Приложения интеграла Стилтьеса. Примеры
Содержание:
Введение.
Глава
I.Раскрытие основного понятия.
1.1.Определение интеграла Стилтьеса. 4
1.2. Общие условия существования интеграла Стилтьеса. 5
1.3. Классы случаев существования интеграла Стилтьеса. 6
Глава II.Свойства интеграла Стилтьеса и способы его вычисления. 11
2.1.Свойства интеграла Стилтьеса. 11
2.2. Интегрирование по частям. 14
2.3. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. 15
2.4. Вычисление интегралов Стилтьеса. 18
Глава III.Приложения интеграла Стилтьеса. Примеры. 23
3.1. Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса. 23
3.2.Теорема
о среднем, оценки.
24
3.4.Примеры и дополнения. 28
3.5. Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса. 31
3.6.Примеры. 32
Заключение. 37
Список
литературы. 38
Введение.
Понятие интеграла Римана, известное из
элементарного курса анализа, применимо
лишь к таким функциям, которые или непрерывны
или имеют
" не слишком много " точек разрыва.
Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений : это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.
Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.
Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.
Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена раскрытию основного понятия, определение самого интеграла.
Во второй главе рассмотрены свойства, способы его вычисления.
Третья глава посвящена применению интеграла
Стилтьеса в других разделах математики
и в других науках, а так же множество
примеров.
Глава I.Раскрытие основного понятия.
- Определение интеграла Стилтьеса.
Интеграл Стилтьеса является непосредственным обобщением обычного определенного интеграла Римана. Определяется он следующим образом.
Пусть в промежутке [a,b] заданы две ограниченные функции f(x) и g(x). Разложим точками a=x0 < x1< x2 <…< xn-1< xn=b (1)
промежуток
[a,b] на части и положим, λ=maxΔxi. Выбрав
в каждой из частей [xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)
по точке ξi,, вычислим значение f(ξi)
функции f(x) и умножим его на соответствующее
промежутку [xi,xi+1] приращение
функции g(x)
Наконец,
составим сумму всех таких произведений:
Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.
Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении λ=maxΔxi к нулю называется интегралом Стилтьеса функции f(x) по функции g(x) при а<b, и обозначается символом
Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть,
что интеграл рассматривается в смысле
Стилтьеса, употребляют обозначение
Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа ε >0 существует такое число δ>0, что лишь только промежуток [a,b] раздроблен на части так, что λ<δ и выполняется неравенство | σ - I |< ε как бы ни выбирать точки ξi в соответствующих промежутках.
При существовании интеграла (3) говорят
также, что функция f(x) в промежутке [a,b]
интегрируема по функции g(x). Единственное,
но существенное отличие данного выше
определения от обычного определения
интеграла Римана состоит в том, что f(ξi)
умножается не на приращение Δxi
независимой переменной, а на приращение
Δg(xi) второй функции. Таким образом,
интеграл Римана есть частный случай интеграла
Стилтьеса, когда в качестве функции g(x)
взята сама независимая переменная х:
g(x)=x.
1.2. Общие условия существования интеграла Стилтьеса.
Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь предположением, что функция g(x) монотонно возрастает.
Аналогично
суммам Дарбу, и здесь целесообразно
ввести суммы
Где mi и Mi означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции f(x) в i-том промежутке [x i,x i+1]. Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу—Стилтьеса. Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении) s ≤ σ ≤ S, причем s и S служат точными границами для стилтьесовых сумм σ.
Сами суммы Дарбу -Стилтьеса обладают следующими двумя свойствами:
1˚. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса может только возрастать, а верхняя сумма только убывать.
2˚. Каждая нижняя сумма Дарбу — Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.
Если
ввести нижний и верхний
интегралы Дарбу
— Стилтьеса:
то
оказывается, что
Наконец, с помощью сумм Дарбу — Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:
Теорема.
Для существования интеграла
Стилтьеса необходимо
и достаточно, чтобы
было
или
если
под ωi,
как обычно, разуметь
колебание Mi-mi
функции f(x) в i-том промежутке [x
i,x i+1].
