Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Применение алгебры

Глава 1: Теоретическая часть

Двоичная система счисления……………………………………………….4
Понятие алгебры логики………………………………8
Логические операции…………………………………11

1.4. Логическая формула…………………………………..14

Заключение……………………………………………………………16

Глава 2: Практическая часть.

2.1. Общая характеристика задачи ……………………….18

2.2. Описание алгоритма решения задачи………………..20

Список литературы…………………………………………………...24

Введение.

Алгебра логики является частью, разделом бурно развивающейся сегодня науки – дискретной математики. Дискретная математика занимается изучением свойств структур конечного характера, которые возникаю как внутри математики, так и в её приложениях. Заметим, что классическая математика, в основном, занимается изучением свойств объектов непрерывного характера, хотя само деление математики на классическую и дискретную в значительной мере условно, поскольку между ними происходит активная циркуляция идей и методов, часто возникает необходимость исследования модели, обладающие как дискретными, так и непрерывными свойствами. К числу структур, изучаемых дискретной математикой, могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, математические модели преобразователей информации типа конечных автоматов или машин Тьюринга и др.

Математический аппарат алгебры логики широко используется в информатике, в частности, в таких её разделах, как проектирование ЭВМ, теория автоматов, теория алгоритмов, теория информации, целочисленное программирование и т.д.

Отцом алгебры логики по праву считается английский математик ХIХ столетия Джордж Буль.

Большой вклад в становление и развитие алгебры логики внесли Августус де Морган (1806-1871), Уильям Стенли Джевонс (1835-1882), Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907), Чарлз Сандерс Пирс (1839-1914), Андрей Андреевич Марков (1903-1979), Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) и др.

Долгое время алгебра логики была известна достаточно узкому классу специалистов. Прошло почти 100 лет со времени создания алгебры логики Дж. Булем, прежде чем в 1938 году выдающийся американский математик и инженер Клод Шеннон (1916-2001) показал, что алгебра логики применима для описания самых разнообразных процессов, в том числе функционирования релейно-контактных и электронно-ламповых схем.

Глава 1: Теоретическая часть

Двоичная система счисления.

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Мысль о двоичной системе принадлежит Лейбницу, который полагал, что при трудных исследованиях в теории чисел она может иметь большие преимущества перед десятичной системой. Кроме того, при всяких арифметических операциях действия над числами, написанными в бинарной системе, облегчаются в высшей степени.

Г.Лейбниц обратил на двоичную систему внимание миссионеров, отправлявшихся для проповеди христианства в Китай в надежде убедить китайского императора в том, что Бог (единица) сотворил все из ничего (нуля). Однако вплоть до 20 в. двоичную систему рассматривали как своего рода математический курьез, и время от времени раздавались предложения перейти от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатиричной, но отнюдь не двоичной системе. Однако именно в двоичной системе арифметические операции особенно просты.

В двоичной системе не существует "таблицы сложения", которую нужно бы было запоминать, так как "перенос в старший разряд" начинается с 1 + 1 = 10. При сложении больших чисел необходимо лишь складывать по столбцам или разрядам, как в десятичной системе, памятуя лишь о том, что как только сумма в столбце достигает числа 2, двойка переносится в следующий столбец (влево) в виде единицы старшего разряда.

Вычитание производится так же, как в десятичной системе, не задумываясь о том, что теперь в случае необходимости нужно "занимать" из столбца слева 2, а не 10.

В двоичной таблице умножения единственный результат, отличный от нуля, соответствует 1?1 = 1. Каких-нибудь других "табличных" произведений, требующих запоминания, не существует, так как любое целое число больше единицы в двоичной системе по крайней мере "двузначно".

Умножение "столбиком" выполняется без труда, так как необходимость в "переносе в старший разряд" отпадает, за исключением сложения частичных произведений при получении окончательного ответа. Однако за эту легкость приходится "платить" большим числом знаков при умножении даже небольших чисел.

Деление "углом" в двоичной системе выполняется быстро, при этом нет необходимости в пробных делителях. По существу, деление становится своего рода непрерывным вычитанием, которое отличается необычайной "прозрачностью".

В компьютерах двоичная система особенно удобна тем, что двоичные цифры соответствуют тому, что электронная система может находиться лишь в одном из двух состояний - либо "выключено" (цепь разомкнута, двоичная цифра 0), либо "включено" (цепь замкнута, двоичная цифра 1).

