Применение корреляционно- регрессионного анализа в социально- экономических исследованиях

МИНИСТЕРСТВО  ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра финансов и экономического анализа

Курсовая работа

Дисциплина: статистика

ТЕМА:

ПРИМЕННЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННО- РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА В СОЦИАЛЬНО- ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

МОСКВА-2012

Содержание.

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Теоритические основы  корреляционно-регрессионного анализа…………………………………..…………………………………..4
1. Сущность и возможности корреляционно-регрессионного анализа в обработке экономических данных…………………………………………………………..……4
2. Задачи корреляционно-регрессионного анализа………………...12
3. Условия применения и ограничения корреляционно-регрессионного анализа……………………………………………20
2. Применение корреляционно-регрессионного анализа на практическом примере……………………………………………………………………23
1. Предпосылки применения и принципы корреляционно-регрессионного анализа……………………………………………22
2. Практический пример применения корреляционно-регрессионного анализа……………………………………………25

Заключение………………………………………………………………..28

Список литературы……………………………………………………….29

Введение.

Тема является актуальной, так как метод корреляционно-регрессионного анализа обработки статистических данных занимает важное место при анализе социально-экономических явлений и процессов. В экономических исследованиях часто решают задачу выявления факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая задача чаще всего решается методом корреляционно-регрессионного анализа.

Объект: социально- экономические явления

Предмет: корреляционно-регрессионный анализ

Цель работы: рассмотреть применение корреляционно-регрессионного анализа в социально-экономических исследованиях

Задачи работы:

1. Раскрыть сущность и роль корреляционно-регрессионного анализа в обработке экономических данных.
2. Изучить возможности корреляционно-регрессионного анализа.
3. Определить задачи корреляционно-регрессионного анализа.

4. Рассмотреть условия применения и ограничения корреляционно-регрессионного анализа.

5. Рассмотреть предпосылки применения корреляционно-регрессионного анализа.

6. Показать применение корреляционно-регрессионного анализа на практическом примере.

1. Корреляционно-регрессионный анализ.
1. Сущность и роль корреляционно-регрессионного анализа в обработке экономических данных.

Корреляционный анализ и  регрессионный анализ являются смежными разделами математической статистики, и предназначаются для изучения по выборочным данным статистической зависимости ряда величин, некоторые из которых являются случайными. При статистической зависимости величины не связаны функционально, но как случайные величины заданы совместным распределением вероятностей. Исследование зависимости случайных величин приводит к моделям регрессии и регрессионному анализу на базе выборочных данных. Теория вероятностей и математическая статистика представляют лишь инструмент для изучения статистической зависимости, но не ставят своей целью установление причинной связи. Представления и гипотезы о причинной связи должны быть привнесены из некоторой другой теории, которая позволяет содержательно объяснить изучаемое явление.

Экономические данные почти  всегда представлены в виде таблиц. Числовые данные, содержащиеся в таблицах, обычно имеют между собой явные (известные) или неявные (скрытые) связи.

Явно связаны показатели, которые получены методами прямого  счета, т.е. вычислены по заранее известным формулам. Например, проценты выполнения плана, уровни, удельные веса, отклонения в сумме, отклонения в процентах, темпы роста, темпы прироста, индексы и т. д.

Связи же второго типа (неявные) заранее неизвестны. Однако необходимо уметь объяснять и предсказывать (прогнозировать) сложные явления  для того, чтобы управлять ими. Поэтому специалисты с помощью  наблюдений стремятся выявить скрытые  зависимости и выразить их в виде формул, т. е. математически смоделировать явления или процессы. Одну из таких возможностей предоставляет корреляционно-регрессионный анализ.

Математические модели строятся и используются для трех обобщенных целей:

- для объяснения;

- для предсказания;

- для управления.

