Приложения проективной геометрии

Содержание

Введение

Цель моей работы: изучить основные законы проективной  геометрии и научиться применять  их в решении задач.

В связи с  поставленной целью нужно решить следующие задачи:

1. Изучить основные понятия и теоремы проективной геометрии;
2. Подобрать задачи, имеющие проективный характер.

Проекция (лат. projectio – выбрасывание вперёд) – изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости.

Проекционный  метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Соединив эти точки прямыми линиями в том же порядке, как они соединены в предмете, получим на плоскости перспективное изображение предмета, или центральную проекцию.

Центральное проектирование искажает форму фигур, но некоторые их свойства всё-таки не меняются. Именно эти свойства и изучает проективная геометрия.

Актуальность  темы работы обусловлена широким применением проективной геометрии. Без проекций никак не обойтись в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Архитекторы, делающие чертёж здания на ватмане, тем самым проектируют пространственную конфигурацию здания на плоскость. При этом они должны знать и учитывать все законы проектирования, то есть применять проективную геометрию. Другой пример: художник, создавая картину, проектирует на плоскости трёхмерное изображение, пользуясь при этом законами проективной геометрии.

В первой главе  работы описаны основные понятия  и свойства проективной геометрии, во второй приведены теоремы Дезарга и Паскаля, третья глава – это практическая часть работы.

Основной теоретический  материал для работы взят из литературных источников [1] – [3], который представлен на странице 24.   

Глава 1.

Основные понятия

1.  Немного истории. Проективные свойства

Хотя некоторые результаты, которые теперь причислены к проективной геометрии, восходят к работе такого древнегреческого геометра, как Папп Александрийский, проективная геометрия как таковая родилась в XVII веке из прямой перспективы в живописи и архитектурном черчении. Теорией перспективы занимались крупнейшие художники Возрождения Леонардо да Винчи (1452–1519) и Альбрехт Дюрер (1471–1521); ими были написаны книги о перспективе. Идея бесконечно далёких точек, в которых пересекаются параллельные прямые, появилась независимо у французского архитектора Жерара Дезарга и у немецкого астронома Иоганна Кеплера. Дезарг даже предложил, что может существовать прямая, состоящая исключительно из бесконечно удалённых точек.

Вначале проективная  геометрия имела довольно ограниченный диапазон приложений. Но по мере роста она всё более и более проникала в различные геометрические области, а в конце XIX столетия исследования по проективной геометрии и по основаниям элементарной геометрии теснейшим образом объединились. Замечательным результатом этого объединения было построение в рамках проективной геометрии глубокой теории, которая включила в единую схему геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Проективная геометрия  была развита и оформилась как  особая область геометрии в работе французского инженера и геометра Жана Виктора Понселе (1788–1867) «Трактат о проективных свойствах фигур», вышедшей в 1822 г. Понселе был офицером наполеоновской армии, попал в плен и написал свой трактат в 1813–1814 гг., находясь в плену в Саратове. В этой работе он выделил как объект исследования некоторые особые свойства геометрических фигур, названные проективными.

Достойно внимания, что эта область геометрии  не только возникла из потребностей практики, но и была обязана своим развитием  художникам, архитекторам и инженерам. Только позже ей было дано самостоятельное аксиоматическое обоснование.

Многие свойства фигур не переносятся на её проекцию. Так, свойства правильного треугольника могут не сохраниться при проектировании, в результате которого, вообще говоря, не будет получаться снова правильный треугольник. Основное свойство окружности, выражаемое обычно определением, также может быть нарушено при проектировании. Проектируя окружность, можно получить эллипс или параболу и даже гиперболу; проектируя правильный треугольник, можно получить треугольник произвольной формы, и т. д.

Точно так же многие величины, связанные с фигурой, будут при проектировании, вообще говоря, меняться. Так, проектируя отрезок  данной длины a, можно получить отрезок, длина которого как угодно велика или как угодно мала; проектируя треугольник данной площади S, можно получить треугольник, площадь которого будет больше или меньше величины S.

С другой стороны, фигуры обладают свойствами, которые  сохраняются при любом проектировании, и с фигурами могут быть сопоставлены величины, также сохраняющиеся при любом проектировании. Такие свойства и величины называют инвариантами проектирования.

Именно эти  свойства фигур, инвариантные по отношению  к любому проектированию, Понселе  назвал проективными свойствами, рассматривая их как объекты исследования в проективной геометрии. Кроме того, объектами проективной геометрии являются инвариантные относительно проектирований величины.

