Приложения интегралов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ 
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики естественных наук

 и информационных технологий

 

 

 

 

Курсовая работа на тему:

Приложения интегралов

 

 

 

Выполнил:

Студентка 391гр.

Ворон Е.С.

 

Проверил:

доцент

Губайдуллина Н.А.

 

 

 

 

 

 

 

Тюмень, 2011 

Содержание:

  1. Приложения определенного интеграла.
      1. Вычисление площади криволинейной трапеции
      2. Вычисление объёмов тела, площади сечения которых известны
      3. Вычисление длины дуги плоской кривой
      4. Вычисление площади поверхностей вращения плоской кривой вокруг неподвижной оси
  2. Приложения двойного интеграла.
    1. Физические приложения.
      1. Масса и статические моменты пластины
      2. Моменты инерции пластины
      3. Заряд пластины
      4. Среднее значение функции
    2. Геометрические приложения.
      1. Площадь плоской фигуры
      2. Объем тела
      3. Площадь поверхности
      4. Площадь и объем в полярных координатах
  3. Приложения тройного интеграла.
    1. Физические приложения.
      1. Масса и статические моменты тела
      2. Моменты инерции тела
      3. Тензор инерции
      4. Гравитационный потенциал и сила тяготения
    2. Геометрические приложения.
      1. Вычисление объемов
  4. Приложения криволинейного интеграла.
    1. Физические приложения.
      1. Масса кривой
      2. Центр масс и моменты инерции кривой
      3. Работа при перемещении тела в силовом поле
      4. Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера)
      5. Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея)
    2. Геометрические приложения.
      1. Длина кривой
      2. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой
      3. Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси
  5. Приложения поверхностного интеграла.
    1. Физические приложения.
      1. Масса оболочки
      2. Центр масс и моменты инерции оболочки
      3. Сила притяжения и сила давления
      4. Поток жидкости и вещества через поверхность
      5. Электрический заряд, распределенный по поверхности
      6. Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике)
    2. Геометрические приложения
      1. Площадь поверхности
      2. Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью

 

 

 

 

  1. Приложения определенного интеграла.

 

      1. Вычисление площади криволинейной трапеции


 

Пример. 

Вычислить площадь ограниченную эллипсом   

Ввиду очевидной симметрии эллипса  относительно осей координат, достаточно вычислить четвёртую часть площади, расположенную в правом верхнем  квадранте.

Из уравнения эллипса находим y как функцию от x: 

Тогда площадь эллипса вычисляем  по формуле:

 

Сделав замену x=asint,   получим интеграл: 

 

      1. Вычисление объёмов тела, площади сечения которых известны

 

Пусть для некоторого тела в пространстве известно значение S(x) – площади сечения этого тела плоскостью, проходящей через точку x’ и параллельной плоскости OYZ.


Тогда объём этого тела может  быть вычислен по формуле 

 

Пример. Вычислить объём эллипсоида 

В сечении эллипсоида плоскостью, проходящей через точку x,   параллельной плоскостью OYZ будет эллипс:   или 

Как было доказано в предыдущем примере, площадь S(x) этого эллипса равна 

Следовательно, объём эллипсоида можно  вычислить по формуле:

 

      1. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть кривая Г задана на плоскости OXY уравнением y=y(x),   и 

Тогда длинна этой кривой может быть вычислена по формуле:

Пример. 

Вычислить длину окружности x2 + y2 = R2.

В силу симметрии окружности относительно осей координат, достаточно длину четверти окружности, лежащей в первом квадранте. Выражая из уравнения окружности y как функцию от x:   и подставляя значение   в формулу для вычисления длинны дуги кривой, получим равенство:

 

      1. Вычисление площади поверхностей вращения плоской кривой вокруг неподвижной оси

Пусть кривая Г, заданная как и выше уравнением y=y(x),  ,   вращается вокруг оси OX. Тогда площадь поверхности вращения этой кривой может быть вычислена по формуле:

Пример. 

Вычислить площадь поверхности  сферы x2 + y2 + z2 = R2.

Площадь поверхности сферы можно  представить как площадь поверхности  вращения кривой      вокруг оси OX.

Пользуясь формулой для площади  поверхности вращения кривой вокруг оси OX, получим значение площади поверхности сферы:

 

  1. Приложения двойного интеграла.

 

    1. Физические приложения.
      1. Масса и статические моменты пластины

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала  и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна  . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону  , описываются формулами

Для однородной пластины с плотностью   для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.

 

Пример. Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами   и  .

 

Заданная пластина имеет форму, показанную на рисунке. Поскольку пластина однородна, то можно положить  . Тогда масса пластины равна

      


Найдем теперь статические моменты  относительно осей Ox и Oy.      

