Применение метода конформного преобразования в электростатике и гидродинамике

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники. 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

Применение  метода конформного преобразования  в электростатике и гидродинамике.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Выполнила  студентка 

      Научный руководитель

Дата сдачи:

Дата защиты:

Оценка: 
 
 
 
 

      2011г.

ВВЕДЕНИЕ 

Некоторые из классов  задач уравнений математической физики требуют применения методов  теории функции комплексного переменного. В частности, для решения определенных задач используют конформные преобразования. Состояние методов конформного преобразования до последнего времени было таково, что они представляют собой просто набор известных функций, хотя и достаточно широкий, но все же ограниченный. С их помощью было решено немало различных задач прикладного характера по расчету полей в гидродинамике, электростатике, теории упругости. Были развиты даже самостоятельные научные разделы, такие, как теория струй и теория фильтрации грунтовых вод, позволяющие не только рассчитывать поле, но и находить неизвестные свободные границы. В этой работе исследуется уравнение Лапласа  для двумерного случая в плоской области при заданных граничных условиях. Имеется некоторая двухсвязная неограниченная область и для нее задаются граничные условия. В данной работе мы конформно отобразим заданную двухсвязную неограниченную область.

Цель исследования изучить применение метода конформного преобразования в электростатике и гидродинамике.

Для достижения цели поставленной в курсовой работе нами решались следующие задачи:

• раскрыть сущность понятия метода конформного;
• рассмотреть задачи электростатики и гидродинамики;
• проанализировать   способ применения уравнений Коши-Римана и Лапласа;
• сделать выводы  о проделанной работе.

ГЛАВА I. Основные теоретические сведения. 

• Конформное  преобразование – взаимно однозначное непрерывное соответствие между точками двух областей на поверхностях, при котором сохраняются углы между линиями.
• Условие Коши – Римана – называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную   и мнимую  части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного  
• ∆ (название: дельта) – в данной курсовой символ ∆ обозначает оператор Лапласа.
• Электростатическое поле – поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствие электрических токов). Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга.
• Электрическое поле — одна из составляющих электромагнитного поля; особый вид материи, существующий вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также в свободном виде при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах). Электрическое поле непосредственно невидимо, но может наблюдаться благодаря его силовому воздействию на заряженные тела.
• Плоское электростатическое поле  - поле, силовые линии которого лежат в одной плоскости.
• Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного f(z) = u(z) + iv(z)   (где u(z) и v(z) — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области ,

называемой  областью аналитичности, выполняется  одно из трех равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);
2. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

• Силовые  линии – интегральные кривые для векторного поля. Силовые линии  электрического поля перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

• Эквипотенциальные линии - это воображаемая линия, соединяющая последовательность точек, имеющих одинаковый потенциал в данный момент времени.
• Плоский конденсатор -  конденсатор представляет собой две металлические пластины, расположенные параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии друг от друга.
• В гидродинамике  уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности. Оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

где   — плотность жидкости (или газа),  —вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами  в момент времени  .

• плоским потоком называется такой поток, в котором жидкость движется параллельно некоторой плоскости, причем во всех плоскостях, параллельных упомянутой, все явления, характеризующие поток  (распределение скоростей, давлений и пр.) Такой поток имеет место всегда при обтекании весьма длинного, по сравнению с поперечными размерами (теоретически говоря, бесконечно длинного), цилиндра, если скорость потока направлена перпендикулярно к образующим цилиндра.
• Фиктивное  течение представляет собой обтекание цилиндра единичного радиуса потоком, имеющим на бесконечности комплексную скорость
• Теорема Бернулли     Постоянная, вообще говоря, для различных линий тока может быть разной; мы знаем только, что левая часть уравнения постоянна всюду вдоль данной линии тока.
• Несжимаемая жидкость - модель среды, плотность которой остаётся неизменной при изменении давления и является её физической характеристикой.
• Идеальная жидкость — в гидродинамике — воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.
• Однопараметрическое семейство кривых – дано уравнение семейства кривых, зависящее от параметра C, принимающего различные значения. При каждом значении параметра уравнение определяет некоторую кривую на плоскости. Придавая C всевозможные значения, получим семейство кривых, зависящих от одного параметра.
• - вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой.
• Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке.
• Вязкая жидкость —  жидкость, подчиняющаяся в своём течении закону вязкого трения Ньютона, то есть касательное напряжение  и градиент скорости линейно зависимы. Простое уравнение, описывающее поведение вязкой (ньютоновской) жидкости:      где

    τ — касательное напряжение, вызываемое жидкостью [Па]

μ — динамический коэффициент вязкости — коэффициент пропорциональности [Па·с] 

— градиент скорости перпендикулярно направлению сдвига [с⁻¹].