Учение о  проективных свойствах и составляет предмет проективной геометрии.

2.  Двойное отношение

Если длина  отрезка прямой представляет собой  своего рода ключ к метрической геометрии, то существует и в проективной  геометрии одно основное понятие, с  помощью которого могут быть выражены все отличительные проективные  свойства фигур.

Предположим, что три точки  A, B и C расположены на одной прямой. Проектирование, вообще говоря, изменяет не только расстояние AB и BC, но и их отношение . В самом деле, любые три точки A, B и C на прямой l могут быть переведены в любые три точки Aʹ, Bʹ, Cʹ на прямой lʹ посредством двух последовательно производимых проектирований. Чтобы в этом убедиться, станем вращать прямую lʹ около точки Cʹ, пока она не примет положения lʹʹ, параллельного l (рисунок 1). Затем, проектируя  l на l ʹʹ параллельно прямой CCʹ, получим три точки Aʹʹ, Bʹʹ и Cʹʹ (≡Cʹ). Прямые AʹAʹʹ и BʹBʹʹ пересекутся в точке O, которую мы изберём в качестве центра второй проекции. Последовательно выполненные две проекции дают требуемый результат.

Из доказанного  вытекает, что никакая величина, определяемая только тремя точками на прямой, не может быть инвариантной при проектировании. Но – в этом заключается решающее открытие в проективной геометрии – если на прямой дано четыре точки A, B, C, D, которые при проектировании переходят в точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ другой прямой, то некоторая величина, называемая двойным отношение этих четырёх точек, при проектировании не изменяет числового значения. В этом заключено математическое свойство системы четырёх точек на прямой, которое носит инвариантный характер и которое можно обнаружить во всякой проекции рассматриваемой прямой. Двойное отношение не есть ни расстояние, ни отношение расстояний, а отношение двух таких отношений: если мы составим отношения  и , то их отношение по определению есть двойное отношение четырёх точек A, B, C, D, взятых в указанном выше порядке.

Убедимся теперь, что двойное отношение четырёх  точек инвариантно при проектировании, т . е. что если A, B, C, D и Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ – две четвёрки точек на двух прямых и между ними установлено проективное соответствие, то тогда справедливо равенство . Доказательство вполне элементарное. Вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту и, с другой стороны, равна половине произведения двух сторон на синус заключённого между ними угла. Тогда получим (рисунок 2):

площадь

площадь

площадь

площадь

Отсюда следует:

Таким образом, двойное отношение  точек A, B, C, D зависит только от углов, образованных в точке O отрезками OA, OB, OC, OD. Так как эти углы – одни и те же, каковы бы ни были четыре точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ, в которые при проектировании переходят A, B, C, D, то ясно, что двойное отношение не изменяется при проектировании.

Что двойное  отношение не изменяется при параллельном проектировании, следует из элементарных свойств подобных треугольников (рисунок 3).

До сих пор, говоря о  двойном отношении четырёх точек  A, B, C, D, расположенных на прямой l, мы предполагали, что это отношение составлено из положительных отрезков. Целесообразно видоизменить это определение следующим образом. Примем одно из двух направлений прямой l за положительное и условимся, что все отрезки, отсчитываемые в этом направлении, будут считаться положительными, а отрезки, отсчитываемые в противоположном направлении, – отрицательными. Теперь определим двойное отношение точек A, B, C, D (взятых в указанном порядке) согласно формуле причём знаки чисел CA, CB, DA, DB берутся в соответствии с указанным выше условием. Так как при изменении направления на прямой l, принятого за положительное, меняются только знаки всех четырёх отрезков, то значение (ABCD) не зависит от выбора направления. Легко понять, что (ABCD) имеет отрицательный или положительный знак, смотря по тому, разделена ли пара точек A, B парой точек C, D или не разделена. Так как свойство «разделяться» инвариантно относительно проектирования, то понимаемое в новом смысле (как величина, способная иметь тот или иной знак) двойное отношение (ABCD) также инвариантно. Выберем начальную точку O на прямой l и сопоставим каждой точке на прямой l в качестве координаты x её расстояние от O, взятое с надлежащим знаком; тогда, обозначая координаты A, B, C, D соответственно через x₁, x₂, x₃, x₄, получим формулу

Если (ABCD) = – 1, так что , то точки C и D делят отрезок AB внутренне и внешне в одном и том же отношении. В этом случае принято говорить, что C и D делят отрезок AB гармонически, и каждая из точек C и D считается гармонически сопряжённой с другой точкой относительно пары точек A, B. Если (ABCD) = 1, то точки C и D (или A и B) совпадают.

