Применение экономико-математического моделирования в логистических системах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФИЛИАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОГО  ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО  УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

в г.РОСЛАВЛЕ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ

(ФИЛИАЛ ФГБОУ  ВПО «МГИУ» в г.РОСЛАВЛЕ)

Кафедра «Экономики и управления»    

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математическое моделирование»

на тему «Применение экономико-математического моделирования в логистических системах»

Группа           43

Студент                              К.С.Горбачева

Руководитель проекта                              Н.Г.Максимова

ДОПУСКАЕТСЯ К ЗАЩИТЕ

Должность,

степень, звание                              Н.Г.Максимова

Оценка работы   _____________

Дата                                                      «___»___________

Подписи членов комиссии:                                  _____________                                                                                      _____________                           _____________

РОСЛАВЛЬ  2012

Содержание

Введение 4

1. Методы и модели Экономико-математического моделирования использующиеся в логистических системах. 5

1.1 Моделирование в логистических системах 5

1.2 Системы  массового обслуживания и их  применение в логистике 9

1.3 Задача  линейного программирования в  логистике (симпекс - метод) 15

2. Построение модели 18

2.1 Применение задачи СМО в логистических системах 18

2.2 Применение задач линейного программирования в логистике 19

2.3 Системы управления запасами с фиксированным размером заказа 25

Заключение 30

Список литературы 31

Введение

Логистика как наука и  практическая деятельность стала неотъемлемой частью и инструментом современной экономики. По своей сущности логистика носит универсальный характер, ибо все субъекты интегрированного рынка занимаются логистикой и используют логистические методы управления производством и торговлей.

В общем виде логистика  определяется как управление потоками в экономике. Отсюда возникает необходимость логистизации производственно-коммерческой деятельности.

Актуальность данной темы заключается в том, что на данной этапе формирования логистики как науки невозможно без применения ЭВМ и необходимый знаний в области экономико-математичексого моделирования. На практике использование и прогнозирование поведения логистических систем при тех или иных видах возмущающих и управляющих воздействий заменяется исследованием и прогнозированием поведения их моделей.

Под моделью в данном случае следует понимать любое отображение логистической системы, которое может быть использовано вместо нее для исследования ее свойств и прогнозирования возможных вариантов ее поведения.

Цель данной курсовой заключается  в выявлении проблем, которые существуют в логистике, с помощью применения эконико-матеметичекого моделирования.

Перед собой я поставила  следующие задачи:

1. Раскрытие сущности и определение общих понятий Экономико-математического моделирования в логистике;
2. Применение задач линейного программирование в логистических системах и системы управления запасами с фиксированным размером заказа, их оптимизация и сущность.

1. Методы и модели Экономико-математического моделирования использующиеся в логистических системах.

1. Моделирование в логистических системах

Исследование и прогнозирование  поведения логистических систем на практике осуществляется посредством экономико-математического моделирования, т. е. описания логистических процессов в виде моделей.  
Под моделью в данном случае понимается отображение логистической системы (абстрактное или материальное), которое может быть использовано вместо нее для изучения ее свойств и возможных вариантов поведения.  
При построении таких моделей необходимо соблюдать следующие требования:  
• поведение, структура и функции модели должны быть адекватны моделируемой логистической системе;

• отклонения параметров модели в процессе ее функционирования от соответствующих параметров моделируемой логистической системы не должны выходить за рамки допустимой точности моделирования;

• результаты исследования модели и ее поведения должны выявить  новые свойства моделируемой логистической системы, не отраженные в исходном материале, использованном для составления данной модели;

• модель должна быть более удобней, чем ее реальный аналог - логистическая система.  
        Соблюдение этих требований позволяет реализовать качественно новые возможности моделирования, а именно:

• проведение исследования на этапе проектирования логистической системы для определения целесообразности ее создания и применения;

• проведение исследования без вмешательства в функционирование логистической системы;

• определение предельно  допустимых значений объемов материальных потоков и других параметров логистической системы без риска разрушения моделируемой системы.

       Все модели логистических систем делятся на два класса: изоморфные и гомоморфные.  
       Изоморфные модели представляют собой полный эквивалент всем морфологическим и поведенческим особенностям моделируемой системы и способны полностью заменить ее. Однако построить и исследовать изоморфную модель практически невозможно вследствие неполноты и несовершенства знаний о реальной системе и недостаточной адекватности методов и средств такого моделирования.

        Поэтому практически все модели, используемые в логистике, являются гомоморфными, которые представляют собой модели, подобные отображаемому объекту лишь в отношениях, характерных и важных для процесса моделирования. Другие аспекты строения и функционирования при гомоморфном моделировании игнорируются.