Представление экономических  и других данных в электронных  таблицах в наши дни стало простым  и естественным. Оснащение же электронных  таблиц средствами корреляционно-регрессионного анализа способствует тому, что из группы сложных, глубоко научных  и потому редко используемых, почти  экзотических методов, корреляционно-регрессионный  анализ превращается для специалиста  в повседневный, эффективный и  оперативный аналитический инструмент. Однако, в силу его сложности, освоение его требует больших знаний и усилий, чем освоение простых электронных таблиц.

Пользуясь методами корреляционно-регрессионного анализа, аналитики измеряют тесноту  связей показателей с помощью  коэффициента корреляции. При этом обнаруживаются связи, различные по силе (сильные, слабые, умеренные и  др.) и различные по направлению (прямые, обратные). Если связи окажутся существенными, то целесообразно будет найти  их математическое выражение в виде регрессионной модели и оценить  статистическую значимость модели. В  экономике значимое уравнение используется, как правило, для прогнозирования  изучаемого явления или показателя.

Регрессионный анализ называют основным методом современной математической статистики для выявления неявных  и завуалированных связей между данными наблюдений. Электронные таблицы делают такой анализ легко доступным. Таким образом, регрессионные вычисления и подбор хороших уравнений - это ценный, универсальный исследовательский инструмент в самых разнообразных отраслях деловой и научной деятельности (маркетинг, торговля, медицина и т. д.). Усвоив технологию использования этого инструмента, можно применять его по мере необходимости, получая знание о скрытых связях, улучшая аналитическую поддержку принятия решений и повышая их обоснованность.

Корреляционно-регрессионный  анализ считается одним из главных  методов в маркетинге, наряду с  оптимизационными расчетами, а также  математическим и графическим моделированием трендов (тенденций). Широко применяются  как однофакторные, так и множественные  регрессионные модели.

Раскрыв сущность корреляционно-регрессионного анализа, перейдем к его возможностям.

Корреляционный анализ является одним из методов статистического  анализа взаимосвязи нескольких признаков.

Он определяется как метод, применяемый тогда, когда данные наблюдения можно считать случайными и выбранными из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному  закону. Основная задача корреляционного  анализа (являющаяся основной и в  регрессионном анализе) состоит  в оценке уравнения регрессии.

Корреляция - это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными).

Частная корреляция - зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

Множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Корреляционный анализ имеет  своей задачей количественное определение  тесноты связи между двумя  признаками (при парной связи) и между  результативным признаком и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

Теснота связи количественно  выражается величиной коэффициентов  корреляции. Коэффициенты корреляции, представляя количественную характеристику тесноты связи между признаками, дают возможность определить “полезность” факторных признаков при построении уравнений множественной регрессии. Величина коэффициентов корреляции служит также оценкой соответствия уравнению регрессии выявленным причинно-следственными связями.

Первоначально исследования корреляции проводились в биологии, а позднее распространились и  на другие области, в том числе  на социально-экономическую. Одновременно с корреляцией начала использоваться и регрессия. Корреляция и регрессия  тесно связаны между собой: первая оценивает силу (тесноту) статистической связи, вторая исследует ее форму. И  корреляция, и регрессия служат для  установления соотношений между  явлениями и для определения  наличия или отсутствия связи  между ними.

Для выявления наличия  связи, ее характера и направления  в статистике используют методы: приведения параллельных данных; аналитических  группировок; графический; корреляции.

Одним из методов корреляционно-регрессионного анализа является метод парной корреляции, рассматривающий влияние вариации факторного признака x на результативный y. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:

прямой 

параболы 

гиперболы и т.д.

Оценка параметров уравнения  регрессии осуществляется методом  наименьших квадратов, в основе которого лежит требование минимальности  сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выравненных (теоретических) y_xi

Система нормальных уравнений  для нахождения параметров линейной парной регрессии имеет вид:

Для оценки типичности параметров уравнения регрессии используется t-критерий Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия для параметров. Полученные фактические значения сравниваются с критическим, которые получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы.

Полученные при анализе  корреляционной связи параметры  уравнения регрессии признаются типичными, если t фактическое больше t критического.