Необходимо  не упустить из виду, что при определении  двойного отношения (ABCD) существенную роль играет порядок, в котором берутся точки A, B, C, D. Например, если (ABCD) = λ, то двойное отношение (BACD) =  , а (DACB) = 1 – λ. Четыре точки A, B, C, D могут быть переставлены между собой 4 · 3 · 2 · 1 = 24 различными способами, и каждой перестановке соответствует некоторое значение двойного отношения. Некоторым перестановкам соответствует то же числовое значение двойного отношения, что и начальной перестановке A, B, C, D; например, (ABCD) = (BADC). При 24 возможных перестановках четырёх точек получается всего лишь шесть различных значений двойного отношения, а именно

λ, 1 – λ, 

Эти шесть величин, вообще говоря, различны, но при некоторых  значениях λ могут и совпадать  по две, например, при значении λ = – 1 в случае гармонического деления.

Мы можем  также определить двойные отношения  четырёх компланарных (т. е. лежащих  в одной плоскости) и конкурентных прямых 1, 2, 3, 4, как двойное отношение  четырёх точек пересечения этих прямых с некоторой прямой, лежащей в той же плоскости. Положение этой пятой прямой несущественно вследствие инвариантности двойного отношения при проектировании. Эквивалентным этому определению является следующее:

где нужно взять  знак плюс, если пара 1,2 не разделяется  парой 3,4, и знак минус, если разделяется. (В этой формуле (1,3), например, обозначает угол между прямыми 1 и 3.) Наконец, можно определить двойное отношение четырёх коаксиальных плоскостей (четырёх плоскостей, пересекающихся по одной прямой, или «оси»). Если некоторая прямая пересекает плоскости в четырёх точках, то двойное отношение этих точек всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от выбора прямой. Таким образом, полученное значение можно назвать двойным отношением рассматриваемых четырёх плоскостей. Иначе, можно назвать двойным отношением четырёх коаксиальных плоскостей двойное отношение четырёх прямых, по которым они пересекаются произвольной пятой плоскостью (рисунок 6).

Понятие двойного отношения  четырёх плоскостей побуждает поставить  вопрос о том, нельзя ли дать определение проективного преобразования трёхмерного пространства самого на себя. Определение с помощью центральной проекции, очевидно, не обобщается непосредственно от случая двух измерений на случай трёх измерений. Но можно доказать, что каждое непрерывное преобразование плоскости самой на себя, взаимно однозначно переводящее точки в точки и прямые в прямые, есть проективное. Это обстоятельство наводит на мысль ввести следующее определение для случая трёх измерений: проективным преобразованием пространства называется непрерывное взаимно однозначное преобразование, переводящее прямые в прямые линии. Можно сказать, что такие преобразования оставляют значения двойных отношений неизменными.

Добавим к предыдущему  ещё кое-какие замечания. Пусть  на прямой даны три различные точки A, B, C с координатами x₁, x₂, x₃. Требуется найти четвёртую точку D таким образом, чтобы удовлетворялось равенство (ABCD) = λ, где λ задано. (Частный случай, когда λ = – 1 и задача заключается в построении четвёртой гармонической точки, будет подробно рассмотрен ниже.) Вообще говоря, задача имеет одно и только одно решение. Действительно, если x – координата искомой точки D, то уравнение

имеет ровно  одно решение. Считая x₁, x₂ и x₃ заданными и полагая ради кратности мы придадим решению вид

Например, если точки A, B, C, D находятся на равных расстояниях друг от друга и имеют соответственно координаты x₁ = 0, x₂ = d, x₃ = 2d, то тогда и

Если прямая l спроектирована из двух различных центров Oʹ и Oʹʹ на две различные прямые lʹ и lʹʹ, то получается соответствие P↔Pʹ между точками прямых l и lʹ и соответствие P↔Pʹʹ между точками прямых l и lʹʹ. Этим устанавливается соответствие Pʹ↔Pʹʹ между точками прямых lʹ и lʹʹ, и притом такое, что каждые четыре точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ на прямой lʹ имеют то же самое двойное отношение, что и соответствующие точки Aʹʹ, Bʹʹ, Cʹʹ, Dʹʹ на lʹʹ. Всякое взаимно однозначное соответствие между точками двух прямых, обладающее этим свойством, называется проективным соответствием, независимо от того, каким способом это соответствие установлено.