Числа, записанные в двоичной системе, требуют большего числа знаков, чем их аналоги в десятичной системе, но при проектировании компьютеров, предназначенных для работы с числами, не превышающими 10 миллионов, оказалось, что легче оперировать с 24-разрядными двоичными числами, чем с семизначными десятичными числами. И в двоичной, и в десятичной системе суть состоит в позиционном принципе записи чисел, поэтому ясно, что современные суперкомпьютеры стали возможны благодаря тому, что четыре тысячи лет назад в Месопотамии было совершено важнейшее открытие в области обозначения чисел.

Выдающийся математик Лейбниц говорил: "Вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок". Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. Рассмотрим пример представления числа в двоичной системе счисления:

Пример 1. Переведём число 2000 в двоичную систему.

1. Делим 2000 на основание новой системы счисления — 2:

2000:2=1000(0 - остаток),

1000:2=500(0),

500:2=250(0),

250:2=125(0),

125:2=62(1),

62:2=31(0),

31:2=15(1),

15:2=7(1),

7:2=3(1),

3:2=1(1)

2. Собираем последнее частное от деления (всегда равно 1) и остатки от деления и записываем их по порядку, начиная снизу :

2000₁₀==11111010000₂

Для проверки переведём полученное число в десятичную систему счисления, для этого:

1. Выделим двоичные разряды числа, то есть, степени числа 2, начиная с 0-й:

1	1	1	1	1	0	1	0	0	0	0
2¹⁰	2⁹	2⁸	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2'	2°

2. Запишем сумму произведений 0 и 1 на соответствующую степень числа 2 (см. представление числа в р-ричной системе счисления):

0*2⁰+0*2¹+0*2²+0*2³+l*2⁴+0*2⁵+l*2⁶+l*2⁷+l*2⁸+l*2⁹+l*210= 16+64+128+256+512+1024=2000

Поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Из этого следует два вывода:

одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;
на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Понятие алгебры логики.

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение "6 — четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие "интересный предмет". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн. кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров — шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".

При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В. Здесь "и" — логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".

1.3. Логические операции.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ( ).

И Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "^. " (может также обозначаться знаками /\ или &). Высказывание А ^. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — ложны.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны.

ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "... влечет ...", называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: "данный четырёхугольник — квадрат" (А) и "около данного четырёхугольника можно описать окружность" (В). Рассмотрим составное высказывание А→В , понимаемое как "если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность". Есть три варианта, когда высказывание А→В истинно:

А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);
A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка "если ..., то" описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы", "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~. Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3", "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3" истинны, а высказывания "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5", "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3" ложны.

Высказывания А и В, образующие составное высказывание А↔В , могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: "три больше двух" (А), "пингвины живут в Антарктиде" (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания "три не больше двух" ( ), "пингвины не живут в Антарктиде" ( ). Образованные из высказываний А и В составные высказывания ↔ и А↔В истинны, а высказывания A↔ и ↔ B — ложны.

Итак, рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А↔ В = v В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А↔ В = ( v В) ^. ( v А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции — дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь

1.4. Логическая формула.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы:

Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") — формулы.
Если А и В — формулы, то , А ^. В, А v В , А→B , А↔В — формулы.
Никаких других формул в алгебре логики нет.

В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B) →C. Такая же формула соответствует высказыванию "если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика".

Как показывает анализ формулы (A v B) →C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь" (разберите самостоятельно эти случаи). Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v , соответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или косоугольный". Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А^. , которой соответствует, например, высказывание "Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати". Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом "=" или символом " " Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.

Заключение.

Итак, алгебра высказываний является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики — математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний — решение логических задач.

Логика возникла задолго до появления компьютеров и возникла она в результате необходимости в строгом формальном языке. Были построены функции – удобное средство для построения сложных утверждений и проверки их истинности. Оказалось, что такие функции обладают аналогичными свойствами с алгебраическими операторами. Это дало возможность упрощать исходные выражения. Особое свойство логических выражений – возможность их нахождения по значениям. Это получило широкое распространение в цифровой электронике, где используются логические элементы, и программировании.

Объектами алгебры высказываний являются высказывания. Высказывание - это истинное или ложное повествовательное предложение. Повествовательное предложение, в котором говорится об одном-единственном событии, называется простым высказыванием. Например, предложение "Луна — спутник Земли" есть простое высказывание, предложение "Не сорить!" не является высказыванием.

После изготовления первого компьютера стало ясно, что при его производстве возможно использование только цифровых технологий – ограничение сигналов связи единицей и нулём для большей надёжности и простоты архитектуры ПК. Благодаря своей бинарной природе, математическая логика получила широкое распространение в ВТ и информатике. Были созданы электронные эквиваленты логических функций, что позволило применять методы упрощения булевых выражений к упрощению электрической схемы. Кроме того, благодаря возможности нахождения исходной функции по таблице позволило сократить время поиска необходимой логической схемы.