По приведенным на типичность параметрам уравнения регрессии  производится синтезирование (построение) математической модели связи. При этом параметры примененной в анализе  математической функции получают соответствующие  количественные значения: один параметр показывает усредненное влияние  на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов, а другой параметр – на сколько  изменяется в среднем значение результативного  признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

Проверка практической значимости синтезированных в корреляционно-регрессионном  анализе математических моделей  осуществляется посредством показателей  тесноты связи между признаками x и y.

Для статистической оценки тесноты связи применяются  следующие показатели вариации:

1. общая дисперсия результативного  признака, отображающая общее влияние  всех факторов;

2. факторная дисперсия  результативного признака, отображающая  вариацию y только от воздействия изучаемого фактора, которая характеризует отклонение выровненных значений y_x от их общей средней величины y;

3. остаточная дисперсия,  отображающая вариацию результативного  признака y от всех прочих, кроме x факторов, которая характеризует отклонение эмпирических (фактических) значений результативного признака y_i от их выровненных значений y_xi.

Соотношение между факторной  и общей дисперсиями характеризует  меру тесноты связи между признаками x и y

Этот показатель называется индексом детерминации (причинности). Он выражает долю факторной дисперсии, т.е. характеризует, какая часть общей  вариации результативного признака y объясняется изменением факторного признака x. На основе предыдущей формулы определяется индекс корреляции R:

Используя правило сложения дисперсий, можно вычислить индекс корреляции.

При прямолинейной форме  связи показатель тесноты связи  определяется по формуле линейного  коэффициента корреляции r:

Для оценки значимости коэффициента корреляции r применяется t-критерий Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы k.

Если  , то величина коэффициента корреляции признается существенной.

Для оценки значимости индекса  корреляции R применяется F-критерий Фишера. Фактическое значение критерия F_R определяется по формуле:

, где m – число параметров уравнения регрессии.

Величина F_R сравнивается с критическим значением F_K, которое определяется по таблице F – критерия с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы k₁=m-1 и k₂=n-m.

Если F_R> F_K, то величина индекса корреляции признается существенной.

По степени тесноты  связи различают количественные критерии оценки тесноты связи.

С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности:

Он показывает, на сколько  процентов в среднем изменится  значение результативного признака при изменении факторного на 1%.

Изучив возможности корреляционно-регрессионного анализа, раскроем основные задачи данного  метода.

1.2 Задачи  корреляционно-регрессионного анализа.

В соответствии с  сущностью корреляционной связи  ее изучение имеет две цели:

1) измерение параметров  уравнения, выражающего связь  средних значений зависимой переменной  со значениями независимой переменной (зависимость средних величин  результативного признака от  значений одного или нескольких  факторных признаков);

2) измерение тесноты связи  двух (или большего числа) процессов или явлений между собой.

Вторая задача специфична для статистических связей, а первая разработана для функциональных связей и является общей. Основным методом  решения задачи нахождения параметров уравнения связи является метод  наименьших квадратов (МНК), разработанный  К. Ф. Гауссом (1777-1855). Он состоит в  минимизации суммы квадратов  отклонений фактически измеренных значений зависимой переменной «у» от ее значений, вычисленных по уравнению связи с факторным признаком (многими признаками) «х».

Для измерения тесноты  связи применяется несколько  показателей. При парной связи теснота  связи измеряется прежде всего корреляционным отношением, которое обозначается греческой  буквой «п».

Квадрат корреляционного  отношения - это отношение межгрупповой дисперсии результативного признака, которая выражает влияние различий группировочного факторного признака на среднюю величину результативного признака, к общей дисперсии результативного признака, выражающей влияние на него всех причин и условий. Квадрат корреляционного отношения называется коэффициентом детерминации: 

                               ,                        (1.1.)              

где k — число групп  по факторному признаку;

N - число единиц совокупности;

yi - индивидуальные значения  результативного признака;

уj - его средние групповые значения;

у - его общее среднее значение;

fj - частота в j-й группе.

