Применение обратных вычислений к формированию экономических решений в условии определённости. 2
Введение
Обратные вычисления относятся к классу наиболее капризных и трудных задач. Объясняется это непредсказуемостью поведения обратной функции, форма записи которой – как правило – не известна, либо представлена приближённо. Отсюда возникает проблема определения диапазонов исходных данных, при которых задача имеет решение.
Если прямые зависимости, получаемые в результате изучения связей между событиями, отражают существующее положение вещей («как есть») и обычно рассматриваются как первичные, то обратные зависимости, полученные из уже имеющихся, с одной стороны, прямых зависимостей, а с другой – обратными функциями, находят, исходя из целей уравнения, которое отсутствует в прямых зависимостях.
Объективно обратные вычисления должны рассматриваться в качестве вторичных, так как зависят от целей воздействия на те или иные события, и их решение обусловлено прямыми задачами.
В курсовой работе рассмотрен один из методов решения обратных задач, который будем называть обратные вычисления (ОВ).
Особый интерес представляют два класса задач: детерменированные и стохастические (решаемые в условиях риска). Для всех классов задач выведены типовые целевые установки, возникающие в процессе принятия решения. Эти установки позволяют привести любую функцию, используемую для прямого расчёта, к виду, который позволяет выполнить ОВ.
Несмотря на то, что ОВ не нашли ещё своей популярности в процессе принятия экономических решений, перспективность их неоспорима. ОВ могут применяться как на самой фирме для корректировки своих экономических показателей в желаемую сторону, снижения рисков, обоснования бизнес-планов, так и в консалтинговых организациях.
1. Применение обратных вычислений к формированию экономических решений в условии определённости
- Обратные задачи и обратные вычисления
- Примеры формулировок обратных задач
Для систем, ориентированных на принятие решений в условиях определённости (детерменированные зависимости):
- Прямая задача: Какова рентабельность предприятия?
Обратная задача: Что надо предпринять, чтобы рентабельность предприятия повысилась на А%?
- Прямая задача: Какова конкурентоспособность предприятия?
Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы конкурентоспособность повысилась на B единиц.
- Прямая задача: Какова выручка предприятия за месяц?
Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы выручка предприятия повысилась на K единиц?
Системы, ориентированные на формирование решений в условиях риска (стохастические зависимости).
- Прямая задача: Какова вероятность наступления одного из независимых событий?
Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы данная вероятность повысилась (понизилась)?
- Прямая задача: Определить вероятность того, что взятая наугад продукция окажется отличного качества?
Обратная задача: Что следует предпринять, чтобы взятая наугад продукция оказалась отличного качества?
- Обратные вычисления. Коэффициент относительной важн
ости.
Обратные задачи характеризуются капризностью и трудоемкостью. Капризность заключается в непредсказуемости поведения функции, вид которой, как правило, либо неизвестен, либо известен приблизительно. Отсюда всегда существует проблема с определением диапазонов значений исходных данных, при которых задача, во-первых, имеет смысл, а во-вторых - имеет решение.
Так как обратную функцию получить трудно, а зачастую и невозможно, существует потребность в разработке метода, который позволил бы решать некоторые обратные задачи без нее. Решения для такого класса задач могут быть частичными, т.е. точечными, базирующимися не на области решений, а на некоторой ее точке.
Метод обратных точечных вычислений, представленный далее, требует немногого: корректно оформленных прямых зависимостей и дополнительной информации о целях, преследуемых Лицом, формирующим решение. Дополнительная информация отражается в специально разработанной форме, названной «целевая установка». Эта форма позволяет достаточно просто трансформировать исходные формулы в соответствующие постановки обратных задач.
Решение обратных задач с помощью обратных вычислений - это получение точечных значений приростов аргументов прямой функции на основании ее задаваемого значения и дополнительной информации, поступающей от лица, формирующего решение. Точечными они называются потому, что отыскиваются новые значения аргументов лишь для одной заданной точки функции.