1.3.Классы случаев существования интеграла Стилтьеса.
Определение функции с ограниченным изменением:
Пусть функция f(x) определена в некотором конечном промежутке [a,b]. Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления: x0= a < x1< x2 <…< xn-1< xn=b.
Из
абсолютных величин приращений функции,
отвечающих отдельным частичным промежуткам,
образуем сумму
Если такие суммы в их совокупности ограничены
сверху, то говорят, что функция f(x) в промежутке
[a,b] имеет ограниченное изменение (или
ограниченную вариацию). При этом точную
верхнюю границу этих сумм называют полным
изменением функции в указанном промежутке
и обозначают символом
I.
Если функция f(x) непрерывна,
а функция g(x) имеет ограниченно
изменение, то интеграл
Стилтьеса
существует.
Сначала предположим, что g(x) монотонно
возрастает: тогда применим предыдущий
критерий. По произвольно заданному ε
>0 ввиду равномерной непрерывности функции
f(x) найдется такое δ>0 , что в любом промежутке
с длиной, меньшей δ, колебание f(x) будет
меньше
Пусть теперь промежуток [a,b] произвольно разбит на части так, что λ=maxΔxi<δ. Тогда все и
откуда
и следует выполнение условия (4),
а значит интеграл существует. В общем
случае, если функция g(x) имеет ограниченное
изменение, она представима в виде разности
двух ограниченных возрастающих функций:
g(x)=g1(x)-g2(x). В соответствии
с этим преобразуется и сумма Стилтьеса,
отвечающая функции g(x):
Так как по уже доказанному каждая из сумм σ1 и σ2 при λ→0 стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы σ,что и требовалось доказать.
Можно ослабить условия, налагаемые на функцию f(x),если одновременно усилить требования к функции g(x):
II.
Если функция f(x) интегрируема
в [a,b] в смысле Римана,
а g(x) удовлетворяет
условию Липшица:
(L=const., ), то интеграл (5) существует.
Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию g(x) не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей. Ввиду (6), очевидно
Δg(xi)≤
LΔxi , так что
Но последняя сумма при λ→0 и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции f(x), а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).
В общем случае функции g(x), удовлетворяющей
условию Липшица (6), представим ее в виде
разности
Функция g1(x)=Lx, очевидно, удовлетворяет
условию Липшица и в то же время монотонно
возрастает. То же справедливо и для функции
g2(x)=Lx-g(x), так как, в силу (6), при
и
В таком случае рассуждение завершается, как и выше.
III.
Если функция f(x) интегрируема
в смысле Римана, а функция
g(x) представима в виде
интеграла с переменным
верхним пределом:
Где φ(t) абсолютно интегрируема в промежутке [a,b], то интеграл (5) существует.
Пусть φ(t) ≥ 0, так что g(x) монотонно возрастает. Если φ(t) интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена:φ(t) ≤ L, то для
имеем
Таким образом, в этом случае g(x) удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу II.
Предположим теперь, что φ(t) интегрируема
в несобственном смысле. Ограничимся случаем
одной особой точки, скажем b. Прежде всего,
по произвольно взятому ε >0 выберем
η>0 так, чтобы было
Где Ω—общее
колебание функции f(x) в рассматриваемом
промежутке. Разобьем промежуток
[a,b] по произволу на части и составим сумму
Она разлагается на две суммы Σ=Σʹ+Σʺ , из которых первая отвечает
промежуткам,
целиком содержащимся в промежутке
[a,b- η/2], а
вторая — остальным промежуткам. Последние
наверное содержатся в промежутке [b-η,b], если
только λ= max Δxi<
η/2; тогда, в силу
(8),
С другой стороны, так как в промежутке [a,b- η/2] функция φ(t) интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом λ и сумма Σʹ станет меньше ε/2. Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.
В общем случае, когда функция φ(t) абсолютно
интегрируема в промежутке[a,b], мы рассмотрим
функции,
которые
неотрицательны и интегрируемы в названном
промежутке. Так как
то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.
Замечание.
