Применение дифференциальных уравнений при решении задач в экологии
Министерство образование и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет им. В. П. Астафьева.
Институт математики, физики, информатики
Кафедра математического анализа и методики обучения математике в вузе
Курсовая работа
Применение дифференциальных уравнений при решении задач в экологии
студентки 41 гр.
Саенко Н. В.
Проверила:
К.ф-м.н., доцент
Ганжа Е. И.
Красноярск 2014
Ведение……………………………………………………………
Глава 1
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными………4-7
- Модель «хищник-жертва» в экологии…………………………………… ..7
Глава 2
1.1. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными……
Заключение……………………………………………………
Список используемой литературы……………………………………………19
Дифференциальное уравнение является одним из основных математических понятий. Дифференциальное уравнение - это уравнение для отыскания функций, производные которых (или дифференциалы) удовлетворяют некоторым наперёд заданным условиям. Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса. Понятно, что дифференциальные модели - это частный случай того множества математических моделей, которые могут быть построены при изучении окружающего нас мира. При этом необходимо отметить, что существуют и различные типы самих дифференциальных моделей. В данной работе будут рассматриваться лишь модели, описываемые так называемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, одной из характерных особенностей которых является то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят только от одной переменной.
В настоящее время задачи экологии имеют первостепенное значение.
Важным этапом решения этих задач является разработка математических
моделей экологических систем
Математическое моделирование в экологии сообществ – достаточно обширная область исследования и по выбору объектов моделирования, и по набору методов, и по спектру решаемых задач. Модели каждого из методов, безусловно, обладают своими достоинствами и недостатками.
Одной из первых работ в области математической экологии была
работа А.Д. Лотки (1880 - 1949), который первый описал взаимодействие
различных популяций, связанных отношениями хищник - жертва. Большой
вклад в исследование модели хищник -жертва внесли В. Вольтерра (1860 -
1940), В.А. Костицин (1883-1963) В настоящее время уравнения
описывающие взаимодействие популяций, называются уравнениями Лотки
— Вольтерра.
Уравнения Лотки - Вольтерра описывают динамику средних величин -
численности популяции.
Одной из важных проблем математической экологии является
проблема устойчивости экосистем, управления этими системами. Управление
может осуществляться с целью перевода системы из одного устойчивого
состояния в другое, с целью её использования или восстановления.
Цель: исследование применения дифференциальных уравнений в науке экологии
Объект: дифференциальные уравнения в естественных науках
Предмет: применение дифференциальных уравнений в экологии
Задачи: 1) Найти задачи по экологии, решаемые с помощью дифференциальных уравнений
2) Разработать методику решения данных задач
Гипотеза: Если к обязательному математическому курсу добавить различные дифференциальные уравнения, то это позволит рассмотреть действия математического аппарата, в естественных науках, в частности экологии.
Глава 1
1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Любое дифференциальное уравнение первого порядка равносильно уравнению вида
Если можно разрешить это уравнение относительно у', получаем одно или несколько уравнений вида у', получаем одно или несколько уравнений вида
Например, из уравнения получаем: , а из уравнения получаем: . В этом параграфе мы будем, как правило, рассматривать уравнения, разрешенные относительно производной, т. е. имеющие вид (1).Умножив обе части уравнения (1) на и воспользовавшись равенством , получим уравнение
которое называют дифференциальной формой уравнения (1).
Если , то можно умножить обе части уравнения на и получить уравнение
где
В это уравнение переменные и входят равноправно, и потому равенство (3) можно считать также дифференциальной формой уравнения , в котором рассматривается как функция от .
Во введении говорилось, что самыми простыми дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения вида , которые решаются интегрированием функции. Следующими по сложности являются дифференциальные уравнения вида
для которых дифференциальная форма такова:
Поскольку в уравнении (5) левая часть содержит лишь переменную и ее дифференциал, а правая - лишь переменную и ее дифференциал, то говорят, что в этом уравнении переменные и разделены. Решение уравнений с разделенными переменными основано на следующей теореме:
Теорема. Если функция имеет первообразную , а функция - первообразную , то общий интеграл дифференциального уравнения (5) имеет вид
где — произвольная постоянная.
Доказательство. По условию имеем равенства и . Из первого следует, что , а из второго в силу инвариантности формы дифференциала первого порядка, что . Поэтому уравнение (5) можно записать следующим образом:
Здесь является функцией от и потому слева и справа стоят дифференциалы функций от . Но такие дифференциалы могут быть равны в том и только в том случае, когда функции и отличаются лишь постоянным слагаемым, т.е. когда . Теорема доказана.