• В соответствии с увеличением порядка дифференциального уравнения при переходе к случаю вязкой жидкости увеличивается и число граничных условий. Так, на твердых неподвижных границах в теории невязкой жидкости ставится одно условие непроницаемости (V, n) = 0, а в теории вязкой жидкости— три (скалярных) условие.

 Это — так называемое условие прилипания, оно оправдывается многочисленными экспериментами и отражает тот факт, что между поверхностью твердого тела и вязкой жидкостью существуют силы молекулярного сцепления. На движущихся твердых границах условие прилипания сводится к условию совпадения скоростей жидкости и соответствующих точек поверхности. На свободной граничной поверхности должен обращаться в нуль вектор напряжений:        где n — вектор нормали к поверхности, и кроме того, должно выполняться кинематическое условие, согласно которому нормальная составляющая вектора скорости совпадает со скоростью перемещения поверхности в направлении своей нормали.

ГЛАВА  II. Применение метода конформного преобразования  в электростатике

2.1. Применение метода конформного преобразования в электростатике. 

    Для решения двумерных электростатических  задач часто используется теория  функций комплексного переменного.  Рассмотрим, например, следующую задачу электростатики:

  найти электрическое поле нескольких заряженных проводников,  потенциалы которых равны , ... 

  Рис.1

  Такая задача, как известно, приводит к уравнению 

                                                                (2.1)

с граничными условиями

                                                        (2.2)

где через  , обозначена поверхность проводника с номером i. Если поле можно считать плоским, не меняющимся, например вдоль оси z, то уравнение (2.1) и граничные условия принимают вид:

                                               (2.3)

                                                      (2.4)

где — контур, ограничивающий область .

  Будем искать потенциал и как мнимую часть некоторой аналитической функции

                           (2.5)

причем в силу выполнения условий Коши— Римана

                         (2.6)

и

                                               (2.7)

Из граничного условия (2.4) следует, что функция f(z) имеет постоянную мнимую часть на контурах ограничивающих наши проводники.

Обращаясь к условиям (2.6), замечаем, что

                          (2.8)

представляет  собой уравнение семейства силовых  линий ¹), в то время как уравнение

                          (2.9)

в силу условия (2.7) определяет семейство эквипотенциальных линий.

  Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно найти конформное преобразование 

переводящее плоскость  комплексного переменного 

на плоскость 

при котором  границы проводников переходят  в прямые (рис.2) 

Рис.2 

или 

  Если  известна такая функция w = f(z), то искомый потенциал находится по формуле 

Зная потенциал, можно вычислить электрическое  поле

                                    (2.10)

и плотность  поверхностных зарядов на единицу  длины по оси z: 

которая в силу условий Коши — Римана равна

                                              (2.11) 

1.2. Поле полубесконечного плоского конденсатора.

 Найдем  поле конденсатора, образованного бесконечно тонкими металлическими пластинами у = —d/2 и у = d/2, простирающимися в области x < 0. Применим преобразование переводящее, область, изображенную на (рис.3) в слой  ∣Im*∣ ≤π, к решению следующей задачи:

Метод Шварца  решает задачу о вычислении ноля между двумя призматическими проводниками. Проще всего тот случай, когда поперечные сечения обоих проводников простираются в бесконечность, так что промежуточная область между ними односвязная. Пусть между обоими проводниками существует разность потенциалов т. е. потенциалы обоих контуров равны  0 и   другими словами, конформное отображение, определяемое комплексной потенциальной функцией   должно отображать один из контуров на вещественную ось, а другой на параллельную к ней прямую, находящуюся на расстоянии . Для простоты рассмотрим функцию  , для которой параллельная прямая находится на расстоянии  π.