В качестве интересного применения инвариантности двойного отношения  мы докажем одну простую, но важную теорему проективной геометрии. Речь идёт о полном четырёхстороннике  – фигуре, образованной произвольными четырьмя прямыми, из которых никакие три не являются конкурентными, и шестью точками их пересечения. На рисунке 8 названные четыре прямые суть AE, BE, BI, AF. Прямые AB, EG и IF являются диагоналями четырёхсторонника. Рассмотрим одну из диагоналей, например AB, и отметим на ней точки C и D, где она пересекается с двумя другими диагоналями. Тогда теорема утверждает существование равенства (ABCD) = – 1; словами это выражается так: точки пересечения одной диагонали с двумя другими делят отрезок между вершинами четырёхсторонника гармонически. Для доказательства достаточно обратить внимание на то, что x = (ABCD) = (IFHD) (проектируем из E), (IFHD) = (BACD) (проектируем из G).

Как нам известно, таким образом, Но так как C, D разделяют A, B, то двойное отношение x отрицательно и потому оно должно быть равно именно –1, что мы и хотели доказать.

Полученное замечательное  свойство полного четырёхсторонника  даёт нам возможность с помощью  одной лишь линейки построить точку, гармонически сопряжённую с точкой C относительно пары A, B (если A, B, C коллинеарны). Нужно только, выбрав произвольную точку E вне данной прямой, провести прямые EA, AB, EC; затем, взяв произвольную точку G на EC, провести прямые AG и BG, пересекающие EB и EA, скажем, в точках F и I; провести, наконец, прямую IF, которая пересечёт исходную прямую в искомой точке D.    

3. Параллельность и бесконечность

Внимательное  рассмотрение изложенного в предыдущем параграфе обнаруживает, что во многих случаях приведённая аргументация теряет силу – именно, тогда, когда прямые, точка пересечения которых нужна для построения, оказываются параллельными. Например, построение четвёртой гармонической точки D становится невыполнимым, если прямая IF параллельна AB. Геометрические рассуждения на каждом шагу затруднены тем обстоятельством, что параллельные прямые не имеют общей точки, и потому всякий раз, когда речь идёт о пересечении прямых, приходится отдельно рассматривать и особо оговаривать случай параллелизма. С другой стороны, если производится проектирование, мы вынуждены различать и трактовать независимо рядом с центральной также и параллельную проекцию. Если бы из такого положения не было выхода, то проективная геометрия, будучи вынуждена вникать в детальное исследование каждого встречающегося исключения и особого случая, неизбежно была бы чрезвычайно усложнена. Всё это побуждает искать выход в ином направлении, именно, на пути такого обобщения основных понятий, которое устраняло бы возможные исключения.

Тут нам поможет геометрическая интерпретация; мы видим, что если прямая, пересекающая другую прямую, медленно вращается, приближаясь к положению параллельности, то точка пересечения двух прямых неограниченно удаляется. Это даёт повод к наивному утверждению: две прямые пересекаются «в бесконечно удалённой точке». Подобного рода формулировке существенно придать точный смысл с таким расчётом, чтобы с «бесконечно удалёнными», или, как иногда говорят, с «идеальными» точками можно было проводить точные и надёжные рассуждения, как с обыкновенными точками на плоскости или в пространстве. Иными словами, мы желали бы, чтобы все правила поведения точек, прямых, плоскостей оставались в силе и для «идеальных» геометрических элементов.

В математическом смысле существование «бесконечно удалённых точек» обеспечено, если отчётливо и без взаимных противоречий установлены математические свойства этих вновь вводимых элементов, т. е. их взаимоотношения с «обыкновенными» точками и между собой. Обыкновенно система геометрических аксиом (например, в евклидовой геометрии) вытекает путём абстракции из наблюдений над физическими объектами: таковы следы прикосновения карандаша к бумаге или мела к доске, натянутые нити, световые лучи, твёрдые стержни и т. п. Свойства, приписываемые аксиомами математическим точкам и прямым, представляют собой в высшей степени упрощённые и идеализированные описания поведения соответствующих им физических «двойников». Через любые два карандашных пятнышка можно провести не одну, а много карандашных «прямых». Если пятнышки становятся всё меньше по диаметру, то все такие «прямые» станут трудно отличимыми одна от другой. Вот что имеется в виду, когда в качестве геометрической аксиомы говорится, что «через любые две точки можно провести одну и только одну прямую»: мы при этом говорим об «абстрактных», чисто умозрительных, геометрических точках и прямых. Геометрические точки и прямые обладают гораздо более простыми свойствами, чем какие бы то ни было физические объекты. Упрощение является существенным условием, позволяющим строить геометрию как дедуктивную дисциплину.