Вычисляем координаты центра масс.      

      1. Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :


Полярный момент инерции пластины равен

Пример. Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми    и имеющего плотность  .

Найдем момент инерции пластины относительно оси Ox.      

Аналогично вычислим момент инерции  относительно оси Oy.      

      1. Заряд пластины

Предположим, что электрический  заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией  . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

Пример. Электрический заряд по площади диска   таким образом, что его поверхностная плотность равна  . Вычислить полный заряд диска.

 
В полярных координатах область, занятая  диском, описывается множеством  . Полный заряд будет равен      

      1. Среднее значение функции

Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y)является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости Oxy. Среднее значение функции μфункции f (x,y) в области R определяется формулой

 

где   − площадь области интегрирования R.

    1. Геометрические приложения.

 

      1. Площадь плоской фигуры

Если f (x,y) = 1 в интеграле  , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.  
 
Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) выражается через повторный интеграл в виде


                       

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) описывается формулой

                    


Пример.

Найти площадь области R, ограниченной гиперболами   и вертикальными прямыми  .

 

Область R схематически показана на рисунке.  Используя формулу для площади области I типа

      


получаем      

Пример.

Вычислить площадь области R, ограниченной линиями  .

 

Сначала определим точки пересечения  двух заданных линий.

      


Следовательно, координаты точек пересечения  равны      

Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ:      

Получаем      

      1. Объем тела

Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями   , объем тела равен

Для области R типа II, ограниченной графиками функций  , объем соответственно равен

Если в области R выполняется неравенство  , то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен


Пример.

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями 

     
     

Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x до z = 4 − x. Тогда объем равен      

      1. Площадь поверхности

Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой

 

при условии, что частные производные   и   непрерывны всюду в области R.

Пример.

Вычислить площадь cферы радиуса a.

 

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид      

Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле      

Найдем частные производные.      

Подставляя найденные производные, получаем      

Преобразуем двойной интеграл в  полярные координаты.      

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна      

      1. Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями   (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

                  


Объем тела, ограниченного сверху поверхностью   с основанием S, выражается в полярных координатах в виде


Пример.

Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением  .

 

Рассмотрим лепесток в секторе   Область интегрирования имеет вид  . Следовательно, площадь данной фигуры в полярных координатах равна

Пример.

Используя полярные координаты, найти  объем конуса высотой H и радиусом основания R.

Сначала получим уравнение поверхности  конуса. Используя подобные треугольники, можно записать


Следовательно,

Тогда объем конуса равен

 

  1. Приложения тройного интеграла.

 

    1. Физические приложения.
      1. Масса и статические моменты тела

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Если тело является однородным с  плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.

Пример.

Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Введем систему координат таким  образом, чтобы полушар был расположен при z ≥ 0 и имел центр в начале координат.

 

В данной системе координат будем  искать координаты центроида (центра тяжести) тела.  
 
Очевидно, что в силу симметрии

      


Вычислим координату центра тяжести   по формуле      

Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ0. Тогда      

В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный      

Остается вычислить тройной  интеграл  . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем:      

Таким образом, координата центра тяжести   равна      

Пример.

Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с  плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z  
Сначала вычислим массу куба:

      


Теперь вычислим статические моменты Mxy, Mxz, Myz.       

Аналогично находим моменты Mxz и Myz:      

      

Вычисляем координаты центра тяжести  куба:      

      1. Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями

а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам

Как видно, справедливы соотношения

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл

Момент инерции относительно начала координат можно выразить через  моменты инерции относительно координатных плоскостей:

Пример.

Найти момент инерции прямого круглого однородного конуса относительно его  оси. Конус имеет радиус основания R, высоту H и общую массу m .

 

Момент инерции тела относительно оси Oz выражается формулой       

Поскольку конус является однородным, то плотность γ(x,y,z) = γ0 можно вынести за знак интеграла:

      


Перейдем к цилиндрическим координатам  с помощью замены      

Новые переменные изменяются в пределах       

Тогда момент инерции равен      

Выразим плотность γ0 через известную массу конуса m. Так как      

то, следовательно      

Окончательно получаем      

Заметим, что момент инерции конуса не зависит от его высоты. 

      1. Тензор инерции

Используя рассмотренные выше 6 чисел Ix, Iy, Iz, Ixy, Ixz, Iyz, можно составить, так называемую, матрицу инерции или тензор инерции тела:


 

Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.  
Если тело вращается вокруг оси, не совпадающей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции.

      1. Гравитационный потенциал и сила тяготения

Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл

где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и  .  
 
Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле


 

где G − гравитационная постоянная.

    1. Геометрические приложения.
      1. Вычисление объемов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем  тела равен

В сферических координатах, соответственно, используется формула


Пример.

Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R.

