Применение дифференциальных уравнений в экономике

ПЛАН

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ И СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЕ 4

§ 1. Основные понятия  и примеры разностных уравнений 4

§ 2. Решение разностных уравнений 12

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СФЕРЕ 23

§ 1. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса 23

§ 2. Модель рынка с запаздыванием  сбыта 26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  31

 

 

ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия  математические методы всё настойчивее  проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и её эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.

Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в экономической сфере общества.

Перед данной работой  ставятся следующие задачи: определение  понятия разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого  и второго порядка и их применение в экономике.

При работе над курсовым проектом были использованы доступные  для изучения материалы учебных  пособий по экономике, математическому  анализу, работы ведущих экономистов  и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи, опубликованные в Интернет - изданиях.

 

 

ГЛАВА 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ И СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЕ

§1. Основные понятия  и примеры разностных уравнений

Разностные уравнения  играют большую роль в экономической  теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Разберем основные понятия разностных уравнений.

Пусть время t выступает как независимая переменная, а зависимая переменная определяется для времени t, t-1, t-2 и т.д.

Обозначим через  значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д.

Уравнение

(1)

где - постоянные, называется разностным неоднородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение

(2)

В котором  =0, называется разностным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить разностное уравнение n-го порядка – значит найти функцию , которая обращает это уравнение в верное тождество.

Решение, в котором отсутствует  произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением. Можно доказать следующие теоремы.

Теорема 1. Если однородное разностное уравнение (2) имеет решения и , то решением будет также функция

где и - произвольные постоянные.

Теорема 2. Если - частное решение неоднородного разностного уравнения (1) и - общее решение однородного уравнения (2), то общим решением неоднородного уравнения (1) будет функция

- произвольные постоянные. Эти теоремы  сходны с теоремами для дифференциальных уравнений. Системой линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами называется система вида

где - вектор из неизвестных функций, - вектор из известных функций.

Есть матрица размера n n.

Эта система может  быть решена сведением к разностному  уравнению n-го порядка по аналогии с решением системы дифференциальных уравнений.

 

Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.

Преобразование в систему  уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них  в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или  переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.

Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:

 

 

где  – соответственно i-тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,

 – функция, описывающая  внешнее воздействие на динамический  объект.

Обозначим первую производную  искомой функции новой переменной , первую производную – следующей переменной: , первую производную – переменной и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем дифференциальное уравнение первого порядка:

 

 

При таких заменах  производных искомой функции  ее n-ная производная оказывается равной первой производной от :

 

 

В результате, эквивалентная  система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:

 

 

В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции  и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид

 

 

то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:

 

 

Такое преобразование сохраняет  коэффициенты исходного уравнения  неизменными и исключает производные  в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.

И, наконец, приведем еще  один вариант разложения на систему  уравнений первого порядка исходного  неоднородного уравнения с производными в правой части:

 

 

Замена переменных в  отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного  уравнения:

 

 

Производные искомой  функции  можно выразить через вновь введенные переменные путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных :

 

 

Умножив каждое выражение для на коэффициенты и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных .

Система уравнений имеет  вид:

 

 

В векторно-матричной  форме это уравнение и его  решение записываются в следующем виде:

 

 

где  – вектор известных коэффициентов,

 – вектор искомых коэффициентов,

 – соответственно прямая  и обратная верхне-треугольные  матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:

 

.

 

Обратная матрица удобна при  использовании математических пакетов  для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .

Начальные условия для  вычисляются по выражениям для следующим образом:

 

 

или в векторно-матричной  форме:

 

,

.

Представление системы  дифференциальных уравнений первого  порядка с начальными условиями

 

 

можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ( ):

 

,

 

погрешность аппроксимации  которого пропорциональна сеточному  шагу h.

Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность  аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.

 

 

При такой замене производной  мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор :

 

.

 

Дополнительный вектор начальных  условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h:

 

 

Подстановка таких начальных  условий в решение сохранит погрешность  результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.

 

§ 2. Решение  разностных уравнений

Решение разностного  уравнения первого порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение

f(t). (3)

Соответствующее однородное уравнение есть

0. (4)

Проверим, будет ли функция 

решением уравнения (3).

Имеем

Подставляя в уравнение (4), получаем

Следовательно, есть решение уравнения (4).

Общее решение уравнения (4) есть функция

где C - произвольная постоянная.

Пусть - частное решение неоднородного уравнения (3). Тогда общее решение разностного уравнения (3) есть функция

Найдем частное решение  разностного уравнения (3), если f(t)=c, где c – некоторая переменная.

Будем искать решение  в виде постоянной m. Имеем

,

Подставив эти постоянные в уравнение

получаем

откуда

Следовательно, общее решение разностного  уравнения

Есть

.

Пример1. Найти с помощью разностного уравнения формулу прироста денежного вклада А в сбербанке, положенного под p % годовых.