Как уже было отмечено, обыкновенная геометрия точек и прямых весьма осложнена тем обстоятельством, что две параллельные прямые не имеют  точки пересечения. Это побуждает  нас сделать дальнейшее упрощение  в структуре геометрии, расширяя понятие геометрической точки таким образом, чтобы устранить указанное исключение.

Итак, мы уславливаемся в  том, что к обыкновенным точкам всякой прямой добавляем ещё одну, «идеальную», точку и будем считать эту  точку принадлежащей одновременно всем прямым, параллельным данной, и никаким другим. Следствием такого условия является то, что всякая пара прямых на плоскости теперь уже пересекается в единственной точке: если прямые не параллельны, то в «обыкновенной» точке; если параллельны, то им обеим принадлежащей «идеальной» точке. По причинам интуитивного порядка эта идеальная точка на прямой называется бесконечно удалённой точкой на этой прямой.

Интуитивное представление  о точке, удаляющейся в бесконечность  по прямой линии, могло бы навести на мысль, что следует добавить две идеальные точки на каждой прямой – по одной для каждого направления. Если мы добавляем только одну, то лишь потому, что мы заинтересованы в сохранении закона: через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Если бы прямая содержала две бесконечно удалённые точки вместе со всеми, ей параллельными, то вышло бы, что через две такие «точки» проходит бесконечное множество прямых.

Мы уславливаемся  также в том, что к обыкновенным прямым на плоскости добавляем ещё  одну «идеальную», так называемую «бесконечно  удалённую» прямую, содержащую все  бесконечно удалённые точки плоскости  и никаких других. Мы вынуждены  принять именно такое условие, если хотим сохранить первоначальный закон – «через всякие две точки проходит одна прямая» и вновь утверждённый закон – «всякие две прямые пересекаются в одной точке». В самом деле, возьмём две какие-нибудь идеальные точки. Единственная прямая, которая должна проходить через эти точки, не может быть обыкновенной прямой, так как по принятому условию каждая обыкновенная прямая содержит только одну идеальную точку. С другой стороны, эта прямая не может содержать обыкновенных точек, так как через обыкновенную точку и одну из идеальных точек непременно прошла бы обыкновенная прямая. Наконец, рассматриваемая прямая непременно содержит все идеальные точки, так как мы хотим, чтобы она имела одну общую точку со всякой обыкновенной прямой. Итак, прямая, о которой идёт речь, неизбежно должна обладать как раз всеми теми свойствами, которыми мы наделили идеальную прямую в нашей плоскости.

Согласно принятым условиям, каждая бесконечно удалённая точка  определяется или представляется семейством параллельных прямых, точно так же как иррациональное число определяется последовательностью «вложенных» рациональных отрезков. Такого рода условный способ описывать параллельность с помощью терминов, первоначально предназначенных для интуитивно отличных объектов, единственной своей целью имеет сделать излишним перечисление исключительных случаев. Эти последние теперь автоматически покрываются теми же терминами (и оборотами речи), которые первоначально употреблялись для «обыкновенных» случаев.

Из всего  выше сказанного приходим к выводу, что проекция всякой прямой представляет собой прямую, поскольку к прямым присоединяется бесконечно удалённая прямая, образованная всеми бесконечно удалёнными точками плоскости.

Ещё одно замечание  следует сделать по поводу двойных  отношений с бесконечно удалёнными элементами. Будем обозначать символом ∞ бесконечно удалённую точку на прямой l. Посмотрим, как определяется символ (ABC∞), если A, B, C – три обыкновенные точки на l. Пусть P – некоторая точка на l; тогда (ABC∞) рассматривается как предел (ABCP), когда P удаляется в бесконечность по l. Но

и, когда P неограниченно удаляется, стремится к 1. Отсюда вытекает определение:

В частности, если (ABC∞) = 1, то C есть середина отрезка AB: средняя точка отрезка и бесконечно удалённая точка, взятая в направлении отрезка, делят отрезок гармонически.

Глава 2.