 

 

Конус ограничен поверхностью   и плоскостью z = H. В декартовых координатах его объем выражается формулой      

Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в  пределах      

Получаем:      

Находим объем конуса:      

Пример.

Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Вычислим объем части шара, расположенной  в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем

      


В результате получена известная формула  для объема шара радиусом R.

Пример.

Найти объем тетраэдра, ограниченного  плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0 .

Уравнение плоскости x + y + z = 5 можно переписать в виде  

Если положить z = 0, то получим  

Следовательно, область интегрирования D в плоскости Oxy ограничена прямой y = 5 − x. 

 
 
Объем тетраэдра будет равен

      


Пример.

Найти объем области, ограниченной двумя параболоидами: 

Исследуем пересечение двух параболоидов. Поскольку ρ2 = x2 + y2, то уравнения параболоидов записываются в виде  


Полагая z1 = z2 для линии пересечения, получаем

                       


Этому значению ρ соответствует координата z, равная      

Объем данной области выражается с  помощью тройного интеграла в  виде      

В цилиндрических координатах интеграл равен

       


 

  1. Приложения криволинейного интеграла.
    1. Физические приложения.
      1. Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки  описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции  , то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как


или в параметрической форме

Пример.

Определить массу проволоки, имеющей  форму дуги окружности   от точки A(1,0) до B(0,1) с плотностью   

.

Окружность радиусом 1 с центром  в начале координат описывается  параметрическими уравнениями      

 где параметр t изменяется в диапазоне  . Тогда масса данного куска проволоки вычисляется следующим образом:      

Пример.

Определить массу проволоки, имеющей  форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью  .

Составим сначала параметрическое  уравнение прямой AB.      

где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна      

      1. Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки  описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

где

− так называемые, моменты первого порядка.  
 
Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами


Пример.

Найти центр масс проволоки, имеющей  форму кардиоиды   , где с плотностью ρ = 1.

 

Очевидно, в силу симметрии,  . Чтобы найти координату центра масс  , достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.  
 
Предварительно найдем полную массу кардиоиды. В полярных координатах получаем      

Вычислим момент первого порядка My. Используя формулу       

находим      

Полагая   (нижний и верхний пределы интегрирования становятся равными, соответственно, 0 и  ), можно записать      

Тогда      

Следовательно, координаты центра масс кардиоиды равны  .

Пример.

Вычислить момент инерции Ix проволоки в форме окружности x2 + y2 = a2 с плотностью ρ = 1.

Уравнения окружности в параметрической  форме имеют вид      

Момент инерции Ix относительно оси Ox вычисляется по формуле       

Проводя вычисления, получаем      

      1. Работа при перемещении тела в силовом поле

Работа при перемещении тела в силовом поле   вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

где   − сила, действующая на тело,   − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение  означает скалярное произведение векторов   и  .  
 
Заметим, что силовое поле   не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы   иногда может оказаться отрицательной.  
 
Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле

В частном случае, когда тело двигается  вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула

где           .  
Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где t изменяется в интервале от α до β.  
Если векторное поле   потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой

      где 
 − потенциал поля.

  

Рис.1

  

Рис.2

     

Пример.

Найти работу, совершаемую полем   при перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки A(1,1) по траектории C, где  
 
1) С − отрезок прямой y = x; 
2) С − кривая  .

1) Вычислим работу при перемещении  вдоль прямой y = x.      

2) Определим теперь работу при  перещении вдоль кривой  .

      


 

      1. Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера)

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией   вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой

где   - магнитная проницаемость ваккуума, равная   Н/м.

Пример.

Вычислить индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии r от оси бесконечно длинного проводника с током I.

Чтобы найти магнитное поле на расстонии r от проводника, рассмотрим круговой контур радиуса r, расположенный перпендикулярно проводнику с током. Поскольку поле   направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение векторов   и   есть просто  . Тогда можно записать      

         


В результате получаем      

      1. Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея)


Электродвижущая сила ε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потокаψ, проходящего через данный контур.

Пример.

Оценить значение электродвижущей  силы ε и электрического поля E, возникающих в кольце радиусом 1 см у пассажира самолета, при полете самолета в магнитном поле Земли со скоростью 900 км/ч.

Согласно закону Фарадея      

Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает  изменение магнитного потока ψ, проходящего через кольцо.  
Предположим, что магнитное поле   перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время   изменение потока равно      

где  , v − скорость самолета, B − индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем       

Подставляя заданные величины      

находим значение э.д.с.:      

 Напряженность возникающего  электрического поля найдем по  формуле  . В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл.      

Следовательно, напряженность электрического поля равна      

    1. Геометрические приложения.
      1. Длина кривой
Приложения интегралов