Преобразование

                                    (2.12)

 переводит плоскость с двумя разрезами в слой плоскости  

Рис.3.                               Рис.4. 

(рис. 4). В качестве комплексного потенциала выберем функцию

                                                              (2.13)

где через  обозначена разность потенциалов между пластинами конденсатора, так что потенциал электрического поля выражается функцией

                                                (2.14)

где ψ  связано с x и y соотношениями                  

                             (2.15) 
 
 
 

                                                                                 Рис.5.

 
На рис.5 изображены эквипотенциальные и силовые линии полубесконечного плоского конденсатора.

Перейдем  к исследованию поля вблизи края конденсатора.

Из формул (2.15) видно, что при    φ→−∞ 

                   (2.16) 

т.е. внутри конденсатора, далеко от краев, поле является плоским, а при     φ→∞

                      (2.17)             

т.е. вне конденсатора, на больших расстояниях от его краев, эквипотенциальные линии являются кругами.

Если вместо  w  ввести комплексный потенциал       ,

так что    ,  то связь между z и f(z) задается уравнением

,

откуда следует:                      ,

а при   мы получаем:

  или  

Полагая = 1, мы получим для плотности зарядов σ согласно формуле (2.11) следующее значение:

                                          (2.18)

Отсюда следует, что при , а при     т. е. в этом случае плотность зарядов убывает на внешней стороне пластин как 1/р.

  Из  формулы (2.18) видно, что при (на краю конденсатора)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА III . Применение метода конформного преобразования в гидродинамике

3.1.При решении задач о движении твердого тела в жидкости существенную роль играют граничные условия на поверхности тела. 

В случае идеальной жидкости граничное условие  состоит в том, что проекция скорости жидкости на направление нормали к поверхности тела должна равняться нормальной составляющей скорости движения тела.

  Если  тело неподвижно, то граничное условие  принимает простой вид 

на поверхности  тела.

Если рассматриваемое  движение потенциально, т. е. 

то граничные  условия принимают вид                

    в случае неподвижного тела,

  в случае тела, движущегося со скоростью u.

  Как известно из гидродинамики, потенциал  скоростей для несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению

  Таким образом, задача о потенциальном  обтекании твердого тела потоком  несжимаемой идеальной жидкости сводится к решению уравнения Лапласа

с дополнительным граничным условием на поверхности  обтекаемого тела

т. е. к  решению второй краевой задачи для  уравнения Лапласа.

  Если  рассматриваемое движение плоское, то решение задачи может быть получено при помощи теории функций комплексного переменного.

  В случае плоского движения несжимаемой  жидкости уравнение непрерывности позволяет записать следующее равенство:      

                                             (3.1)                                                             

Запишем уравнение линий тока              

в виде   

                                                       (3.2)

 и введем функцию ψ при помощи соотношений 

;          ;                                        

Тогда из уравнения (3.1) следует, что левая часть выражения (3.2) является полным дифференциалом функции ψ: 

Однопараметрическое семейство кривых 

представляет  собой линии тока несжимаемой  жидкости.

  Если  существует потенциал скоростей, то равенство     равносильно уравнению

.

Из выражений  для и следует:

,               ,

т. е. функции  φ и ψ удовлетворяют условиям Коши — Римана. Следовательно, функция комплексного переменного 

является аналитической.

  Итак, всякое потенциальное плоское движение жидкости соответствует определенной аналитической функции комплексного переменного и, обратно, всякая аналитическая функция связана с определенной кинематической картиной движения жидкости (точнее, с двумя картинами, так как функции φ и ψ можно поменять ролями).

  Рассмотрим  конкретный пример применения теории аналитических функций к решению задач об обтекании тел плоским потоком жидкости. 
 
 

3. 2. Обтекание пластины.

Комплексный потенциал для потока, обтекающего  неподвижный цилиндр и имеющего на бесконечности  скорость и, имеет вид 

где Г - циркуляция интенсивности  вокруг цилиндра.

Результат обтекания кругового цилиндра позволяет решать задачи об обтекании произвольных контуров. При этом применяется метод конформного преобразования. Рассмотрим его применение на конкретной задаче об обтекании пластины.