        Гомоморфные модели делятся на материальные и абстрактно-концептуальные.  
        Материальные модели находят в логистическом управлении ограниченное применение, что связано с трудностью и дороговизной воспроизведения на такого рода моделях основных геометрических, физических и функциональных характеристик оригинала и крайне ограниченными возможностями варьирования их в процессе работы с моделью.

        Поэтому для логистики в основном используются абстрактно-концептуальные модели, которые подразделяют на символьные и математические.

        Символьные модели построены на основе различных, определенным образом организованных знаков, символов, кодов, слов или массивов чисел, изображающих исследуемый оригинал. Для построения подобных моделей используются такие символы или коды, которые однозначным, не допускающим возможности различного толкования образом, представляют моделируемые структуры и процессы. Например, для языкового описания моделей используются специальным образом построенные словари (тезаурусы), в которых в отличие от обычных толковых словарей каждое слово имеет только одно определенное значение.

        Информацию, полученную с помощью использования символьных моделей, неудобно обрабатывать (хотя это и возможно) для дальнейшего использования в системах логистического управления. Поэтому наибольшее распространение в процессе создания и эксплуатации систем логистического управления получили математические модели. Математическое моделирование бывает аналитическое и имитационное.

       Особенностью аналитических моделей является то, что закономерности строения и поведения объекта моделирования описываются в приемлемой форме точными аналитическими соотношениями. Эти соотношения могут быть получены как теоретически, так и экспериментально. Теоретический подход применим только для простых компонентов и систем, допускающих сильное упрощение и высокую степень абстракции. Кроме того, затруднена проверка адекватности полученного аналитического описания, поскольку поведение моделируемого объекта заранее не определено, а как раз и должно быть выяснено в результате моделирования. Для определения этого поведения и составляется данное аналитическое описание. Аналитическое описание может быть определено также путем проведения экспериментов над исследуемым объектом. Более универсальным подходом обладает имитационное моделирование. 

        Имитационная модель - это компьютерное воспроизведение развертывания во времени функционирования моделируемой системы, т. е. воспроизведение ее перехода из одного состояния в другое, осуществляемое в соответствии с однозначно определенными операционными правилами.

       На ЭВМ имитируется течение управляемого процесса с последующим анализом результатов моделирования для выбора окончательного решения.  
Имитационные модели относятся к классу описательных моделей. При этом машинная имитация не ограничивается разработкой лишь одного варианта модели и одноразовой ее эксплуатацией на ЭВМ. Как правило, модель модифицируется и корректируется: варьируются исходные данные, анализируются различные правила действия объектов. Испытания модели осуществляются таким образом, чтобы проверить и сравнить между собой различные структурные варианты логистических систем. Имитация завершается проверкой полученных результатов и выдачей рекомендаций для практического внедрения.

Имитационные модели широко применяются для прогнозирования  поведения логистических систем, при проектировании и размещении предприятий, для обучения и тренировки персонала и т. д.

Описание в виде математических моделей экономических (логистических) процессов производится экономико-математическими методами.    Алгоритмические методы позволяют реализовать модели, в которых устанавливают связи между входными и выходными параметрами описываемого компонента, скоростями их изменения и скоростями изменения этих скоростей (т. е. ускорениями).

        Эти методы разделяют на экономико-статистические и эконо-метрические.  
Первые используют описания характерных элементов, основанные на математической и экономической статистике. Вторые базируются на математическом описании происходящих экономических процессов. Например, общий фонд заработной платы однозначно математически связан с числом работающих и их распределением по разрядам.

       Эвристические методы представляют собой не правила преобразования некоторых исходных положений, а набор типовых решений, обеспечивающих пусть и не оптимальную, но вполне работоспособную процедуру получения описаний, пригодных для дальнейшего построения моделей.  
Эвристические методы делятся на методы исследования операций и методы экономической кибернетики. Последние, в свою очередь, подразделяются на методы теории экономических систем и моделей, методы теории экономической информации и методы теории управляющих систем.

       Экономико-математическая модель - это математическая модель исследуемого экономического объекта (системы, процесса), т. е. математически формализованное описание исследуемого экономического объекта (системы процесса), отражающее характер, определенные существенные свойства реального экономического объекта и процессов, протекающих в нем.  
Основным для исследования экономико-математической модели является ее целевая функция. Экстремальному значению данной функции для конкретной модели соответствует наилучшее управленческое решение для моделируемого объекта. Описаниями подобной модели являются также ограничения значений ее параметров, которые задаются в виде системы равенств и неравенств. Таким способом формализуются те или иные свойства моделируемого компонента.

1.2 Системы массового обслуживания и их применение в логистике

      Системами  массового обслуживания называют  такие системы, в которых в  случайные моменты времени поступают  заявки на обслуживание. При этом  поступившие заявки обслуживаются  с помощью имеющихся в распоряжении  системы каналов обслуживания.