Основные теоремы

2.1. Теорема Дезарга

Дополнение  обычной плоскости бесконечно удалённой  прямой позволяет в целом ряде случаев не отличать параллельные прямые от пересекающихся и этим придаёт единообразие формулировкам и доказательствам теорем.

С другой стороны, поскольку проективная плоскость  получается из обычной прибавлением прямой, то, приняв какую-либо прямую на проективной плоскости за бесконечно удалённую, получаем обычную аффинную плоскость. Тогда теорема проективной геометрии сводится к теореме аффинной геометрии, и её можно доказывать, пользуясь аффинной и даже евклидовой геометрией.

Пример, демонстрирующий  пользу обоих сделанных замечаний, представляет теорема Дезарга. Формулируем её для проективной плоскости (рисунок 10).

Теорема 1. Пусть  у двух треугольников вершины  и соответственно стороны приведены  в соответствие. Тогда если при  этом оказывается, что прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат на одной прямой.

И обратно: если точки пересечения прямых, проходящих вдоль соответственных сторон, лежат  на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке.

Обозначим соответствующие  вершины треугольников A, B, C и Aʹ, Bʹ, Cʹ. Точки пересечения прямых AB и AʹBʹ, BC и BʹCʹ, CA и CʹAʹ обозначим D, E, F. Тогда теорема выглядит так: если прямые AAʹ, BBʹ, CCʹ пересекаются в одной точке, то точки D, E, F лежат на одной прямой, и обратно: если D, E, F лежат на одной прямой, то AAʹ, BBʹ, CCʹ пересекаются в одной точке.

Заметим, что  в проективной геометрии прямая – замкнутая линия, поэтому отрезок  не определяется своими концами: есть два отрезка с одними и теми же концами. Соответственно треугольник ABC не является определённым в обычном смысле. Поэтому, может быть, лучше говорить о двух тройках точек A, B, C и Aʹ, Bʹ, Cʹ, не лежащих каждая на одной прямой.

Переведём теперь теорему Дезарга на язык евклидовой геометрии. Тогда для прямых, проходящих через соответственные вершины, надо различать два случая: 1) либо они пересекаются, 2) либо они параллельны. Для прямых проходящих вдоль соответственных сторон, придётся различать три случая: 1) они пересекаются в точках одной прямой, 2) они параллельны (три пары параллельных прямых), 3) прямые одной пары параллельны, прямые двух других пар пересекаются в точках, лежащих на прямой, параллельной прямым первой пары.

Итого, в теореме  при её формулировке для обычной плоскости будет 2 × 3 = 6 случаев.

С другой стороны, можно превратить данную теорему  в теорему на обычной плоскости, приняв прямую, на которой лежат  точки пересечения прямых, идущих вдоль сторон, за бесконечно удалённую. Тогда теорема примет такой вид.

Теорема 2. Пусть  вершины и соответственно стороны  двух треугольников приведены в  соответствие. Пусть при этом оказывается, что 1) прямые, соединяющие соответственные  вершины, пересекаются в одной точке  или параллельны, 2) соответственные  стороны в двух парах параллельны, тогда и стороны третьей пары параллельны.

Обратно: если соответственные  стороны параллельны (в каждой из трёх пар), то прямые, проходящие через  соответственные вершины, пересекаются либо параллельны.

В этом виде обе части  теоремы, прямая и обратная, вполне доступны доказательству на уровне школьного курса.

Сначала докажем  вторую часть. Пусть ABǀǀAʹBʹ, BCǀǀBʹCʹ, CAǀǀCʹAʹ. Проведём прямые AAʹ, BBʹ. Допустим, они пересекаются в некоторой точке O.

Так как ABǀǀAʹBʹ, то

OA/OAʹ = OB/OBʹ. (1)

Тут возможны два  случая: 1) точки A, Aʹ как и B, Bʹ лежат с одной стороны от O (рисунок 11), 2) они с разных сторон от O (рисунок 12). Произведём гомотетию с центром O, которая переведёт точку Aʹ в A. Если эти точки с разных сторон от O, то коэффициент гомотетии отрицательный.

Ввиду пропорциональности отрезков (1) точка Bʹ перейдёт в  B. Прямые AʹCʹ и BʹCʹ, как параллельные прямым AC, BC, перейдут в эти прямые. Вместе с этим точка их пересечения Cʹ переходит в C. Следовательно, точки C, Cʹ лежат на одной прямой, проходящей через O.

Если AAʹǀǀBBʹ, то тот же результат даёт параллельный перенос, совмещающий A с Aʹ.