Таким образом, если в дифференциальном уравнении переменные разделены, то для его решения достаточно взять интегралы от обеих частей уравнения. Чтобы найти частное решение такого уравнения, удовлетворяющее начальному условию надо вместо неопределенных интегралов записать определенные интегралы с переменным верхним пределом
В самом деле, беря дифференциалы обеих частей в (7) и учитывая теорему о производной определенного интеграла по верхнему пределу, получаем уравнение (4). Начальное же условие выполняется потому, что при обе части равенства (5) обращаются в нуль.
Пример 1. Найдем общий интеграл уравнения
Решение. Запишем это уравнение в дифференциальной форме .
Так как
и
то общий интеграл имеет вид:
где - произвольная постоянная. Записав в виде ,
представим общий интеграл следующим образом
или
где . Отсюда следует, что , где - любое действительное число.
К решению уравнений рассмотренного вида (4) сводится интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Так называют уравнение
правая часть которого является произведением функции от на функцию от . Если , то функция является решением уравнения (6), поскольку для нее
и . В области же, где , уравнение (8) равносильно уравнению
,
с разделенными переменными. Поэтому его общий интеграл имеет вид
Заметим, что этот интеграл не содержит решений вида , где . [2]
1.2 Модель «хищник-жертва» в экологии.
В 1931 году Вито Вольтерра, изучая отношения хищник - жертва, вывел следующие законы:
Закон периодического цикла - процесс уничтожения жертвы хищником нередко приводит к периодическим колебаниям численности популяций обоих видов, зависящим только от скорости роста популяций хищника и жертвы, и от исходного соотношения их численности.
Закон сохранения средних величин - средняя численность популяции для каждого вида постоянна, независимо от начального уровня, при условии, что специфические скорости увеличения численности популяций, а также эффективность хищничества постоянны.
Закон нарушения средних величин - при сокращении популяций обоих видов пропорционально их численности, средняя численность популяции жертвы растет, а популяции хищников - падает.
Хищник - жертва - это взаимосвязь между хищником и жертвой, в результате которой эволюционно выигрывают оба. В процессе естественного отбора, обусловленного этими взаимоотношениями, в обеих популяциях выживают наиболее здоровые и приспособленные к условиям среды особи. Взаимоотношения "Хищник - Жертва" обычно приводят к регулярным циклическим колебаниям численности. [3]
Глава 2.
1.1 Применение дифференциальных уравнений в экологии
Решение задач
Пусть х(t) – число особей в популяции в момент времени t. Тогда если А – число особей в популяции, рождающихся в единицу времени, а В – число особей, умирающих в единицу времени, то с достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения х со временем задается формулой
Задача теперь состоит в том, чтобы описать зависимость А и В от х.
Модель 1
Простейшим случаем является ситуация, когда
А = ах, В = bx ,
где a и b коэффициенты рождения и смерти особей в единицу времени соответственно. С учетом равенств (12) дифференциальное уравнение (13) перепишется виде
Умножим обе части уравнения (13) на , получаем
Находим обе части , или
Упрощая последнее выражение, получаем следующую формулу для общего решения
Полагая, что в момент времени число особей популяции есть , из уравнения (14) находим частное решение
Из полученного равенства следует, что если , то при число особей С другой стороны, если , то и популяция становится вымирающей. [1]
Модель 2
Хотя приведенная выше модель 1 является упрощенной, она все-таки в ряде случаев соответствует действительности. Практически же все модели, которые описывают реальные явления и процессы, не линейны, и вместо дифференциального уравнения (11) следует рассматривать уравнение вида
где нелинейная функция. Например, уравнения вида
где
Полагая, что при , решим уравнение (16) методом разделения переменных. Для этого умножим обе части уравнения (16) на , получим
Проинтегрировав обе части, придем к общему решению
Преобразуем уравнение (17), вычислив интеграл от дробно-рациональной функции . Разложим данную дробь на сумму простейших, методом неопределенных коэффициентов.
Как известно
,
где А и В – некоторые числовые коэффициенты. Чтобы их найти выпишем уравнение
.
Сравнивая коэффициенты, при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства имеем систему
Таким образом мы нашли разложение подынтегральной функции на простые дроби
.
Следовательно
Тем самым (16) примет вид
. (18)
Умножим левую и правую часть уравнения
(18) на a, получим
, (19)
или где произвольная постоянная
Получим неявную формулу для общего решения
Выражая отсюда х получаем
или
откуда
где произвольная постоянная (20)
Функция (20) есть общее решение уравнения (16). Воспользуемся начальным условием при и найдем частное решение.