Дополнительная информация, используемая при этом, касается:
целевой установки лица, формирующего решение, выражаемой с помощью знаков (увеличение или уменьшение) приростов каждого из аргументов прямой функции;
приоритетности в путях достижения целей, отражаемой с помощью коэффициентов относительной важности (КОВ).
Полученное решение задачи требует тщательного анализа, так как вычисленные точечные значения неизвестной обратной зависимости могут быть бессмысленными. Анализироваться должны исходные данные, диапазон и значений, при которых задача имеет решение.
- Принцип выполнения обратных вычислений
Управление – это вмешательство в существующий ход событий с помощью соответствующих инструментальных средств. При этом предполагается, что известно желаемое значение показателя, отражающего цель управления.
В простейших случаях, при наличии аддитивной функции и если при этом знак желаемого прироста функции совпадает со знаками аргументов, задача решается просто. Для определения приростов аргументов достаточно прирост функции разделить пропорционально коэффициентам относительной важности аргументов. Допустим, что известна следующая целевая установка:
Плюсы над соответствующими компонентами уравнения целевой установки (ЦУ) показывают, что решается задача на увеличение значения компонента А, путём увеличения компонент B и C с соответствующими КОВ . Если бы в записи за место любого из плюсов присутствовал бы минус, то речь шла бы об уменьшении соответствующей компоненты.
Теперь необходимо дать определение Коэффициенту относительной важности. КОВ – это пропорции, согласно которым должно произойти увеличение (уменьшение) аргументов в ЦУ. Пусть известен прирост , который, в силу записанной выше ЦУ, следует получить в результате увеличения обоих аргументов. Если известны КОВ, то приросты аргументов можно записать следующим образом:
Пусть задана некоторая двумерная функция Z=f(x,y), описывающая некую экономическую закономерность (как самый простой пример, можно рассматривать функцию прибыли фирмы . Пусть ЛПР (лицо, принимающее решение) преследует цель увеличить Z на величину . Так как в функции два аргумента, прирост её возможен за счёт приростов либо первого аргумента, либо второго, или же за счёт прироста обоих, или за счёт прироста первого и снижения второго, или за счёт уменьшения первого и увеличения второго. Первый вариант можно представить так: , где и - приросты функций, полученные за счёт приростов первого и второго аргументов. Остальные варианты получаются путём изменения знаков около приростов.
Для того чтобы узнать какими должны быть приросты аргументов, можно задать следующее соотношения:
Откуда
Принимая во внимание, что , можно записать следующее условие: .
Отсюда задачу обратных вычислений для функции с двумя переменными можно переписать в общем виде как систему уравнений:
Здесь выражения и указывают на функциональную зависимость прироста от КОВ , а прирост от КОВ . Обязательным условием выступает ограничение . Прирост задаётся, а неизвестными остаются приросты и .
Пусть теперь ЛПР стремиться изменить на функцию с соответствующими КОВ для каждого из трёх аргументов функции
Следуя вышеприведённым рассуждениям на случай двух переменных, получим запись задачи обратных вычислений на случай трёх переменных:
Или
Тогда система уравнений для задачи на случай трёх переменных имеет вид
- Пример выполнения обратных вычислений в условии определённости
Приведём примеры обратных вычислений в случае определённости двумя способами. Первый способ будет основан на известности КОВ для аргументов функции, второй способ – на невозможности для ЛПР определить приоритетности целей (или, что тоже самое – КОВ для каждого аргумента функции).
Пример 1.
В качестве примера выберем предприятие, руководство которого озабочено низким уровнем рентабельности. При этом оно осознаёт пути повешения рентабельности и способно указать приоритеты в выборе этих путей. Известна зависимость рентабельности от прибыли предприятия и себестоимости продукции : . Текущий уровень рентабельности равен 5%, прибыль предприятия 325 тысяч рублей в месяц, себестоимость продукции 6,5 миллионов рублей в месяц. Перед руководством фирмы стоит задача поднять рентабельность предприятия до 20%.
Решение данной задачи возможно в следующих вариантах: повышение прибыли путём увеличения объёма продаж (более качественная реклама и т. п.), и понижении себестоимости продукции (если есть возможность усовершенствовать технологии изготовления продукции); в повышении прибыли путём увеличения объёма продаж и повышение себестоимости продукции (если у фирмы нет возможности усовершенствования технологий).
