлічі IM[a, b].
Теорема доведена.
Зауваження . Теорема 1 показує, що майже усі безперервні речові функції на відрізку як в сенсі категорії, так і в сенсі міри Венера, належать класу . Таким чином, теорема 1 доповнює основний результат [2].
Теорема 2. Яка б не була функція множина має потужність континууму.
Доказ. Покажемо спершу, що множина являється безліччю типу у :
,
Де - ) - множини, введені в доведенні теореми 1.
Таким чином, досить довести замкнутість великих кількостей у(a, b), яка безпосередньо витікає з визначення цих великих кількостей і безперервності функції f. Зважаючи на класичний результат П.С.Александрова про те, що Борелеві підмножини прямої або счетны, або мають потужність континууму, для доведення теореми досить показати, що множина численно. Припустимо, що ця множина рахунковий, тобто . Для кожного виберемо функцію що задовольняє наступним умовам:
1) -зростаюча безперервна функція;
2) , ;
3)
(існування таких легко перевіряється безпосередньо).
Тепер розглянемо функцію де . Оскільки рахунковий, то майже ніде не дифференцируема, а там як функція монотонна і, отже, майже усюди дифференцируема, то g не дифференцируема майже ніде і, отже, не є монотонною ні на якому інтервалі. Тоді функція g має точку локального максимуму (всяка безперервна речова функція, що не має в інтервалі(a, b) точок локального максимуму, має інтервали монотонності). Можливі два випадки.
Випадок 1. . В цьому випадку за визначенням що суперечить тому факту, що - точка локального максимуму функції g.
Випадок 2. для деякого . Тоді що суперечить тому факту, що - точка локального максимуму функції g.
Зауваження 2. Для множина являється безліччю нульової міри Лебега і першої категорії.
2. Двомірний випадок
У цьому пункті
нам знадобляться наступні
- безліч усіх безперервних комплексних функцій на відрізку ;
. Символом означатимемо міру Вінера в яка визначається аналогічно мірі Вінера в просторі . А саме
,
Де - Борелева підмножина
.
Для символом позначимо множину усіх для яких виконується співвідношення
; ( )
,
не дифференцируема ні в одній точці відрізку .
Теорема 3. являється безліччю першої категорії в і .
Доказ. Для доказу першого затвердження теореми досить перевірити, що множина являється безліччю першої категорії в . Покладемо
таке, що
( - плоска міра Лебега). Очевидно, що . Так що досить довести, що кожна з множин ніде не щільно в . Нехай . Оскільки щільно в досить перевірити, що деяка куля (по нормі ) з центром в не перетинається з . Итак, нехай ; . Оскільки
при то ,
Де при деякому . Множина - безперервна крива, що випрямляється, на площині довжини, не більше а - її -окрестность. Отже . Таким чином
При досить малих . Отже, при таких співвідношення виконується при . Перше затвердження теореми доведене.
Вище доведено, що для якого . Отже для всякого .
Друге затвердження теореми тепер виводиться з теореми Фубини за допомогою міркування, аналогічного тому, яке проведене при доказі другої частини теореми 1.
Теорема 4. Нехай примеч
1) ;
2) для нескінченної безлічі індексів ;
3) ;
І нехай
,
Де - функція, що задовольняє умові Ліпшиця (тобто
для усіх t ).
Тоді для усіх .
Для доказу на знадобиться наступна лема.
Лема 1. Нехай , , , причому
1) ;
2) ;
3) для нескінченної безлічі індексів .
Тоді існує множина таке, що і для всякого нерівність виконується для n з деякої нескінченної множини .
Доказ. Припустимо, що затвердження леми 1 невірно. Тоді існують і такі, що і ществует такое, что
(5)
Нехай і таке, що . Легко бачити, що
,
Де . З умови виходить, що . Отже
,
Що в силу довільності суперечить(5). Лема доведена.
Доведення теореми 4. Ніде не дифференцируемость функції перевіряється так само, як в класичному прикладі Вейерштраса. Таким чином, досить перевірити, що . Для цього, у свою чергу, досить перевірити, що для всякого (Е - множина з леми 1) і будь-кого знайдуться такі що . Насправді, якщо останнє твердження доведене, то, застосовуючи його до функції ( ) (функція визначається рівністю(4), в яку замість функції g потрібно підставити ), отримаємо, що для будь-кого існують такі, що . Остання рівність еквівалентно тому, що
Тоді в силу довільності z. Тепер оскільки .
Доведемо існування y(для все перевіряється аналогічно). Якщо то в якості y годиться . Якщо то . По умові теореми і по лемі 1 існує таке, що
1) ;
2) ;
3) при де M - константа Ліпшиця для g.
Умова 2) еквівалентно тому, що ; з умови 1) .
Тоді по теоремі про проміжне значення для безперервної функції існує таке що . Побудуємо індуктивно послідовність що задовольняє умовам:
а) ;
б) .
Перший член послідовності вже побудований. Нехай при що задовольняють умовам а) і б), побудовані. Подивимося . По умові б) для k=m існує таке, що
.
Тепер
(перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю). Отже
По умові 3). Аналогічно, якщо то
Отже . Оскільки
,
Те по теоремі про проміжне значення для безперервної функції знайдеться таке, що . Побудова послідовності завершено. Оскільки послідовність зростає і обмежена згори числом існує . Тоді
Так що y - шукана точка.
Слідство 1. Нехай :
. Тоді .
Слідство 2. Нехай :
. Тоді .
Введемо додатково ще одно позначення: - ця безліч усіх функций- таких, що існує безперервне відображення де
, (комплексно) аналітична в для якої справедлива рівність
.
Деякі зауваження. По аналогії з множинами і можна визначити множину для довільного топологічного векторного простору. А саме складається з таких безперервних і ніде таких, що не диференціюються відображень для яких при майже усіх виконується співвідношення
.
Множина визначається так само, але без умови ніде не дифференцируемости. Використовуючи методи, аналогічні застосованим в попередньому пункті, можна довести наступні твердження.
- Нехай і - строго зростаюча функція, тоді
- якщо то існує така, що при усіх ;
- якщо і задовольняє умові при усіх то (тим самим ).
- Для всякого майже безперервні функції (як у сенсі категорії, так і в сенсі міри Вінера) не належать множині .
Використовуючи ту обставину, що безліч усіх різницевих стосунків для безперервної функції - компактно, можна показати, що якщо E - Банаховий простір, то наступні умови еквівалентні: 1) ; 2) ; 3) E скінченномірний.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
- Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.
- Ивашов Мусатов О.С. Об одном свойстве непрерывных нигде не дифференцируемых функций // Вестник МГУ. Сер. 1. 1993. №6.
- Вентцель А.Д. Курм теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
- Хида Т. Броуновское движение. М.: Наука, 1987.
- Окстоби ДЖ. Мера и категория. М.: Мир, 1974.
- Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
- Александров П.С. О мощности множеств измеримых по Борелю // Теория функций вещественного переменного и теория топологических пространств. М.: Наука, 1978.
- Salet R., Zygmund A. Lacuanary power series and Peano curves // Duke Math. J. 1945. V. 12, №4. P. 569-578.
- Белов А.С. О проблеме Салема и Зигмунда относительно гладкости аналитической, порождающей кривую Пеано // Матеем. Сб. 1990. Т. 181, №8. С. 1048-1060.
- Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1968.
- http://elementy.ru/posters/
fractals/Koch - http://ru.wikipedia.org/wiki/%
D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86% D0%B8%D1%8F_%D0%92%D0%B5%D0% B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1% 80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0