Формула (1.1) применяется при расчете показателя тесноты связи по аналитической группировке. При вычислении корреляционного отношения по уравнению связи (уравнению парной или множественной регрессии) применяется формула (1.2): 

                               ,                                        (1.2)

где уi - индивидуальные значения у по уравнению связи.

Сумма квадратов  в числителе - это объясненная связью с фактором «х» (факторами) дисперсия результативного признака «у». Она вычисляется по индивидуальным данным, полученным для каждой единицы совокупности на основе уравнения регрессии.

Если уравнение выбрано  неверно или сделана ошибка при  расчете его параметров, то сумма  квадратов в числителе может  оказаться большей, чем в знаменателе, и отношение утратит тот смысл, который оно должно иметь, а именно какова доля общей вариации результативного  признака, объясняемая на основе выбранного уравнения связи его с факторным  признаком (признаками). Чтобы избежать ошибочного результата, лучше вычислять  корреляционное отношение по другой формуле (1.3), не столь наглядно выявляющей сущность показателя, но зато полностью гарантирующей от возможного искажения:

В числителе формулы (1.3) стоит сумма квадратов отклонений фактических значений признака «у» от его индивидуальных расчетных значений, т. е. доля вариации этого признака, не объясняемая за счет входящих в уравнение связи признаков-факторов. Эта сумма не может стать равной нулю, если связь не является функциональной. При неверной формуле уравнения связи или ошибке в расчетах возрастают расхождения фактических и расчетных значений, и корреляционное отношение снижается, как логически и должно быть.

В основе перехода от формулы (1.2) к формуле (1.3) лежит известное правило разложения сумм квадратов отклонений при группировке совокупности:

Согласно этому правилу  можно вместо межгрупповой (факторной) дисперсии использовать разность: 

При расчете η не по группировке, а по уравнению корреляционной связи (уравнению регрессии) мы используем формулу (1.3). В этом случае правило разложения суммы квадратов отклонений результативного признака записывается как

Важнейшее положение, которое следует усвоить для правильного применения метода корреляционно-регрессионного анализа, состоит в интерпретации формул (1.2) и (1.3). Это положение гласит:

Уравнение корреляционной связи  измеряет зависимость между вариацией  результативного признака и вариацией  факторного признака (признаков). Меры тесноты связи измеряют долю вариации результативного признака, которая  связана корреляционно с вариацией  факторного признака (признаков).

Интерпретировать корреляционные показатели строго следует лишь в  терминах вариации (различий в пространстве) отклонений от средней величины. Если же задача исследования состоит в  измерении связи не между вариацией  двух признаков в совокупности, а  между изменениями признаков  объекта во времени, то метод корреляционно-регрессионного анализа требует значительного изменения.

Из вышеприведенного положения  об интерпретации показателей корреляции следует, что нельзя трактовать корреляцию признаков как связь их уровней. Это видно из следующего примера. Если бы все крестьяне области внесли под картофель одинаковую дозу удобрений, то вариация этой дозы была бы равна нулю, а, следовательно, она абсолютно не могла бы влиять на вариацию урожайности картофеля. Параметры корреляции дозы удобрений с урожайностью будут тогда строго равны нулю. Но ведь и в этом случае уровень урожайности зависел бы от дозы удобрений - он был бы выше, чем без удобрений.

Итак, метод корреляционно-регрессионного анализа не может объяснить роли факторных признаков в создании результативного признака. Это очень  серьезное ограничение метода, о  котором не следует забывать.

Следующий общий вопрос - это вопрос о «чистоте» измерения  влияния каждого отдельного факторного признака. Группировка совокупности по одному факторному признаку может отразить влияние именно данного фактора на результативный признак при условии, что все другие факторы не связаны с изучаемым, а случайные отклонения и ошибки взаимопогасились в большой совокупности. Если же изучаемый фактор связан с другими факторами, влияющими на результативный признак, будет получена не «чистая» характеристика влияния только одного фактора, а сложный комплекс, состоящий как из непосредственного влияния фактора, так и из его косвенных влияний, через его связь с другими факторами и их влияние на результативный признак. Данное положение полностью относится и к парной корреляционной связи.