Пусть функция g(x) непрерывна
в промежутке [a,b] и имеет,
исключая лишь конечное
число точек, производную
gʹ(x) причем эта производная,
если ее значения в точках,
где она не существует,
выбрать по произволу,
интегрируема (в собственном
или несобственном смысле)
от а до b; тогда
имеет место формула
типа (7):
Если gʹ(x) абсолютно интегрируема, то к
функции g(x) полностью приложимо изложенное
в III.
Глава II.Свойства интеграла Стилтьеса и способы его вычисления.
2.1. Свойства интеграла Стилтьеса.
Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно
вытекают следующие его свойства:
Доказательство:
=
Что и
требовалось доказать.
При этом в случаях 2°, 3°, 4° из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.
Затем
имеем
в предположении, что a< c <b и существуют все три интеграла.
Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки c в число точек деления промежутка [a,b] при составлении суммы
Стилтьеса для интеграла .
По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла следует уже существование обоих интегралов .
Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовой суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано - Коши.
Теорема (Больцано–Коши). Для того чтобы функция f(x) при стремлении x к а имела конечный предел, то есть сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа ε >0 существовало такое число δ >0, чтобы неравенство│f(x)- f(xʹ)│>ε выполнялось, лишь только │x-a│< δ, │xʹ-a│< δ.
Таким образом, по заданному ε >0 ввиду
существования интеграла найдется
такое δ >0, что любые две суммы σ и
Стилтьеса, которым
отвечают λ и , разнятся меньше чем на
ε. Если при этом в состав точек деления
включить точку с, а точки деления, приходящиеся
на промежуток [c,b] , брать в обоих случаях
одними и теми же, то разность
сведется к разности
двух сумм Стилтьеса, относящихся уже
к промежутку [a,c], так как прочие слагаемые
взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку [a,c] и
вычисленным для него стилтьесовым суммам
тот же принцип сходимости, заключим о
существовании интеграла .
Аналогично устанавливается
и существование интеграла Особенно заслуживает
быть отмеченным тот не имеющий прецедентов
факт, что из существования обоих интегралов
, вообще говоря, не вытекает существование
интеграла .
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть
пример. Пусть в промежутке [-1,1] функции
f(x) и g(x) заданы следующими равенствами:
Легко
видеть, что интегралы
оба существуют
и равны 0, так как соответствующие
им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого
это следует из того, что всегда f(x)=0, для
второго-из постоянства функции g(x), благодаря
чему всегда Δg(xi)=0. В то же время интеграл
не существует. Действительно, разобьем промежуток [-1,1] на части так,
чтобы
точка 0 не попала в состав точек
деления, и составим сумму
Если точка 0 попадает в промежуток [xk,xk+1], так что xk <0 <xk+1, то
в сумме σ останется только одно k-тое слагаемое; остальные будут нули, потому что Δg(xi)=g(xi+1)-g(xi)=0 для i≠k. Итак, σ=f(ξk)[g(xk+1)-g(xk)]=f(ξk)
В зависимости от того, будет ли ξk ≤ 0 или ξ k > 0, окажется σ=0 или σ=1, так что σ предела не имеет.
Указанное своеобразное обстоятельство
связано с наличием разрывов в точке x=0
для обеих функций f(x) и g(x). (По примерам
и дополнениям, которые мы рассмотрим
далее).
2.2. Интегрирование по частям.
Для интегралов Стилтьеса имеет место формула
Доказательство:
Пусть существует интеграл . Разложив промежуток [a,b] на части
[xi,x
i+1](i=0,1,…,n-1), выберем в этих частях произвольно
по точке ξi, так что
Сумму
Стилтьеса для интеграла
Можно
представить в виде
Если прибавить и отнять справа выражение
то
σ перепишется
так:
Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла ,существование которого предположено.
Она отвечает разбиению промежутка [a,b]
точками деления
если в качестве выбранных из промежутков [ξ i-1,ξi](i=1,…,n-1) точек взять xi, а для промежутков [a,ξ0] и [ξn-1,b], соответственно, a и b. Если, как обычно, положить λ=max(xi+1-xi), то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут 2λ. При λ→0 сумма в квадратных скобках стремится к , следовательно, существует предел и для σ, то есть интеграл , и этот интеграл определяется формулой (9).