Предположим, что
у фирмы есть возможность усовершенствования
технологии производства, но выбор
объёма финансирования предполагаемого
обновления зависит от того, насколько
фирма хочет снизить
Для случая, когда менеджмент фирмы выбирает приоритеты, к примеру, следующим образом: задача решается на основе индивидуальных коэффициентов прироста аргументов.
Введём индивидуальные коэффициенты : .
Составим систему уравнений:
Решив её относительно получим
По имеющимся данным вычислим
и .
Тогда *325000=1223026 ; ; .
Таким образом, предприятие должно увеличить прибыль до 1223026 рублей и уменьшить себестоимость до рублей, что приведёт к повышению рентабельности до 20 процентов.
Теперь рассмотрим решение этой же задачи, но при условии, что руководство предприятия не может определить приоритеты в выборе путей достижения цели. Решение в данном случае будет осуществляться без указания приоритетности целей.
Введём величину .
Получим
Тогда
Таким образом, в случае
невозможности определения
Стоит отметить, что рассмотренный пример приведён для функции двух переменных, поэтому определение КОВ вполне реально, но на практике достаточно часто важность целей установить или невозможно, или затруднительно. Иногда такая характеристика не интересует ЛПР, например, если у функции 7-10 аргументов, то определить важность целей, отражаемых с их помощью, весьма проблематично.
Пример 2.
Известно, что СКО − которое можно использовать как меру риска − сформированного портфеля ценных бумаг определяется следующим образом
где – вектор долей ценных бумаг, из которых составлен портфель, – матрица ковариаций ценных бумаг портфеля.
Рассмотрим случай, когда портфель составлен из двух ценных бумаг. Тогда , .
Пусть , и , тогда R(0,6; 0,4)= 2,457.
Предположим, фирма, проанализировав рыночную конъюнктуру, пришла к выводу, что ожидаемая доходность по акциям второго типа в ближайшее время увеличится, а ожидаемая доходность по акциям первого типа − уменьшится (что вполне очевидно, так как ковариация между данными типами акций равна -2).
Руководство фирмы заинтересовано в увеличении ожидаемой доходности всего своего портфеля ценных бумаг, поэтому решает повысить долю акций первого типа и понизить долю акций второго типа. Но, в свою очередь, при формировании новых пропорций ценных бумаг в портфеле, вопрос об уровне риска остаётся основополагающим. Отношение к риску являет субъективным фактором, который определяет желаемый (приемлемый) уровень риска портфеля для фирмы. Это означает, что задача в нашем случае может быть сформулирована следующим образом: каковы должны быть условия для того, чтобы уровень инвестиционного риска повысился с 2,457 до 3 (повышение риска связано с тем, что фирма желает увеличить долю типа акций с большей дисперсией (15)).
Итак, целевая установка для данного примера выглядит следующим образом:
Система уравнений для данного случая выглядит следующим образом
Откуда
Интересующее нас значение: (0,2164<0,4) .
Таким образом, фирме при изменении долей активов в своём портфеле ценных бумаг, для достижения желаемого уровня инвестиционного риска (мерой которого является СКО) равного 3, необходимо повысить долю акций второго типа до 0,783 (+0,183) и снизить долю акций первого типа до 0,216 (-0,183).
В рассмотренном примере вопрос о возможности понижения уровня инвестиционного риска для фирмы не должен представляться неопределённым. К-примеру, если руководство фирмы захочет, при вышеперечисленных условиях, изменить структуру активов в портфеле таким образом, чтобы , то решение данной задачи искать бессмысленно в связи с тем, что (достигается в точке (0,586; 0,413)).