Решение. Если некоторая сумма положена в банк под сложный процент p, то к концу года t её размер составит

Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решение

где C – некоторая постоянная, которую можно рассчитать по начальным условиям.

Если принять  , то C=A, откуда

Это известная формула подсчета прироста денежного вклада, положенного в сбербанк под сложный процент.

Решение разностного уравнения  второго порядка. Рассмотрим неоднородное разностное уравнение второго порядка

(5)

и соответствующее однородное уравнение

 

(6)

Если k является корнем уравнения

(7)

есть решение однородного  уравнения (6).

Действительно, подставляя в левую часть уравнения (6) и учитывая (7), получаем

Таким образом, если k – корень уравнения (7), то - решение уравнения (6). Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант характеристическое уравнение (7) больше нуля, то уравнение (7) имеет два разных действительных корня и , а общее решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид:

Общее решение неоднородного уравнения (5) таково:

где - частное решение неоднородного уравнения (5), а и - произвольные постоянные, которые можно вычислить по начальным условиям, например y(0)= , y(1)= .

Пример 2. Найти решение разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

7,

удовлетворяющего начальным условиям

Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего однородного разностного уравнения таково:

Корни уравнения  , действительны и различны. Следовательно, общее решение однородного разностного уравнения есть функция

Предположим далее, что  c есть частное решение неоднородного уравнения, тогда

Откуда 

Таким образом, общее решение заданного  неоднородного уравнения есть функция

Постоянные  и определяем по начальным условиям

Для t=0 и t=1 соответственно получаем

 

Решая систему уравнений

Находим

Поэтому в итоге имеем 

 

Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и  технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.

Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.

Для линейной системы уравнений  первого порядка, записанной в матричной  форме относительно вектора  как

 

,

 

обязательно задается полный набор  краевых условий  , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений и

Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы , , и матрица в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:

 

.

 

Многоточечные представления производных  получаются путем применения существующих соотношений между операторами  дифференцирования, конечных разностей  и сдвига:

 

 

Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции необходимо выполнить следующие операторные преобразования:

 

 

Заменив конечно-разностные операторы  (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига и вспомнив, что , получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:

 

.

 

Погрешность аппроксимации  дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине и c наибольшим – для точек конца интервала.

Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k1, k2 для формул погрешности.

Трех точечная аппроксимация  первой производной

	y(0)	y(1)	y(2)
y’(0)	-3	4	-1	2
y’(1)	-1	0	1	-1
y’(2)	1	-4	3	2

Четырех точечная аппроксимация  первой производной

	-11	18	-9	2	-3
	-2	-3	6	-1	1
	1	-6	3	2	-1
	-2	9	-18	11	3

 

Пятиточечная аппроксимация  первой производной

	-25	48	-36	16	-3	12
	-3	-10	18	-6	1	-3
	1	-8	0	8	-1	2
	-1	6	-18	10	3	-3
	3	-16	36	-48	25	12

 

Шести точечная аппроксимация  первой производной

	-137	300	-300	200	-75	12	-10
	-12	-65	120	-60	20	-3	2
	3	-30	-20	60	-15	2	-1
	-2	15	-60	20	30	-3	1
	3	-20	60	-120	65	12	-2
	-12	75	-200	300	-300	137	10

 

Семи точечная аппроксимация первой производной

	-147	360	-450	400	-225	72	-10	60
	-10	-77	150	-100	50	-15	2	-10
	2	-24	-35	80	-30	8	-1	4
	-1	9	-45	0	45	-9	1	-3
	1	-8	30	-80	35	24	-2	4
	-2	15	-50	100	-150	77	10	-10
	10	-72	225	-400	450	-360	147	60

 

Трех точечная аппроксимация  второй производной

	1	-2	1	-12 , 2
	1	-2	1	0 , -1
	1	-2	1	12 , -2

 

Четырех точечная аппроксимация  второй производной

	2	-5	4	-1	55 , -6
	1	-2	1	0	-5 , -2
	0	1	-2	1	-5 , -2
	-1	4	-5	2	55 , -6

 

Пятиточечная аппроксимация  второй производной

	35	-104	114	-56	11	-150 , 12
	11	-20	6	4	-1	15 , -3
	-1	16	-30	16	-1	0 , 2
	-1	4	6	-20	11	15 , 3
	11	-56	114	-104	35	150 , -12

 

Шести точечная аппроксимация  второй производной

	225	-770	1070	-780	305	-50
	50	-75	-20	70	-30	5
	-5	80	-150	80	-5	0
	0	-5	80	-150	80	-5
	5	-30	70	-20	-75	50
	-50	305	-780	1070	-770	225

 

Семи точечная аппроксимация  второй производной

	812	-3132	5265	-5080	2970	-972	137
	137	-147	-255	470	-285	93	-13
	-13	228	-420	200	15	-12	2
	2	-27	270	-490	270	-27	2
	2	-12	15	200	-420	228	-13
	-13	93	-285	470	-255	-147	137
	137	-972	2970	-5080	5265	-3132	812