Пусть на бесконечно длинную пластину ширины 2а, расположенную на оси Ох (рис. 6), набегает постоянный плоский поток, имеющий на бесконечности скорость с компонентами и и v. При помощи аналитической функции 

можно установить взаимно однозначное  соответствие между областью вне пластины на плоскости z и областью вне круга единичного радиуса на плоскости ζ. При этом точке будет соответствовать точка , а

Рис.6.

Посмотрим, как изменится условие на бесконечности. Для комплексного потенциала 

мы имеем 

— сопряженное  значение комплексной скорости. 

Найдем  значение комплексной скорости фиктивного течения на плоскости ζ:

откуда  

Итак, фиктивное  течение представляет собой обтекание  цилиндра единичного радиуса потоком, имеющим на бесконечности комплексную скорость Для такого движения комплексный потенциал имеет вид 

Из соотношения  следует: 

Используя эти соотношения, мы получим для  комплексного потенциала жидкости, обтекающей пластину, выражение 
 

В случае отсутствия циркуляции это выражение  принимает вид 
 

Из полученных соотношений видно, что скорость на концах пластины достигает бесконечно больших значений. В реальных условиях это, конечно, не имеет места. Полученные результаты объясняются тем, что мы считаем жидкость идеальной. Применяя теорему Бернулли, можно найти выражение для силы, действующей на обтекаемое жидкостью тело.

  Изучением сил, с которыми воздух действует  на движущееся в нем крыло самолета, занимается аэродинамическая теория крыла. В развитии этой теории исключительная роль принадлежит русским и советским ученым, в первую очередь Н. Е. Жуковскому и С. А. Чаплыгину. В простейшем случае бесциркулярного обтекания цилиндра плоским потоком жидкости мы получаем парадоксальный результат — поток не оказывает на цилиндр никакого действия. В случае наложения на поступательный поток циркуляции скорости вокруг цилиндра возникает сила, действующая на цилиндр перпендикулярно к направлению скорости потока в бесконечности.

Теория  аналитических функций может  быть использована лишь в случае плоского движения. В трехмерном случае приходится прибегать к другим методам решения задачи об обтекании жидкостью твердого тела. В общем случае решение задачи представляет большие трудности. Рассмотрим простейший случай движения шара в безграничной покоящейся жидкости с постоянной скоростью. Задача заключается в решении уравнения 

вне шара с граничным  условием

           на  поверхности шара

и

                 в бесконечности.

 Решение ищем  в виде 

Используя граничное  условие, получим: 

что и дает решение  поставленной задачи.

  Во  всех рассмотренных случаях мы считали  жидкость идеальной. Для вязкой жидкости граничные условия изменяются. На поверхности тела должно выполняться условие прилипания, а именно: в точках твердой границы скорость жидкости по величине и направлению должна совпадать со скоростью соответствующей точки границы.

  Задачи  обтекания тел вязкой жидкостью  приводят к большим математическим трудностям. В развитии этой области гидродинамики большую роль сыграли теории пограничного слоя. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  В ходе выполнения курсовой работы мы рассмотрели несколько задач, решаемых методом конформного преобразования. Круг задач  очень широк. С его помощью может быть успешно решен вопрос о влиянии края толстой стенки плоского конденсатора, также ряд задач, относящихся к влиянию изгибов в конденсаторе и т. п. Конформное преобразование может быть также применено к расчету динамических задач. Недостатком изложенного метода является то, что конформное преобразование применяется в основном лишь к плоским задачам.

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.М., Самарский А.А., «Уравнение математической физики».// Москва, Изд. Наука, 1977.
2. Смирнов В.И., «О конформном преобразовании односвязных областей в себя». // Изд. Крым,1921.
3. Араманович И.Г., Левин В.И., «Уравнение математической физики». //Москва, Изд. Наука, 1969.
4. Голузин Г.М., Канторович Л.В., Крылов В.И. «Конформное отображение односвязных и многосвязных областей». //Москва, Гостехиздат,1937.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. « Методы теории функций комплексного переменного». // Москва, Изд.Наука, 1987.
6. Фильчаков П.Ф. « Приближенные методы конформных отображений».//Киев, Наукова думка, 1964,