Безусловно, в реальности фирмы формируют свой портфель ЦБ гораздо из большего количества видов акций и других ЦБ, но метод решения в корне не поменяется, а только усложнится увеличением размерности. Кроме того, даже в рассмотренном примере возможности фирмы при решении задачи небезграничны. Например, фирма не может определять КОВ для соответствующих видов понижаемых (повышаемых) долей акций. То есть, если руководство фирмы решит, что повышение доли акций второго типа с КОВ равным 0,8 и повышением уровня инвестиционного риска до 3 является оптимальным для неё (), то на данном этапе возникают трудности. Продемонстрируем их на примере.
Пусть решение производится на основе индивидуальных коэффициентов роста.
Запишем систему уравнений
Подставим имеющиеся данные в систему, получим
Используем функцию MS Excel «Поиск решения» и найдём: ,
Пусть теперь используется другой способ решения – на основе единого коэффициента прироста аргументов.
Введём . Задача обратных вычислений заключается в поиске величины из уравнения
С учётом вышесказанного, запишем задачу в следующем виде
Откуда ;
Оба метода, с использованием КОВ, оказываются неэффективными для решения данной задачи. Это можно объяснить тем, что задача сводится к нахождению долей при ограниченной нами дисперсии, а когда вводится КОВ − который можно интерпретировать как ограничение на изменение долей − получается двойное ограничение (и на дисперсию, и на изменение долей). При таких ограничениях задача не может быть корректно решена, что и продемонстрировано на примере.
- Применение обратных вычислений к формированию экономических решений в условии риска
Существует большое число
задач, где зависимости между
переменными носят
- Управление безопасностью – определение условий или мероприятий, выполнение которых обеспечит установленный уровень информационной, экономической, технической, экологической, военной, социальной и др. безопасности;
- Управление надёжностью – определение условий, гарантирующих установленный уровень надёжности системы (информационной, экономической, технологической).
Так же, как и в детерминированных задачах, одни вероятностные события зависят от других событий, которые, в свою очередь, могут носить как детерминированный, так и стохастический характер. Поэтому в общем случае следует рассматривать зависимости от того, и другого характера совместно. Проблема решения обратных задач на основе обратных вычислений, сочетающих в себе детерминированные и вероятностные задачи, ещё ждёт своего решения. Мы остановимся на методах решения обратных вероятностных задач.
- Поиск безусловной вероятности наступ
ления одного из несовместных событий
- Решение задачи без коэффициентов прироста.
Как известно, вероятность
наступления в некотором
В общем виде задача ОВ, если рассматриваются два события, решается с помощью следующей системы уравнений:
Где P(A+B) – вероятность наступления одного из независимых событий A и B;
– желаемый прирост вероятности наступления одного из независимых событий A или B;
– вероятности наступления событий A и B соответственно;
– приросты вероятностей наступления независимых событий A и B;
– коэффициент приоритетности в наступлении событий A и B соответственно.
Пример 1.
Рассматривается урна, в которой находятся три красных шара, четыре белых и четыре чёрных. Вероятность того, что при одном извлечении будет вынут либо красный, либо белый шар без труда можно определить по формуле безусловной вероятности. Обозначив через A событие извлечения красного шара, а через B - белого, получим:
Допусти, необходимо увеличить
вероятность наступления
Пусть задана целевая установка .
Для решения сформулированной задачи ОВ запишем следую систему уравнений:
Для того, чтобы обеспечить новые условия для наступления событий A или B, решим следующие уравнения:
Где - число красных и белых шаров, обеспечивающих новую вероятность наступления событий A и B, являющихся независимыми.
Так как общее число шаров должно быть 11, уменьшим число чёрных на 2. Тогда новое соотношение красных, белых и чёрных будет следующим: 4, 5, 2.
Проверка:
Целевые установки в данной задаче могут меняться (), но способ решения кардинально не поменяется.
- Решение задач без указания приоритетности целей
Пусть в общем виде задана целевая установка .
Задача ОВ принимает следующий вид:
Где k – коэффициент, позволяющий определить искомые приросты вероятностей. Остальные обозначения прежние.
Пример 2.
Целевая установка для данной задачи имеет вид
Пусть теперь P(A)=0,36 и P(B)=0,27.
Запишем систему задачи ОВ в данном случае
Решив систему относительно k, получим k=0,78. Приросты равны:
Теперь определим новое количество шаров:
Таким образом, красных шаров 7, белых – 1, а чёрных – 3 (разность 11-8).