      С позиции  моделирования процесса массового  обслуживания ситуации, когда образуются  очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом.  Поступив в обслуживающую систему,  требование присоединяется к  очереди других (ранее поступивших)  требований. Канал обслуживания  выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

      Первые  задачи теории массового обслуживания  были рассмотрены в период  между 1908 и 1922 годами. Стояла задача  упорядочить работу телефонной  станции и заранее рассчитать  качество обслуживания потребителей  в зависимости от числа используемых  устройств. 

      Цикл функционирования  системы массового обслуживания  подобного рода повторяется многократно  в течение всего периода работы  обслуживающей системы. При этом  предполагается, что переход системы  на обслуживание очередного требования  после завершения обслуживания  предыдущего требования происходит  мгновенно, случайные моменты  времени. 

      Примерами  систем массового обслуживания  могут служить: 

      1. посты  технического обслуживания автомобилей; 

      2. посты  ремонта автомобилей; 

      3. персональные  компьютеры, обслуживающие поступающие  заявки или требования на решение  тех или иных задач; 

      4. станции  технического обслуживания автомобилей; 

      5. аудиторские  фирмы; 

      6. отделы  налоговых инспекций, занимающиеся  приемкой и проверкой текущей  отчетности предприятий; 

      7. телефонные  станции и т. д. 

      Основными  компонентами системы массового  обслуживания любого вида являются:

      - входной  поток поступающих требований  или заявок на обслуживание;

      - дисциплина  очереди; 

      - механизм  обслуживания.

      Входной  поток требований. Для описания  входного потока требуется задать  вероятностный закон, определяющий  последовательность моментов поступления  требований на обслуживание и  указать количество таких требований  в каждом очередном поступлении.  При этом, как правило, оперируют  понятием "вероятностное распределение  моментов поступления требований". Здесь могут поступать как  единичные, так и групповые  требования (требования поступают  группами в систему). В последнем  случае обычно речь идет о  системе обслуживания с параллельно-групповым  обслуживанием. 

      Дисциплина  очереди - это важный компонент  системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии  с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

      - первым  пришел - первый обслуживаешься;

      - пришел  последним - обслуживаешься первым;

      - случайный  отбор заявок;

      - отбор  заявок по критерию приоритетности;

      - ограничение  времени ожидания момента наступления  обслуживания (имеет место очередь  с ограниченным временем ожидания  обслуживания, что ассоциируется  с понятием "допустимая длина  очереди").

      Механизм  обслуживания определяется характеристиками  самой процедуры обслуживания  и структурой обслуживающей системы.  К характеристикам процедуры  обслуживания относятся: продолжительность  процедуры обслуживания и количество  требований, удовлетворяемых в результате  выполнения каждой такой процедуры.  Для аналитического описания  характеристик процедуры обслуживания  оперируют понятием "вероятностное  распределение времени обслуживания  требований".

      Следует  отметить, что время обслуживания  заявки зависит от характера  самой заявки или требований  клиента и от состояния и  возможностей обслуживающей системы.  В ряде случаев приходится  также учитывать вероятность  выхода обслуживающего прибора  по истечений некоторого ограниченного интервала времени.

      Структура  обслуживающей системы определяется  количеством и взаимным расположением  каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего,  следует подчеркнуть, что система  обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

      Система  обслуживания может состоять  из нескольких разнотипных каналов  обслуживания, через которые должно  пройти каждое обслуживаемое  требование, т. е. в обслуживающей  системе процедуры обслуживания  требований реализуются последовательно.  Механизм обслуживания определяет  характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

      Предметом  теории массового обслуживания  является установление зависимости  между факторами, определяющими  функциональные возможности системы  массового обслуживания, и эффективностью  ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

      Случайный  характер потока заявок (требований), а также, в общем случае, и  длительности обслуживания приводит  к тому, что в системе массового  обслуживания происходит случайный  процесс.

      Независимо  от характера процесса, протекающего  в системе массового обслуживания, различают два основных вида  систем массового обслуживания:

      - системы  с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает  отказ и сразу же покидает  очередь; 

      - системы  с ожиданием (очередью), в которых  заявка, поступившая в момент, когда  все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из  каналов. Системы массового обслуживания  с ожиданием делятся на системы  с ограниченным ожиданием и  системы с неограниченным ожиданием. 

      В системах  с ограниченным ожиданием может  ограничиваться:

      - длина  очереди; 

      - время  пребывания в очереди. 

      В системах  с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание  неограниченно долго, т.е. пока  не подойдет очередь. 

      Все системы  массового обслуживания различают  по числу каналов обслуживания:

      - одноканальные  системы; 

      - многоканальные  системы. 