Однако коренное отличие  метода корреляционно-регрессионного анализа от аналитической группировки  состоит в том, что корреляционно-регрессионный  анализ позволяет разделить влияние  комплекса факторных признаков, анализировать различные стороны  сложной системы взаимосвязей. Если метод комбинированной аналитической  группировки, как правило, не дает возможность  анализировать более 3 факторов, то корреляционный метод при объеме совокупности около ста единиц позволяет  вести анализ системы с 8-10 факторами  и разделить их влияние.

Наконец, развивающиеся на базе корреляционно-регрессионного анализа  многомерные методы (факторный анализ) позволяют синтезировать влияние  признаков (первичных факторов), выделяя  из них непосредственно не учитываемые  глубинные факторы (компоненты). Например, изучая корреляцию ряда признаков интенсификации сельскохозяйственного производства, таких, как фондообеспеченность, затраты  труда на единицу площади, энергообеспеченность, внесение удобрений на единицу площади, плотность поголовья скота, можно  синтезировать общую часть их влияния на уровень продукции  с единицы площади или на производительность труда, получив обобщенный фактор «интенсификация  производства», непосредственно не измеримый, не отражаемый единым показателем.

Правильное применение и  интерпретация результатов корреляционно-регрессионного анализа возможны лишь при понимании  всех специфических черт, достоинств и ограничений метода.

Необходимо сказать  и о других задачах применения корреляционно-регрессионного метода, имеющих не формально математический, а содержательный характер:

1. Задача выделения важнейших  факторов, влияющих на результативный  признак (т.е. на вариацию его  значений в совокупности). Эта  задача решается в основном  на базе мер тесноты связи  факторов с результативным признаком.

2. Задача оценки хозяйственной  деятельности по эффективности  использования имеющихся факторов  производства. Эта задача решается  путем расчета для каждой единицы  совокупности тех величин результативного  признака, которые были бы получены  при средней по совокупности  эффективности использования факторов  и сравнения их с фактическими  результатами производства,

3. Задача прогнозирования  возможных значений результативного  признака при задаваемых значениях  факторных признаков.

Такая задача решается путем  подстановки ожидаемых, или планируемых, или возможных значений факторных  признаков в уравнение связи  и вычисления ожидаемых значений результативного признака.

Приходится решать и обратную задачу: вычисление необходимых значений факторных признаков для обеспечения  планового или желаемого значения результативного признака в среднем  по совокупности. Эта задача обычно не имеет единственного решения  в рамках данного метода и должна дополняться постановкой и решением оптимизационной задачи на нахождение наилучшего из возможных вариантов ее решения (например, варианта, позволяющего достичь требуемого результата с минимальными затратами).

4. Задача подготовки данных, необходимых в качестве исходных  для решения оптимизационных  задач. Например, для нахождения  оптимальной структуры производства  в районе на перспективу исходная  информация должна включать показатели  производительности на предприятиях  разных отраслей и форм собственности.  В свою очередь, эти показатели  могут быть получены на основе  корреляционно-регрессионной модели  либо на основании тренда динамического  ряда (а тренд - это тоже уравнение  регрессии).

При решении каждой из названных  задач нужно учитывать особенности  и ограничения корреляционно-регрессионного метода. Всякий раз необходимо специально обосновать возможность причинной  интерпретации уравнения как  объясняющего связь между вариацией  фактора и результата. Трудно обеспечить раздельную оценку влияния каждого  из факторов. В этом отношении корреляционные методы глубоко противоречивы. С  одной стороны, их идеал - измерение  чистого влияния каждого фактора. С другой стороны, такое измерение  возможно при отсутствии связи между  факторами и случайной вариации признаков. В реальных системах связь  всегда имеет статистический характер, и тогда идеал методов корреляции становится недостижимым. Но это не значит, что эти методы не нужны.