Подставляя , в (18) имеем
Выразим отсюда , для этого проделаем простые преобразования
или
Отсюда видим
Подставим найденную константу в общее решение (20) и преобразуем полученное частное решение.
Подставим найденную константу в уравнение (20) и преобразуем его
Откуда
.
Умножив получившееся уравнение на и поделив на b, получаем
(21)
Функция (21), которое является решением рассмотренной модели. Из него видно что при число особей в популяции При этом возможны два случая: и . Различие между этими случаями хорошо видно из рис.1.
Отметим, что соотношение (16) описывает, в частности, популяции фруктовых вредителей и некоторых видов бактерий.
Если рассматривается
несколько существующих видов, например,
больших и малых рыб, где малые
рыбы являются кормом для
Модель 3
Рассмотрим более подробно двухвидовую модель «хищник – жертва», которая впервые была построена Вольтера для объяснения колебаний рыбных уловов в Адриатическом море, имеющих один и тот же период, но отличающихся по фазе.
Пусть х – число больших рыб-хищников, которые питаются малыми рыбами – жертвами, число которых обозначено через у. Тогда число рыб-хищников будет расти до тех пор, пока у них будет достаточно пищи, т.е. малых рыб-жертв, но в конце концов наступит ситуация, когда корма не будет хватать и в конце концов наступит ситуация, когда корма не будет хватать и в результате число больших рыб начнет уменьшаться. Это приведет к тому, что с некоторого момента число малых рыб снова начнет увеличиваться. Это будет способствовать новому росту числа больших особей, и цикл снова повторится. Модель, построенная Вольтера, имеет вид
Где a, b, c, d – положительные константы.
В уравнении (22) для больших рыб слагаемое bxy выражает зависимость прироста больших рыб от численности больших.
Для удобства исследования последних двух уравнений введем в рассмотрение безразмерные переменные
,
.
Подставим переменные (21) в модель уравнений, получим
Продифференцируем оба уравнения модели
Преобразуем уравнения
. (25)
Выразим из (25) и , получим
В результате дифференциальные уравнения (20) и (21) примут вид
(26)
Где а штрих обозначает дифференцирование по
Предположим, что в некоторый момент число особей обоих видов известно, т.е.
Заметим, что в дальнейшем мы интересуемся только положительными решениями. Выявим связь между u b v. Для этого, разделив первое уравнение системы (19) на второе и затем проинтегрировав полученное дифференциальное уравнение, получили
Решим уравнение методом разделения переменных. Поделим обе части уравнения на
Тогда
Мы получили уравнение с разделенными переменными, решим его проинтегрировав обе части равенства
Получили
, где H произвольная постоянная
Упростим уравнение, тогда
Или
Уравнение (23) есть общее решение модели 3. Воспользуемся начальными условиями
Найдем частное решение
Где – постоянная, определяемая начальными условиями (11) и параметром .
На рис 2 показан вид графиков как функции при различных значениях Н. Как видно из этого рисунка в плоскости имеются только замкнутые кривые. Предположим теперь, что начальные значения и задаются точкой А на траектории , соответствующей значению . Поскольку то первое уравнение из системы (10) показывает, что
переменная вначале убывает. Аналогичный факт имеет место и для переменной . Далее, когда переменная достигает значения, ровного единице, то и затем в течение длительного времени переменная
будет возрастать. Когда же то и затем уже возрастать начинает переменная . Таким образом, как переменная , так и переменная пробегают замкнутую траекторию. А это означает, что решения являются функциями, периодическими по времени. При этом максимум не попадает на максимум , т.е. колебания в популяции происходят в разных фазах. Типичный график зависимости и от времени показан на рис. 3 (в случае ). [1]
Рис 3
Заключение.
В данной курсовой работе мы провели исследование связи науки экологии с дифференциальными уравнениями.
В ходе выполнения данной
работы мы ознакомились с
Исходя из данной работы, становится очевидна степень важности применения дифференциальных уравнений в экологии, как и в других отраслях. В рассмотренной отрасли, то есть в экологии, первостепенную роль играет дифференциальное моделирование, другими словами – получение дифференциального уравнения путем исследования какого-либо явления или процесса протекающего в экологии, в окружающем нас мире, например, модель «хищник-жертва».
Список используемой литературы
- Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях
- Виленкин Н. Я. Дифференциальные уравнения / М: «Просвещение», 1984
- Горелов А.А. Экология – наука - моделирование. – М., 2007 г.