      Главной  целью систем массового обслуживания  в логистики является оценка  возможного развития функционирования  процессов. В торговле одним  из основных показателей, характеризующих  процесс обслуживания покупателей,  является уровень качества торгового  обслуживания. Данный показатель  является интегральным, включающим  ряд частных показателей, таких  как культура обслуживания покупателей,  скорость торгового обслуживания, стабильность товарного ассортимента, спектр услуг, предоставляемых  покупателям и т. д. 

   Представим многоканальное СМО с очередью.

          λ               λ              λ             λ              λ                  λ

                                          …    …

         µ               2µ            3µ            n*µ        n*µ            n+1*µ

- в СМО нет ни одной заявки;

- в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные  свободны);

- в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные  свободны);

- в СМО находится n заявок (n каналов заняты, заявка поступившая в данный момент становится в очередь);

- в СМО находится n заявок (все каналы заняты, одна заявка в очереди) и т.д.

Система массового обслуживания называется системой с очередью, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это  промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес  представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение  накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что  оно ограничено сверху каким-то сроком, который может быть как строго определенным, так и случайным. При  этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение  не на время ожидания в очереди, а  на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел  или нет). Наконец, можно рассмотреть  и такую смешанную систему (она  ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь  только в том случае, если длина  очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

Определим некоторые вероятностные  характеристики функционирования многоканальной СМО с очередью.

1. Нагрузка (трафик) системы 

2. Нагрузка, приходящаяся  на один канал 

3. Вероятность того, что  канал свободен 

4. Вероятность состояний 

5. Вероятность занятости  канала 

6. Абсолютная пропускная  способность 

7. Среднее число заявок  под обслуживанием 

8. Среднее число заявок  в очереди 

9. Среднее время пребывания  заявки в очереди 

По всем приведенным формулам можно построить модели систем массового  обслуживания в различных отраслях экономики.

1.3 Задача линейного программирования в логистике (симпекс - метод)

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов  математической теории оптимального принятия решений. Для решения задач линейного  программирования разработано сложное  программное обеспечение, дающее возможность  эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Владение аппаратом  линейного программирования необходимо каждому специалисту в области  прикладной математики.

Линейное программирование – это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные  которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного  программирования относятся к задачам  на условный экстремум функции. По типу решаемых задач методы разделяются  на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного  программирования является то, что  экстремума целевая функция достигает  на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального  исчисления связаны с нахождением  экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто  используемый метод оптимизации. К  числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

1. рационального использования сырья и материалов;
2. задачи оптимального раскроя;
3. оптимизации производственной программы предприятий;
4. оптимального размещения и концентрации производства;
5. составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи);
6. управления производственными запасами;
7. и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Задачи линейного программирования решаются несколькими методами:

1. графический метод;
2. симплексный метод;
3. двойственность в ЛП;
4. двойственный симплексный метод.

Рассмотрим применение ЗЛП  в логистике на примере симплекс – метода.

     MS Excel содержит модуль «Поиск решения» позволяющий осуществлять поиск оптимальных решений, в том числе решение задач линейного, целочисленного, нелинейного программирования. Постановка задачи осуществляется посредством задания ячеек для переменных и записи формул с использованием этих ячеек для целевой функции и системы ограничений.

   Поскольку данная задача может решаться и на MAX и на MIN, то мы ставим перед собой цель, к которой нам необходимо придти в зависимости от условия задачи. Далее нам необходимо составить целевую функцию, описать ограничения, и вставить все в таблицу в MS Excel, там уже с помощью оговоренного ранее модуля «Поиск решения» решить задачу.

2. Построение модели

1. Применение задачи СМО в логистических системах

Имеется склад  с шестью терминалами для погрузки машин  материалом.

Интенсивность потока машин  для погрузки составляет 4 грузовика в час, среднее время обслуживания одной машины – 1 час 20 минут. Все потоки событий простейшие.

Найти финальную вероятность  и характеристики эффективности  для СМО с очередью (финальная  вероятность с точностью до р₇)

Составим схему гибели и размножения многоканальной СМО  с очередью:

          λ          λ            λ          λ            λ           λ          λ

           µ          2µ          3µ         4µ           5µ       6µ           7µ

Из условий, приведенных  выше, мы имеем:

n=6 – число каналов обслуживания;

λ=4 грузовика в час - интенсивность потока;

µ= =0,75 – интенсивность потока обслуживания;

Т_об = минуты – среднее время обслуживания;

1. ρ= – нагрузка системы.
2. ψ= – нормальная работа.
3. р₀ = ^-1 = 0,005 или 0,5 % вероятность того, что канал свободен.
4. р_{1 = того, что один канал занят}