Как следствие нашего рассуждения, особо
отметим тот любопытный факт, что если
функция g(x) в промежутке [a,b] интегрируема
по функции f(x), то и функция f(x) интегрируема
по функции g(x).
2.3. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана.
Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке [a,b],а g(x) ' монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле (для упрощения). Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки υ=g(x) непосредственно приводится к интегралу Римана.
На рисунке 1 изображен график функции υ=g(x). Для тех значений x=xʹ при которых функция g (х) испытывает скачок (так как мы вовсе не предполагаем g(x) обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки (xʹ,g(xʹ-0)) и (xʹ,g(xʹ+0)). Так создается непрерывная линия, которая каждому значению υ между υ0=g(a) и V=g(b) относит одно определенное значение х между а и b. Эта функция
x=g -1(υ), очевидно, будет непрерывной
и монотонно возрастающей в широком смысле;
ее можно рассматривать как своего рода
обратную для функции υ= g (х).
Именно, если ограничиться лишь теми значениями υ, которые функция υ= g (х) действительно принимает при изменении x от a до b, то x=g -1(υ) является обратной для нее в обычном смысле, то есть относит υ именно то значение x, при котором g (х)= υ. (рис.1)
Но из промежутка значений υ [g(xʹ-0),g(xʹ+0)], связанного со скачком функции g(x), лишь одно значение υ=υʹ=g(xʹ) имеет себе соответствующим значение x=xʹ; другим значениям υ в упомянутом промежутке никакие значения х, очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение x=xʹ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции y=g(x) рядом вертикальных отрезков.
Докажем теперь, что
где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция g -1(υ), а с нею и сложная функция f(g -1(υ)), непрерывна. С этой целью разложим промежуток [a,b] на части с помощью точек деления a=x0 < x1<…< xi <x i+1 <…< xn=b и составим стилтьесову сумму
.
Если положить υ=g(xi)(i=0,1,…,n), то будем
иметь
Так как,
xi = g -1(υi), то
Это выражение
имеет вид римановой суммы для интеграла
Отсюда, однако, нельзя еще непосредственно заключить, переходя к пределу, о равенстве (10), так как даже при Δxi→0(λ→0) может оказаться, что Δυi к нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися xi и xi+1 будет заключено значение x=xʹ, где функция g(x) испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.
Имеем
и
так что
Предположим теперь Δxi настолько малыми, чтобы колебания функции f(x) во всех промежутках [xi,xi+1] были меньше произвольного наперед заданного числа ε >0. Так как при, υi ≤ υ ≤ υi+1 очевидно, xi ≤ g -1(υ) ≤ υi+1,
то одновременно
и
В таком
случае
Этим доказано,
что
откуда и следует (10).
Несмотря на принципиальную важность
полученного результата, он не дает практически
удобного средства для вычисления интеграла
Стилтьеса.
2.4. Вычисление интегралов Стилтьеса.
Докажем следующую теорему:
1 °.
Если функция f(x) интегрируема в смысле
Римана в промежутке [a,b], а g(x) представлена
интегралом
где функция
φ(t) абсолютно интегрируема в [a,b], то
Интеграл справа существует. Существование интеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано в п.3(III). Остается лишь установить равенство (11).
Предположим, для упрощения, что функция
φ(t) положительна. Составим, как обычно,
сумму Стилтьеса
Так как,
с другой стороны, можно написать
то будем
иметь
Очевидно, для xi
≤ x≤ xi+1 будет │f(ξi)-f(x)│≤
ωi, где ωi
означает колебание функции f(x) в промежутке
[xi,x i+1]. Отсюда вытекает такая
оценка написанной выше разности:
По доказанному
в п.3(III) нам известно, что при λ→0 последняя
сумма стремится к 0, следовательно,
что и доказывает формулу (11).
В частности, из доказанной теоремы вытекает такое следствие, удобное для непосредственного применения на практике:
2°. При
прежних предположениях