Проверка:
Здесь необходим анализ исходных
данных, так как существует возможность
получения бессмысленных
Кроме того, желаемое значение не может превышать определённого уровня, что также может привести к отрицательным значениям вероятностей.
- Поиск безусловной вероятности наступления одного из совместных событий
В данном пункте рассмотрим решение задачи без коэффициентов прироста.
Известно, что вероятность
появления хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме
С практической точки зрения приведённая формула для вычисления безусловной вероятности наступления одного из совместных событий для событий, число которых больше двух, неудобна. Поэтому, можно воспользоваться иной формулой:
Мы рассмотрим случай с двумя событиями.
В общем виде задача поиска
безусловной вероятности
Рассмотрим целевую установку , для которой приведём пример.
Пример 3.
Вначале рассмотрим прямую задачу. Токарь обслуживает два станка, работающих независимо один от другого. Вероятность того, что первый станок в течении часа не потребует внимания токаря, равна 0,6, а второго – 0,4. Какова вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок не потребует внимания токаря?
Обозначим через A событие, выражающее искомую вероятность, а через события, заключающееся в том, что оба станка в течении часа не потребуют внимания токаря. Все события независимы, но совместны.
Теперь рассмотрим обратную задачу. Допустим, необходимо узнать условия, при которых вероятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания токаря, повысится до 0,92. При этом приоритетность наступления событий: для A она равна 0,7, для B – 0,3. Согласно рассматриваемой целевой установке запишем систему уравнений (сначала в общем виде).
Откуда искомые приросты:
В результате получен следующий ответ: для того, чтобы вероятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания токаря, повысилась до 0,92 необходимо повысить вероятность P(A) до 0,81, а P(B) – до 0,588. Здесь, в отличии от предыдущих примеров, в условии задачи не указаны мероприятия или характеристики объектов, от которых зависят исходные вероятности. Поэтому обратные вычисления не этом заканчиваются, и перечень необходимых мероприятий, позволяющих повысить исходные вероятности, не приводится.
- Поиск вероятности наступления событи
я совместно с одним из ряда несовместных событий (полная вероятность)
ОВ оказываются чрезвычайно полезными при принятии решений, качающихся наступления некоторого события совместно с другими событиями, обычно называемыми гипотезами. Речь идёт о формуле полной вероятности
Где P(A) – вероятность наступления события A;
P(вероятность осуществления гипотезы ,
– условная вероятность наступления события A при осуществлении гипотезы
Пример 4.
Рассмотрим целевую установку , для которой приведём пример.
В цехе два типа станков производят одни и те же детали. Производительность станков одинакова, но качество выпускаемой продукции различное: первый тип станков даёт 0,9, а второй 0,75 продукции отличного качества. Вся продукция содержится на складе. Число станков первого типа 7 шт., а второго – 3 шт. Определить вероятность того, что взятая наугад продукция окажется отличного качества.
Пусть A – событие, состоящее в том, что взятая наугад продукция окажется отличного качества. Имеются так же две гипотезы: - взятая продукция произведена станками первого типа, со станками второго типа.
Тогда,
Условные вероятности события A при этих гипотезах следующие:
Тогда по формуле полной вероятности получаем P(A)=0,825.
Теперь, допустим, существует необходимость повышения P(A) до 0,91. Каковы при этом должны быть соотношения станков, если приоритетность в изменении станков следующая: число с танков первого типа должно увеличиться пропорционально КОВ а второго – уменьшаться пропорционально КОВ .
Для решения данной задачи составим систему уравнений:
Откуда .
Найдём новое соотношение станков:
Для того, чтобы вероятность события, состоящего в том, что взятая наугад продукция была отличного качества, равнялась 0,91, необходимо, чтобы выполнялось соотношение станков двух типов следующим образом: 8 станков первого тира и 2 станка второго типа.
Решая такого типа задачи, необходимо тщательно проанализировать область значений исходных данных, при которых задача имеет смысл.
Заключение
